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Sequeˆncias Nume´ricas Sequeˆncias Nume´ricas Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Caˆmpus Francisco Beltra˜o Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Sequeˆncias Nume´ricas Sequeˆncias Nume´ricas Definic¸a˜o Uma sequeˆncia real e´ uma func¸a˜o que associa um valor a cada nu´mero inteiro na˜o negativo. Exemplo xn = 1 n = ( 1, 1 2 , 1 3 , . . . , 1 n , . . . ) Definic¸a˜o lim n→∞ xn = L se para todo ε > 0 existe N0 ∈ N tal que n > N0 ⇒ |xn − L| < ε. Neste caso, a sequeˆncia e´ denominada de sequeˆncia convergente e L e´ dito limite da sequeˆncia. As sequeˆncias divergentes podem ser divergentes para ±∞, ou que na˜o tem limites. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Sequeˆncias Nume´ricas Algumas Propriedades Operacionais Se (an) e (bn) sa˜o sequeˆncias convergentes (comec¸ando do mesmo indice), enta˜o lim n→∞(an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn lim n→∞λan = λ limn→∞ an lim n→∞(anbn) = limn→∞ an limn→∞ bn lim n→∞ an bn = lim n→∞ an lim n→∞ bn desde que lim n→∞ bn 6= 0 Caso f for cont´ınua, lim n→∞ f (xn) = f ( lim n→∞ xn ) Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Sequeˆncias Nume´ricas Teste da Subsequeˆncia Subsequeˆncia e´ uma sequeˆncia formada pelas partes da sequeˆncia dada. Teorema Seja xn uma sequeˆncia convergente. Enta˜o qualquer subsequeˆncia yk de xn converge e tem o mesmo limite. Corola´rio (teste da subsequeˆncia) Qualquer sequeˆncia que possui duas subsequeˆncias com limites diferentes sera´ divergente. Exemplo Avalie se a sequeˆncia xn = (−1)n e´, ou na˜o, convergente. Exerc´ıcio 1 Avalie se a sequeˆncia xn = (−1)n n e´, ou na˜o, convergente. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Sequeˆncias Nume´ricas Teorema do Confronto/Sandu´ıche Teorema (Teorema do Confronto/Sandu´ıche) Se an ≤ bn ≤ cn e lim n→∞ an = limn→∞ cn = L enta˜o limn→∞ bn = L. Exemplo Avalie se a sequeˆncia xn = cos n n e´, ou na˜o, convergente. Corola´rio lim n→∞ xn = 0 se, e somente se, limn→∞ |xn| = 0 Exerc´ıcio 2 Avalie se as sequeˆncias xn = (−1)n n e xn = n! nn sa˜o, ou na˜o, convergentes. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Sequeˆncias Nume´ricas Sequeˆncias mono´tonas Uma sequeˆncia an e´ dita mono´tona crescente quando an+1 ≥ an para todo n. De forma ana´loga, uma sequeˆncia an e´ dita mono´tona decrescente se an+1 ≤ an para todo n. Definic¸a˜o No caso de ter an+1 > an para todo n, dizemos que a sequeˆncia e´ estritamente crescente e caso de ter an+1 < an para todo n, dizemos que a sequeˆncia e´ estritamente decrescente. Teorema Toda sequeˆncia mono´tona limitada e´ convergente. Exemplo Avalie se a sequeˆncia xn = n n + 1 e´, ou na˜o, convergente. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Sequeˆncias Nume´ricas Exerc´ıcio 3 Escreva ao 5 primeiros termos de cada sequeˆncia e determine o limite das que forem convergentes: (a) an = 1− n n2 (b) an = ( 1 3 )n (c) an = (−1)n+1 2n − 1 (d) an = 1 n! (e) an = 2 + (−1)n (f) an = 7 1 n (g) an = n 2n (h) an = cos (npi 2 ) (i) an = (−1)n−1√ n (j) an = sen n n (k) an = n + (−1)n n Respostas: (a) 0; (b) 0; (c) 0; (d) 0; (e) div.; (f) 1; (g) 0; (h) div.; (i) 0; (j) 0; (k) 1 Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B Sequências Numéricas
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