matemática atuarial exercícios[1]

Prévia do material em texto

1) Verificar se a função de sobrevivência s(x) = 1 – (x / 105); 0 ≤ x ≤ 105 é realmente uma função de sobrevivência.
Devemos verificar se:
s(x) é uma função contínua decrescente em relação à x ;
s(x) é uma função contínua de x definida no intervalo 0 ≤ x ≤ w, que decresce do valor s(0) = 1 até s(w) = 0;
( para verificar a primeira propriedade, uma das alternativas é verificar a 1ª derivada. 
Logo: s’(x) = - (1 / 105) < 0 ok!
s(0) = 1 - (0 / 105) = 1 ok!
s(w) = 1 – (105 / 105) = 0 ok!
Portanto, a função s(x) = 1 – (x / 105); 0 ≤ x ≤ 105 é uma função de sobrevivência.
a) Calcular a probabilidade de (0) sobreviver à idade 15.
s(15) = 1 – (15 / 105) = 6/7
b) Calcular a probabilidade de (0) sobreviver à idade 42.
s(42) = 1 – (42 / 105) = 3/5
c) Calcular a probabilidade de (0) falecer entre 15 e 42 anos.
Probabilidade = s(15) – s (42) = 6/7 – 3/5 = 9/35
d) Calcular a probabilidade p de (15) sobreviver à idade de 42 anos.
s(42) = p * s (15) ( p = s(42) / s(15) ( p = (3/5) / (6/7) = 7/10
e) Calcular a probabilidade q de (15) morrer até a idade de 42 anos.
q = 1 – p (do exercício anterior) ( q = 1- (7 / 10) ( q = 3/10
2) Verificar se a função de sobrevivência s(x) = 1/10 * 
; 0 ≤ x ≤ 100 é realmente uma função de sobrevivência.
(i) s’(x) = 
 < 0; 0 ≤ x ≤ 100 ok!
(ii) s(o) = 
= 1 ok!
 s(w) = 
= 0 ok!
Portanto, a função s(x) = 1/10 * 
; 0 ≤ x ≤ 100 é uma função de sobrevivência.
a) Calcular a probabilidade de (0) sobreviver à idade 36.
s(36) = 1/10 * 
= 4/5
b) Calcular a probabilidade de (0) sobreviver à idade 64.
s(64) = 1/10 * 
= 3/5
c) Calcular a probabilidade de (36) sobreviver à idade 64.
Probabilidade = s(64) / s(36) = (3/5) / (4/5) = 3/4
d) Calcular a probabilidade de (0) morrer entre as idades 36 e 64.
Probabilidade = s(36) – s(64) = 4/5 – 3/5 = 1/5
e) Calcular a probabilidade de (36) morrer antes dos 64.
Probabilidade = 
3) Verifique se a função 
satisfaz as condições em s(x).
s’(x) = 
< 0 para ( x > 0 ok!
s(0) = 
= 1 ok!
	
	s(w) = 
= 0 ok!
Logo, a função acima é uma função de sobrevivência.
Use a função para calcular as seguintes probabilidades:
a) a probabilidade de sobrevivência do nascimento a idade 20.
s(20) = 
 = 0,88
b) a probabilidade que uma vida de idade 20 irá sobreviver até a idade 40.
s(40) = 
( probabilidade pedida = 
c) a probabilidade que uma vida de idade 20 irá morrer entre 30 e 40.
s(30) = 
4) Calcular a taxa de sobrevivência para a idade de 30 anos, sabendo-se que o número de sobreviventes desta idade é de 966.803 e para a idade seguinte é de 964.744.
px = 
5) Partindo dos casos favoráveis e possíveis, qual a probabilidade de uma pessoa de idade de 26 anos, sobreviver o dobro dessa idade?
npx = 
6) Uma pessoa de 45 anos deseja saber qual é probabilidade de morrer no 60º ano?
14/q45 = 
7) Qual a probabilidade de uma criança de 10 anos falecer dentro de 20 anos? E de falecer entre 20 e 30 anos? Dados: l30 = 86.292; l10 = 100.000; l20 = 93.268 
a) falecer dentro de 20 anos:
20q10 = 
b) falecer entre 20 e 30 anos:
10/10q10 = 
8) Sabendo-se que 
x para a idade de 35 anos é de 30,87, calcular e35.
ex = 
x - ½ ( e35 = 
35 – ½ = 30,87 – 0,5 = 30,37
9) Sabendo-se que:
ℓ94 = 184; ℓ95 = 89; ℓ96 = 37; ℓ97 = 13; ℓ98 = 4 e ℓ99 = 1
Calcular a expectativa completa de vida para a idade de 94 anos.
x= 
 ( 
94 = ½ + 
( 
94 = 0,5 + 
 
10) Uma pessoa de 30 anos faz um seguro no valor de R$ 100.000,00 a ser recebido quando completar 45 anos. Qual o prêmio único e puro a ser pago?
x = 30 	( x+n = 45
n = 15
nEx = 
Quantia segurada = R$ 100.000,00
15E30 = ?
* supondo os seguintes valores: D45 = 67.042,4 e D30= 168.330,20 ( prêmio único puro a ser pago seria: 
11) Uma pessoa com 32 anos faz um seguro objetivando receber vitaliciamente, no início de cada ano e imediatamente, uma renda de R$ 2.000,00. Qual será o prêmio único e puro, considerando-se N32 = 1.1015.603,9 e D32 = 82.016,20.
äx = 
12) Considerando os dados e a resposta da questão anterior, calcule qual seria o prêmio único caso a renda fosse vitalícia imediata postecipada.
ax = 
Só que não temos o valor de Nx + 1. Entretanto, sabemos que: äx= ax + 1
( ax = äx –1
Do exercício anterior, sabemos que äx = 12,38296702 (para uma unidade monetária)
( ax = 12,38296702 –1 ( ax = 11,38296702.
Logo: prêmio único e puro para uma renda de R$ 2.000,00 = 2.000 * 11,38296702
Prêmio = 22.765,93
13) Uma pessoa com idade de 25 anos deseja saber qual o prêmio que deverá pagar à companhia de seguros para que tenha uma renda de R$ 3.000,00 no início de cada ano, e isso após completar 55 anos, e usufruí-la enquanto viver. Considere, como dados, N55 = 90.405,40 e D25 = 127.039,20
x = 25 anos
R = R$ 3.000,00
n = 30 anos
30/ä25 = ?
n/äx = 
( 30/ä25 = 2.134,90
14) Calcular o prêmio único e puro que uma pessoa de 30 anos de idade deve pagar para ter uma renda vitalícia, a ser recebida após completar a idade de 50 anos. O valor da renda será de R$ 10.000,00 a ser recebida no fim de cada ano e N51= 138.870,90 e D30 = 83.646,10.
x = 30 anos
R = R$ 10.000,00
n = 20 anos
20/a30 = ?
n/ax = 
15) Uma pessoa com 42 anos deseja uma renda de R$ 20.000,00, a ser recebida no início de cada ano, até completar a idade de 60 anos. Qual o prêmio único e puro, considerando N42 = 426.979,40, N60 = 98.742,10 e D42 = 36.918,60
x = 42 anos
n = 18 anos
r = R$ 20.000,00
= ?
16) Uma pessoa de 28 anos deseja uma renda de R$ 12.000,00, a ser recebido no fim de cada ano, durante o prazo de 15 anos. Calcular o prêmio único e puro, considerando-se N29 = 1.304.435, N44 = 356.019,50 e D28 = 112.537,80
x = 28 anos
n = 15
R = R$ 12.000,00
 = ?
17) Uma pessoa de 30 anos de idade deseja uma renda no valor de R$ 6.000,00 a ser recebida no início de cada ano, entre as idades de 40 até 60 anos. Pede-se o prêmio único e puro, considerando-se N40 = 208.342,60, N60 = 20.389,80 e D30 = 55.406,10.
x = 30 anos
t = 10 anos
n = 20 anos
R = R$ 6.000,00
 = ?
 
 
18) Uma pessoa com 32 anos de idade deseja uma renda de R$ 8.000,00 a ser recebida no fim de cada ano, a partir dos 40 anos até os 55 anos. Pede-se o prêmio único e puro, considerando-se N41 = 590.368,60, N56 = 145.144,6 e D32 = 95.145,70.
x = 32 anos
t = 8 anos
n = 15 anos
R = R$ 8.000,00
 = ?
19) Uma pessoa de 25 anos de idade faz um seguro de vida inteira contra morte, cuja importância segurada é de R$ 150.000,00. Qual o prêmio único e puro a ser cobrado, considerando-se M25 = 41,50 e D25 = 4509,60.
x = 25 anos
Q = 150.000,00
A25 = ?
Ax = 
( A25 = 1.380,39
20) Uma pessoa com 35 anos faz um seguro de vida inteira diferido cujo valor segurado é de R$ 100.000,00. O seguro deverá iniciar a partir da data em que o segurado completar 50 anos. Calcular o prêmio único e puro, considerando-se M50 = 403,1 e D35 = 3.091,90.
x = 35 anos
n = 15 anos
Q = 100.000,00
15/A35 = ?
n/Ax = 
( 15/A35 = 13.037,29
21) Uma pessoa de 35 anos deseja efetivar um seguro contra morte que vigore até a idade de 55 anos com uma quantia segurada de R$ 800.000,00. Calcular o prêmio único e puro, sabendo-se que: M35 = 860,40, M55 = 295,40 e D35 = 18.105,00
x = 35 anos
n = 20
Q = R$ 80.000,00
 = ?
 
22) Uma pessoa com 25 anos de idade faz um seguro contra morte, cuja importância é de R$ 200.000,00. O seguro deverá iniciar quando o segurado completar 30 anos e vigoraráaté que complete 60 anos. Qual o prêmio puro e único, considerando-se M30 = 1.120,30, M60 = 205,60 e D25 = 57.442,10
x = 25 anos
t = 5
n = 30 = 60 – (25+5)
 = ?
Q = R$ 200.000,00
 
23) Uma pessoa com 35 anos de idade faz um seguro de vida dotal misto com cobertura por 20 anos, cuja importância segurada é R$ 80.000,00. Calcule o prêmio único e puro, sabendo-se que: M35 4.828,20, M55 = 2.480,50, D55 = 9.562,00 e D35 = 55.003,30
x = 35 anos
n = 20
Q = R$ 80.000,00
24) Sabendo-se que ä35 = 11,788 e que i = 4%, qual o valor de A35?
ä35 = 11,788
i = 4%
A35 = ?
Ax = 1 – (d * äx)
d = 1- v = i / (1+i)
( A35 = 1 - (0,04 / 1,04) * 11,788 ( A35 = 0,547
i = 10%
Sabemos que: Ax = (v * äx) – ax
nEx = (Dx+n / Dx), que pode ser escrito como: 
só que: 
Logo: Nx+n - Nx+n+1 = Dx+n
27) Considerando-se os dados do problema anterior, calcule o valor de , sabendo-se que 10E50 = 0,426.
28) Uma pessoa com 35 anos faz um seguro de vida com cobertura vitalícia, cuja quantia segurada é de R$ 100.000,00. Calcule o prêmio anual puro, sabendo-se que M35 = 7.773,00 e N35 = 722.808,30.
x= 35 anos
Q = R$ 100.000,00
P35 = ?
Px = 
( P35 = (M35 / N35) * Q ( P35 = (7.773,00 / 722.808,30) * 100.000,00
( P35 = 1.075,39
29) Uma pessoa com 35 anos faz um seguro de vida com cobertura vitalícia e pagamento temporário do prêmio por 20 anos. Calcule o prêmio anual puro, sabendo-se que a importância segurada é de R$ 100.000,00 e que M35 = 4.828,20, N35 = 640.469,70 e N55 = 90.405,40
x = 35 anos
Q = 100.000,00
 
30) Uma pessoa com 40 anos de idade faz um seguro de vida dotal misto pelo prazo de 15 anos, no valor de R$ 100.000,00. Calcule o prêmio anual puro, sabendo-se que o prêmio será pago anualmente com duração de 5 anos. Adote nos cálculos M40 = 6.529,7, M55 = 2.541,80, D55 = 6.693,60, N40 = 460.773,7 e N45 = 278.557,20.
x = 40 anos
n = 15 anos
Q = 100.000,00
t = 5 anos
Prêmio = ?
31) Uma pessoa com 40 anos quer saber que prêmio único e puro pagará, para receber uma renda no valor de R$ 20.000,00, no início de cada semestre enquanto viver, considerando N40 = 510.386,00 e D40 = 43.380,90.
x = 40 anos
m = 2 (semestral)
R = (20.000 * 2) = R$ 40.000
32) Uma pessoa com 35 anos deseja receber mensalmente uma renda de R$ 5.000,00. Esclarece que quer os recebimentos da renda no início de cada mês e a partir do mês em que complete a idade de 55 anos, isto enquanto viver. Qual o prêmio único e puro, considerando que N55 = 161.057,90, D55 = 15.913,10 e D35 = 76.055,90.
x = 35 anos
n = 20 anos (55 – 35)
m = 12 (mensal)
R = (5.000 * 12) = R$ 60.000
33) Uma pessoa com 30 anos possui um capital de R$ 10.000.000,00 e com ele deseja pagar uma renda a ser recebida no início de cada semestre, após completar 45 anos até a idade de 60 anos. Qual o valor da renda pretendida, sabendo-se que: 
x = 30 anos
m = 2 (semestral)
t = 15 anos
n = 15 anos
Valor da renda semestral = ?
34) Qual o prêmio puro e único de uma renda que deverá ser paga ao segurado no início de cada ano e imediatamente, sabendo-se que a renda deverá ser crescente ano a ano, conforme demonstrativo abaixo:
x = 30 anos
valores da renda
R1 = 12.000,00
R2 = 15.000,00
R3 = 18.000,00
Os valores de R1, R2, e R3, .... podem ser reescritos da seguinte maneira:
R1 = 9000,00 + 3000,00
R2 = 9000,00 + 6000,00
R3 = 9000,00 + 9000,00
O valor de R$ 9000,00 significa dizer renda paga anualmente e de forma antecipada, enquanto a pessoa estiver viva. Sua representação, referente ao prêmio único, é dada por äx = (Nx / Dx) * 9.000,00.
A segunda parte representa uma renda que cresce de 3000 unidades ano a ano, e a representação do prêmio único é dada por: (Sx / Dx) * 3.000,00
( o prêmio único e puro pedido é: 9.000,00 * 
 + 3.000,00 * 
( prêmio único e puro pedido = 
35) Uma pessoa com 40 anos de idade faz um seguro de vida temporário por 20 anos. Sabendo-se que o capital segurado é de R$ 100.000,00, calcule a provisão matemática de Benefícios a conceder quando este segurado tiver 52 anos, pelos dois métodos, considerando-se que o prêmio foi pago de forma única:
x = 40 anos
n = 20 anos
t = 12 anos (52 - 40)
capital = R$ 100.000,00
Prêmio único
12V40 = ?
 
i) Método prospectivo = indenizações futuras – prêmios futuros
* Prêmios Futuros igual a zero porque o prêmio foi pago de forma única
ii) Método Retrospectivo = prêmios passados – indenizações passadas
 
* (D40 / D52) ( fator de capitalização atuarial. Sempre tenho que capitalizar até a data do cálculo t =12 ( x = 52.
( Os dois métodos conduzem a valores de reserva exatamente iguais. A única diferença é que sempre existirá uma maneira mais fácil de se calcular a provisão. Igualando-se os dois resultados e achando-se o prêmio único, veremos que ele é igual ao calculado inicialmente.
( Prêmio único = 100.000 * 
 ok!
36) Refaça o exercício anterior, considerando um prêmio nivelado, pago ao longo dos 20 anos.
i) Método prospectivo = indenizações futuras – prêmios futuros
ii) Método retrospectivo = prêmios passados – indenizações passadas
37) Uma pessoa com 40 anos deseja receber uma renda mensal diferida de 20 anos e antecipada no valor de R$ 1.000,00. Calcule a provisão matemática de Benefícios a conceder quando este segurado tiver 52 anos, pelos dois métodos, considerando:
prêmio único
prêmio nivelado por 20 anos
x = 40 anos
n = 20 anos
t = 12 anos (52 - 40)
renda = R$ 1.000,00
12V40 = ?
a) prêmio único = 1.000 * n/äx = 1.000 * 20/ä40 = 1.000 * (N60 / D40)
i) Método prospectivo = indenizações futuras – prêmios futuros 
12V40 = (8/ä52 * 1.000) - 0 ( 12V40 = 1.000 * (N60 / D52)
ii) Método retrospectivo = prêmios passados – indenizações passadas
12V40 = {1.000 * (N60 / D40) * (D40 / D52)} - 0 ( 12V40 = 1.000 * (N60 / D52)
* Note que indenizações passadas é igual a zero pois estamos tratando de uma renda que será paga somente quando a pessoa fizer 60 anos, diferentemente do que ocorre no seguro de morte, pois o risco de morrer esteve sempre coberto.
b) Prêmio nivelado por 20 anos.
i) Método prospectivo = indenizações futuras – prêmios futuros
ii) Método retrospectivo = prêmios passados – indenizações passadas
38) Uma pessoa com idade de 40 anos deseja fazer um seguro de vida com cobertura temporária de 20 anos e uma renda vitalícia antecipada a ser recebida a partir dos 60 anos. Sabendo-se que o capital para cobrir o risco de morte é de R$ 100.000,00 e que o valor da renda desejada é de R$ 2.000,00, calcular a provisão matemática, pelos dois métodos, considerando:
a) Provisão matemática de Benefícios a conceder quando a pessoa tiver 52 anos, mediante o pagamento de prêmio único.
b) Provisão Matemática de Benefícios concedidos quando a pessoa tiver 65 anos, mediante o pagamento de prêmio único.
c) Igual a letra (a), considerando um prêmio nivelado por 10 anos.
d) Igual a letra (b), considerando um prêmio nivelado por 10 anos.
 
a) 
i) Método prospectivo = indenizações futuras – prêmios futuros
ii) Método retrospectivo = prêmios passados – indenizações passadas
b)
i) Método prospectivo = indenizações futuras – prêmios futuros
ii) Método retrospectivo = prêmios passados – indenizações passadas
c)
i) Método prospectivo = indenizações futuras – prêmios futuros
Observe que prêmios futuros é iguala zero pois o prêmio foi pago durante 10 anos e estamos no instante t = 12 anos.
ii) Método retrospectivo = prêmios passados – indenizações passadas
d)
i) Método prospectivo = indenizações futuras – prêmios futuros
ii) Método retrospectivo = prêmios passados – indenizações passadas
39) Determinar o prêmio único e puro que deverá ser pago por uma pessoa com 45 anos, para receber uma renda de R$ 3.000,00 no fim de cada ano, a partir dos 55 anos até os 65 anos, sabendo-se que N56 = 540.251,22, N66 = 209.860,37 e D45 = 94.886,28.
x = 45 anos
t = 10 anos
n = 10 anos
Renda = R$ 3.000,00
40) Qual deverá ser o prêmio único e puro a ser pago por um seguro contra a morte, no valor de R$ 100.000,00, para uma pessoa de 45 anos que deseja cobertura vitalícia a partir dos 56 anos, sabendo-se que M56 = 22.468,66 e D45 = 94.886,28.
x = 45 anos
t = 11 anos (56 – 45)
Q = R$ 100.000,00
41) Determinado cidadão, ao procurar uma seguradora, ficou ciente que o prêmio de uma renda vitalícia antecipada para uma idade de 50 anos é no valor unitário de R$ 13,60. Não satisfeito com isto, ele deseja saber que prêmio deverá pagar para efetivar um seguro vitalício contra morte no valor de R$ 200.000,00, considerando a mesma idade e a taxa de juros de 5% a.a..
ä50 = 13,60
Q = R$ = 200.000,00
i = 5% a.a.
A50 = ?
Ax = (Mx / Dx) = {(v * äx) - ax}
ax = äx - 1 → Ax = {(v * äx) - äx + 1}
d = (i * v) = {i / (1+i)}
→ Ax = 1 - d * äx → A50 = 1 – {(0,05 / 1,05) * 13,60}
→ A50 = 0,352380952 (para uma unidade monetária)
Portanto, para R$ 200.000,00, A50 = R$ 70.476,19
42) Sabendo-se que M45 = 31.597,74, M46 = 30.819,72, calcule C45.
Cx = Mx - Mx+1 → C45 = M45 – M46 → C45 = 31.597,74 - 30.819,72
→ C45 = 778,02
43) Determinar o prêmio puro e único que um ativo de 45 anos pagará para receber uma renda vitalícia antecipada de R$ 2.000,00 por ano, enquanto ativo e a partir dos 55 anos, sabendo-se que 
x = 45 anos
t = 10 anos
R = R$ 2.000,00
44) Qual o número de pessoas vivas na idade de 35 anos e 6 meses, sabendo-se que l35 = 82.581 e l36 = 81.814.
x = 35 anos
L35 = ?
Lx = ½ * (lx + lx+1) → L35 = ½ * (l35 + l36) → L35 = ½ * (82.581 + 81.814)
L35 = 82.197,50
45) Sabendo-se que l18 = 94.620, l19 = 93.945 e l20 = 93.268, determinar as taxas centrais de mortalidade de 18 e 19 anos.
m18 = ? 
m19 = ? 
46) considerando os dados e resultados da questão anterior, calcule p18, p19, q18 e q19.
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
_1074104654.unknown
_1074164478.unknown
_1074165155.unknown
_1074167743.unknown
_1074265934.unknown
_1074267469.unknown
_1074272102.unknown
_1074272685.unknown
_1074273994.unknown
_1074408067.unknown
_1074412263.unknown
_1074412761.unknown
_1074408468.unknown
_1074405771.unknown
_1074273062.unknown
_1074272155.unknown
_1074272220.unknown
_1074270892.unknown
_1074271382.unknown
_1074269133.unknown
_1074269397.unknown
_1074270539.unknown
_1074268707.unknown
_1074266430.unknown
_1074266637.unknown
_1074266202.unknown
_1074264780.unknown
_1074265387.unknown
_1074265481.unknown
_1074265318.unknown
_1074264449.unknown
_1074264555.unknown
_1074167759.unknown
_1074166777.unknown
_1074167485.unknown
_1074167716.unknown
_1074167088.unknown
_1074165812.unknown
_1074166647.unknown
_1074165752.unknown
_1074164821.unknown
_1074164949.unknown
_1074164994.unknown
_1074165099.unknown
_1074164966.unknown
_1074164871.unknown
_1074164892.unknown
_1074164845.unknown
_1074164685.unknown
_1074164772.unknown
_1074164803.unknown
_1074164734.unknown
_1074164586.unknown
_1074164650.unknown
_1074164544.unknown
_1074155281.unknown
_1074162927.unknown
_1074163467.unknown
_1074164167.unknown
_1074164296.unknown
_1074163542.unknown
_1074164003.unknown
_1074163127.unknown
_1074161039.unknown
_1074162416.unknown
_1074162651.unknown
_1074157527.unknown
_1074157581.unknown
_1074158026.unknown
_1074155354.unknown
_1074151425.unknown
_1074152013.unknown
_1074153110.unknown
_1074151965.unknown
_1074105316.unknown
_1074151231.unknown
_1074151346.unknown
_1074105541.unknown
_1074105925.unknown
_1074105092.unknown
_1074082940.unknown
_1074102829.unknown
_1074103372.unknown
_1074103584.unknown
_1074103786.unknown
_1074103922.unknown
_1074103554.unknown
_1074102977.unknown
_1074103091.unknown
_1074102873.unknown
_1074102504.unknown
_1074102710.unknown
_1074102742.unknown
_1074102590.unknown
_1074083775.unknown
_1074084671.unknown
_1074085935.unknown
_1074085579.unknown
_1074084328.unknown
_1074083180.unknown
_1074083371.unknown
_1074083044.unknown
_1073810165.unknown
_1073811069.unknown
_1073812054.unknown
_1073813153.unknown
_1074081606.unknown
_1073812865.unknown
_1073811126.unknown
_1073810586.unknown
_1073810643.unknown
_1073810476.unknown
_1073809687.unknown
_1073809878.unknown
_1073810109.unknown
_1073809832.unknown
_1073808709.unknown