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MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2015 
Lista de exercícios 5 – Distribuição Binomial – C A S A (Gabarito) 
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Exercício 01 
 
Discuta a validade do modelo binomial para as variáveis aleatórias mencionadas nos 
seguintes casos: 
 
(a) (0,5 pontos) dos pacientes de um grande hospital, sorteamos 8 e contamos 
quantos se declaram diabéticos; 
Resposta: 
O modelo binomial consiste na repetição de ensaios de Bernoulli de maneira 
independente e com probabilidade de sucesso constante de ensaio para ensaio. 
Estamos interessados em contar quantos sucessos obtemos de um experimento. Nesse 
exemplo o sucesso é “declarar ser diabético” e X é o número de pacientes que se 
declaram diabéticos entre os 8 sorteados, n=8 repetições. Podemos considerar a 
independência entre os ensaios, pois os pacientes são independentes e a probabilidade 
de se declarar diabético pode ser considerada constante para os pacientes. Nesse caso 
a variável aleatória que representa o número de sucessos nas n repetições do 
experimento de Bernoulli tem distribuição Binomial. Logo, o modelo binomial é válido 
nesse exemplo. 
 
(b) (0,5 pontos) da prateleira de biscoitos em um supermercado, escolhemos 30 
pacotes de biscoitos, ao acaso, sendo 15 de uma fábrica e 15 de outra. Contamos o 
número total de pacotes com biscoitos quebrados; 
 
Resposta: 
Ensaio= pacote. Cada pacote pode ter ou não biscoitos quebrados. Então, sucesso= { 
pacote tem biscoito quebrado}. Há n=30 ensaios e podemos considerar independência 
entre os pacotes, porém, a probabilidade de ter pacote com biscoitos quebrados pode 
ser diferente para fábricas distintas, logo não é constante e não podemos considerar 
um modelo binomial. 
 
(c) (0,5 pontos) selecionamos um habitante, ao acaso, de cada localidade em uma 
região com 80 localidades. Registramos o número de mulheres selecionadas; 
 
Resposta: 
Ensaio=habitante, n=80 habitantes; sucesso={mulher ser selecionada}. Há 
independência entre habitantes, porém como cada localidade pode apresentar uma 
probabilidade diferente de selecionar uma mulher, o modelo binomial não se aplica. 
 
(d) (0,5 pontos) um teste, que consiste em preencher um formulário no 
computador em menos de três minutos, será aplicado a um candidato a funcionário 
de uma empresa. Em 10 tentativas, contamos o número de vezes em que o 
candidato preencheu corretamente. 
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Resposta: 
 
Nesse exemplo o ensaio corresponde a fazer o teste. Sucesso={preencher o formulário 
corretamente em 1 tentativa}. Há n=10 repetições, porém, como o mesmo candidato 
faz os testes ele pode acumular a experiência da vez anterior e, portanto não temos 
independência entre os resultados do teste. Logo, não podemos considerar o modelo 
binomial. 
 
Exercício 02 
Suponha que a distribuição de probabilidade do tempo (em min.), que o assistente 
do chef de cozinha de um pequeno restaurante processa um pedido de um cliente, 
seja dada na tabela a seguir. 
 
T 15 16 17 18 19 20 
P(T) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 
 
(a) (1,0 pontos) Calcule o tempo médio para que um pedido de um cliente seja 
atendido pelo assistente do chef (use 2 casas decimais); 
Para cada pedido atendido, o assistente do chef ganha um fixo de 2,00 u.m. 
(unidades monetárias), mas se ele prepara o pedido em menos de 18 minutos, 
ganha 1,00 u.m. por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa o pedido 
em 16 minutos, recebe a quantia adicional de 2,00 u.m., ou seja, ele ganha para 
esse pedido 4,00 u.m. no total. 
 
Resposta: 
 
O tempo médio para que um pedido de um cliente seja atendido pelo assistente do 
chef é 
E(T)=15 x 0,1 + 16 x 0,1 + 17 x 0,2 + 18 x 0,3 + 19 x 0,2 + 20 x 0,1 = 17,7 min. 
 
(b) (1,0 pontos) Encontre a distribuição de probabilidade da variável aleatória G: 
quantia ganha por pedido, em u.m.; 
 
Resposta: 
Se ele prepara o prato em 18, 19 ou 20 min, então o ganho é 2 u.m. 
Portanto, P(G=2)=P(T=18)+P(T=19)+P(T=20)=0,3+0,2+0,1=0,6. 
 
 
Para ganhar 5 u.m. ele tem que preparar o prato em 15 min. Assim, temos a seguinte 
distribuição de probabilidade para G: 
G 5 4 3 2 
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P(G) 0,1 0,1 0,2 0,6 
 
 
(c) (0,5 pontos) Encontre o ganho esperado por pedido e o desvio padrão do ganho 
por pedido. 
 
Resposta: 
 
Ganho esperado = E(G)= 5 x 0,1 + 4 x 0,1 + 3 x 0,2 + 2 x 0,6 = 2,7 u.m. 
Variância = Var(G)= E( )- = 25 x 0,1 + 16 x 0,1 + 9 x 0,2 + 4 x 0,6 - (2,7)2 = 1,01 
Desvio padrão =DP(G)= = 1,005 u.m. 
 
Exercício 3 
Numa universidade relata-se que 2% dos alunos que realizam seu vestibular cada 
ano recebem acomodações especiais por causa de deficiência física. Considere 
selecionar uma amostra de 25 estudantes que fizeram o teste recentemente. Use 4 
casas decimais. 
 
(a) (0,5 pontos) Qual é a probabilidade de exatamente 1 ter recebido acomodação 
especial, entre os 25 selecionados? 
 
Resposta: 
 
Seja X a variável aleatória que representa o número de alunos, dentre a amostra de 
25, que receberam acomodação especial. 
 
X ~ Bin(25; 0,02) 
 
No R baixe e instale o seguinte pacote: Rcmdr, e siga os passos; Distribuições 
Distribuições discretas distribuição binomial 
 
Probability 
0 6.034647e-01 
1 3.078902e-01 
2 7.540167e-02 
3 1.179754e-02 
4 1.324214e-03 
5 1.135040e-04 
6 7.721363e-06 
7 4.277140e-07 
8 1.963993e-08 
9 7.570947e-10 
10 2.472146e-11 
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25 3.355443e-43 
 
Então, pela tabela obtida no R, P(X = 1) = 0,3079. 
 
(b) (0,5 pontos) Qual é a probabilidade de ao menos 2 terem recebido acomodação 
especial entre os 25 selecionados? 
 
Resposta: 
 
{ao menos 2 receberam acomodação especial}={X≥2} 
 
P(X≥2) = 1 – [P( X = 0 ) + P( X = 1 )] = 1-[0,6035+0,3079]=0,0886 
 
(c) (1,0 pontos) Qual é a probabilidade de que o número dos que não recebem 
acomodação especial, dentre os 25 selecionados, esteja entre 21 e 24? 
 
Resposta: 
 
Agora considere Y a variável aleatória que representa o número de alunos dentre a 
amostra de 25 que não receberam acomodação especial. 
 
Y ~ Bin (25; 0,98 ) e Y=25-X; assim 
 
P( 21 ≤ Y ≤ 24 ) = P( 1 ≤ X ≤ 4 )= 0,3079 + 0,0754 + 0,0118 + 0,0013 = 0,3964 
 
ou P( 21 < Y < 24 )= P( 2 ≤ X ≤ 3 )= 0,0754 + 0,0118 = 0,0872. 
 
 
(d) (1,0 pontos) Qual é a probabilidade de no máximo 1 ter recebido acomodação 
especial entre os 25 selecionados? 
 
Resposta: 
 
{no máximo 1 ter recebido acomodação especial}={X≤1} 
 
P(X ≤ 1) = P( X = 0 ) + P( X = 1 ) = 0,6035+0,3079=0,9114 
 
Exercício 4 
Suponhamos que 92% dos homens adultos e 86% das mulheres adultas de uma 
população sejam alfabetizados. Suponhamos também que a população adulta seja 
constituída por 55% de homens e 45% de mulheres. 
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(a) (0,5 pontos) Qual é a proporção de pessoas adultas alfabetizadas na população? 
Use 4 casas decimais. 
 
Resposta: 
Seja A o evento “pessoa alfabetizada”, 
 
 
 
Pelo diagrama em árvore temos que: 
 
P(A)=P(A H)+ P(A M)= P(H) P(A|H)+ P(M) P(A|M)= (0,55)(0,92)+(0,45)(0,86)= 0,5060 + 
0,387 = 0,8930 
 
(b) (1,0 pontos) Se 12 pessoas adultas forem selecionadas ao acaso dessa 
população, qual é a probabilidade de que pelo menos 10 sejam alfabetizadas? 
Use 4 casas decimais. 
 
Resposta: 
 
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O número X de pessoas alfabetizadas possui distribuição Binomial (12, p=0,8930). 
Do Rcmdr, como no problema acima, obtemos: 
 
Probability 
0 2.252192e-12 
1 2.255559e-10 
2 1.035344e-08 
3 2.880256e-07 
4 5.408555e-06 
5 7.222190e-05 
6 7.032073e-04 
7 5.030420e-03 
8 2.623928e-02 
9 9.732785e-02 
10 2.436835e-01 
11 3.697695e-01 
12 2.571683e-01 
 
Logo; 
P(X ≥ 10)= P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) = 2,436835e-01 + 3,697695e-01 + 2,571683e-
01 = 0,8706. 
 
Ou, pela probabilidade da cauda superior, passos: Distribuições Distribuições 
discretas distribuição binomial probabilidades das caudas da binomial 
Valores da variável=9 
Experimentos da binomial=12 
Probabilidade de sucesso=0,8930 
Cauda superior. 
Assim; 
P(X≥10) = P(X > 9) = 0,8706. 
 
 
(c) (1,0 pontos) Em média, quantas pessoas alfabetizadas esperamos encontrar 
dentre as 12 sorteadas? E qual é o desvio-padrão do número de pessoas 
alfabetizadas? Use 2 casas decimais. 
 
Resposta: 
 
E(X) = np = 12(0,893) = 10,71 pessoas 
Var(X) = np(1-p) = 12(0,893)(1-0,893) = 10,716(0,107) =1,14 
DP(X) = =1,07