Relatório 4 Pêndulo físico

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RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
Pêndulo físico 
Aluno: Sandro Luiz Giongo (cartão 232635) 
Professor: Mario N. Baibich 
Resumo: O presente relatório tratou de analisar o comportamento de um 
pêndulo físico a fim de obter a relação entre o período (𝑇) e a distância (𝑥) do 
ponto de suspensão ao centro de massa. Estas grandezas foram medidas e 
estruturadas em um gráfico que apresentou um comportamento não linear. Ao 
se observar este gráfico, nota-se que o menor valor possível para o período 
possui uma distância 𝑥 ≅ (0,3000 ± 0,0005) 𝑚. Manipulando-se a equação do 
período para um pêndulo físico, obtemos 𝑥 ≅ (0,2887 ± 0,0005) 𝑚 para o menor 
período possível, satisfazendo nossas observações. 
Introdução 
Pêndulo físico é qualquer objeto de corpo rígido posto a oscilar em um plano vertical em 
torno de um eixo horizontal fora do seu centro de massa. Podemos denotar o período deste 
pêndulo, para pequenas amplitudes, como: 𝑇 = 2𝜋 
𝐼
𝑀𝑔𝑥
. Onde 𝐼 é a inércia do corpo que está 
oscilando, 𝑀 sua massa, 𝑔 a gravidade local e 𝑥 a distância entre o centro de massa do 
objeto e seu ponto de suspensão. 
Este relatório teve como objeto de estudo um pêndulo físico, onde o objeto oscilatório é uma 
barra de alumínio de comprimento 𝑙 = (1,0000 ± 0,0005) 𝑚. O objetivo principal foi obter a 
relação entre o período 𝑇 e a distância 𝑥 e verificar, com métodos diferentes, o 
comportamento desta função onde o período é mínimo. 
Materiais Utilizados 
- Pêndulo físico, composto por uma barra de alumínio presa à uma haste; 
- Trena, com precisão de 1 𝑚𝑚; 
- Cronômetro com sensor, com precisão de 0,1 𝑚𝑠. 
Esquema de montagem 
Para realizar as medidas, foi posicionado o sensor do cronômetro abaixo do pêndulo no nível 
da extremidade da barra. A fim de facilitar o procedimento, a barra possui perfurações 
espaçadas em um centímetro, desta forma, pode-se testar várias distâncias para 𝑥. Para um 
melhor entendimento do equipamento, pode-se conferir a representação abaixo: 
 
Figura 1. Montagem do equipamento. 
Procedimento de coleta de dados 
Para medir o período, foi ajustado o modo "Pend" no cronômetro e posta a barra de alumínio 
para oscilar a amplitudes menores que 10% do comprimento do eixo à extremidade da barra. 
Os sensores captavam o movimento e registravam no cronômetro o tempo dado para cada 
período. Foram feitas 5 medidas de 𝑇 para cada distância 𝑥 e obtida uma média aritmética 
dos valores. No total, foram utilizadas 8 medidas diferentes de 𝑥. 
 
 
 
Dados Experimentais 
Na tabela abaixo pode-se conferir os dados obtidos nas medições: 
Tabela 1. Dados gerais. 
Períodos (𝑠) Distâncias (𝑚) Período médio (𝑠) 
1,9530; 1,9723; 1,9775; 1,9721; 1,9727 0,1000 ± 0,0005 1,970 ± 0,004 
1,6044; 1,6027; 1,6018; 1,6002; 1,6050 0,2000 ± 0,0005 1,6028 ± 0,0009 
1,5542; 1,5467; 1,5308; 1,5509; 1,5474 0,3000 ± 0,0005 1,546 ± 0,004 
1,5928; 1,5965; 1,5916; 1,5926; 1,5876 0,4000 ± 0,0005 1,592 ± 0,001 
1,6605; 1,6603; 1,6565; 1,6618; 1,6614 0,4900 ± 0,0005 1,6601 ± 0,0009 
1,5480; 1,5495; 1,5483; 1,5468; 1,5496 0,2800 ± 0,0005 1,5484 ± 0,0005 
1,5533; 1,5556; 1,5556; 1,5507; 1,5504 0,2900 ± 0,0005 1,553 ± 0,001 
1,5597; 1,5536; 1,5554; 1,5547; 1,5530 0,3100 ± 0,0005 1,555 ± 0,001 
Análise dos Dados 
Através dos dados de distância e período, obtemos o seguinte gráfico: 
Gráfico 1. Período e distância. 
 
Analisando o gráfico podemos constatar que, conforme 𝑥 se aproxima de 0,3, pelos dois 
lados, o período tende a ser o menor possível. Embora esta constatação não seja muito 
precisa, pois temos somente quatro pontos próximos à 0,3, ela nos fornece a idéia de que o 
vértice da curva formada pela função 𝑇 = 2𝜋 
𝐼
𝑀𝑔𝑥
 se encontra nas proximidades. Portanto, 
para o menor valor possível do período, 𝑇 = 1,546 𝑠, temos: 𝑥 ≅ (0,3000 ± 0,0005) 𝑚. 
Analisando de forma algébrica, podemos determinar este valor através de técnicas de 
derivação. Para determinar o máximo e o mínimo de uma função, basta derivá-la e igualar a 
função resultante a zero. Desta forma, obtêm-se o valor de 𝑥 para o período máximo e/ou 
mínimo. 
Obtendo a função derivada do período: 
A função do período pode ser denotada como: 
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55
P
e
rí
o
d
o
 m
é
d
io
 (
s)
Distância (m)
 
𝑇 = 2𝜋 
𝐼
𝑀𝑔𝑥
. 
Através do teorema dos eixos paralelos, podemos determinar a inércia da barra como: 
𝐼 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑀𝑥
2. 
Aplicando a equação (2) em (1), obtemos: 
𝑇 = 2𝜋 
𝐼𝑐𝑚 +𝑀𝑥
2
𝑀𝑔𝑥
. 
Derivando a equação (3): 
𝑇 ′ = 2𝜋
1
2
 
𝐼𝑐𝑚 +𝑀𝑥
2
𝑀𝑔𝑥
 
−1
2 𝑀𝑔𝑥 .2𝑀𝑥− 𝐼𝑐𝑚 +𝑀𝑥
2 𝑀𝑔
 𝑀𝑔𝑥 2
 
𝑇 ′ = 𝜋 
𝑀𝑔𝑥
𝐼𝑐𝑚 +𝑀𝑥
2 
2𝑀𝑥2−𝐼𝑐𝑚 −𝑀𝑥
2
𝑀𝑔𝑥2
 . 
Obtendo máximos e mínimos da função do período: 
Para localizar o valor de 𝑥 para o qual a função é máxima e/ou mínima, devemos igualar a 
equação derivada (4) a zero. Portanto: 
𝑇 ′ = 𝜋 
𝑀𝑔𝑥
𝐼𝑐𝑚 +𝑀𝑥
2
 
2𝑀𝑥2−𝐼𝑐𝑚 −𝑀𝑥
2
𝑀𝑔𝑥2
 = 0 
2𝑀𝑥2 − 𝐼𝑐𝑚 −𝑀𝑥
2 = 0 
 𝑥 = 
𝐼𝑐𝑚
𝑀
. 
Sendo que a distância não pode ser nula e/ou negativa. Logo, 𝑥 > 0. 
Para determinar a inércia do centro de massa da barra, podemos fazer uma aproximação e 
tomá-la como uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e 
comprimento 𝑙. Desta forma: 
𝐼𝑐𝑚 ≅
𝑀𝑙2
12
. 
Aplicando (6) em (5): 
𝑥 ≅ 
𝑀𝑙2
12𝑀
≅
𝑙
2 3
. 
Medindo o comprimento da barra, temos 𝑙 = (1,0000 ± 0,0005) 𝑚. Portanto, o único valor de 𝑥 
para um extremo absoluto da função do período é 𝑥 ≅ (0,2887 ± 0,0005) 𝑚. Pode-se constatar, 
com respaldo dos pontos marcados no gráfico, que este ponto se trata de um mínimo 
absoluto, uma vez que aplicando qualquer outro valor de 𝑥 na função do período, obteremos 
sempre um resultado maior que 𝑇 0,2887 = 1,5245 𝑠. 
Conclusão 
Através desta análise pôde-se determinar a relação entre o período e a distância do ponto de 
suspensão ao centro de massa de um pêndulo físico. Verificou-se que o valor de 𝑥 que 
determina o menor valor do período pode ser obtido tanto através de dados experimentais 
quanto de manipulação algébrica. Ambos os valores, 0,2886 e 0,3000, são relativamente 
iguais, o que evidencia a veracidade do modelo físico para o período de um pêndulo. Pode-se 
supor que a diferença entre os valores experimentais e teóricos são decorrentes de 
aproximações feitas durante a resolução algébrica, a qual admite sistemas ideais, diferente 
da realidade das estruturas utilizadas no experimento. Temos, portanto, uma confirmação 
experimental do modelo físico que determina que, para distâncias próximas a 𝑥 = 0,2887 𝑚, o 
período tende a se tornar o menor possível. 
Referências 
PÊNDULO FÍSICO. 24 abr 2013. em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo 
_f%C3%ADsico >. Acesso em 08 set. 2013. 
AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DO TIPO A. 2012. em: < http://www.if.ufrgs.br/fis1258/index_ 
arquivos/TXT_04.pdf >. Acesso em 01 set. 2013. 
TEOREMA DE STEINER. 20 mai 2013. em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Steiner 
>. Acesso em 08 set. 2013. 
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