MAT1250 P3 (com solução)

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MAT1250 – A´lgebra Linear A
P3 – 20 de junho de 2016
Nome Leg´ıvel :
Assinatura :
Matr´ıcula : Turma :
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 2, 0
2a 2, 0
3a 2, 0
Prova 6, 0
Teste 4, 0
G3 10, 0
Instruc¸o˜es Gerais:
• A durac¸a˜o da prova e´ de 1h50min.
• A toleraˆncia de entrada e´ de 30min apo´s o in´ıcio da prova. Se um aluno terminar a prova em
menos de 30min, devera´ aguardar em sala antes de entregar a prova e sair de sala.
• A prova deve ser resolvido apenas nas folhas recebidas e nos espac¸os reservados para soluc¸o˜es.
Na˜o e´ permitido destacar folhas da prova.
• A prova e´ sem consulta a professores, fiscais ou a qualquer tipo de material. A interpretac¸a˜o
dos enunciados faz parte da prova.
• O aluno so´ podera´ realizar a prova e assinar a lista de presenc¸a na sua turma/sala.
• O aluno so´ podera´ manter junto a si: la´pis, borracha e caneta. Caso necessa´rio, o fiscal podera´
solicitar ajuda a outro aluno e apenas o fiscal repassara´ o material emprestado.
• O celular devera´ ser desligado e guardado.
• O aluno na˜o podera´ sair de sala enquanto estiver fazendo a prova.
Instruc¸o˜es Espec´ıficas:
• Todas as questo˜es devem ser justificadas de forma clara, rigorosa e de prefereˆncia sucinta.
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
• A prova pode ser resolvido a la´pis ou a caneta de tinta azul ou preta. Na˜o e´ permitido o uso de
caneta de tinta vermelha ou verde.
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadora ou qualquer dispositivo eletroˆnico.
• Esta prova possui 3 questo˜es. Confira.
1. Seja r a reta dada por
r = {(2,−1, 1) + t(−1, 0, 1), t ∈ R} .
Determine:
(0, 6 pontos) (a) a equac¸a˜o do plano pi ortogonal a` reta r e tal que (3, 1, 4) ∈ pi.
(0, 7 pontos) (b) a equac¸a˜o de uma reta s1 ortogonal a` reta r tal que (3, 1, 4) ∈ s1 e s1 ∩ r = ∅.
(0, 7 pontos) (c) a equac¸a˜o de uma reta s2 ortogonal a` reta r tal que (3, 1, 4) ∈ s2 e s2 ∩ r 6= ∅.
2. Sejam T : P2 → P2 uma transformac¸a˜o linear e α = {x2 + x , x2 − 2 , x} uma base de P2 tais
que
[T ]α =
 1 1 11 1 1
1 1 1
 .
(0, 6 pontos) (a) Determine os autovalores de T .
(0, 7 pontos) (b) Existe alguma base β de P2 tal que [T ]β seja uma matriz diagonal? Em caso afirmativo,
determine a matriz [T ]β. (Lembre-se de justificar suas respostas!)
(0, 7 pontos) (c) Existe alguma base γ de P2 tal que [T ]γ na˜o seja diagonaliza´vel? Justifique sua resposta.
3. Seja T : U → U uma transformac¸a˜o linear tal que
T ◦ T = T.
Mostre que:
(0, 7 pontos) (a) se T e´ invers´ıvel, enta˜o T e´ diagonaliza´vel.
(0, 7 pontos) (b) se λ ∈ R e´ autovalor de T , enta˜o λ = 0 ou λ = 1.
(0, 6 pontos) (c) se T e´ injetiva, enta˜o λ = 1 e´ o u´nico autovalor de T .