INTEGRAL TRIPLA

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A Integral Tripla
Prof. Patricio Pe´rez
Licenciatura em Matema´tica a Distaˆncia / NEaD
August 30, 2014
Prof. Patricio patricioeada@yahoo.com.br Licenciatura em Matema´tica a Distaˆncia / NEaD
A Integral Tripla 1
Introduc¸a˜o
Ja´ aprendemos a trabalhar com as Integrais Duplas e suas
aplicac¸o˜es. Nesta vı´deoaula estudaremos as integrais definidas
sobre um conjunto B ⊂ R3 chamadas Integrais Triplas, ja´ que
sera˜o treˆs varia´veis as que estara˜o envolvidas na conta. Estas
integrais tem muitas aplicac¸o˜es como o ca´lculo de volume de
so´lidos e centro de massa, entre outras.
Observemos que se f : B → R. Como B ⊂ R3, enta˜o o Gra´fico de
f , isto e´, graf (f ) e´ um subconjunto de R4. Logo, na˜o e´ possı´vel
ter uma figura da superfı´cie gerada por f , pore´m poderemos
usar o domı´nio B para nos auxiliar nas contas.
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A Integral Tripla 2
A Integral Tripla
Consideremos inicialmente uma func¸a˜o f (x, y, z) definida em
uma Caixa Retaˆngular dada por B = [a, b]× [c,d]× [p, q]
= {(x, y, z)/a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , p ≤ z ≤ q}
A Caixa Retaˆngular B = [a, b]× [c,d]× [p, q]
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A Integral Tripla 3
Vamos dividir o conjunto B em Subcaixas, considerando
∆x = b−am , ∆y =
d−c
n e ∆z =
q−p
r , obtendo assim os conjuntos
Bijk = [xi−1, xi ]× [yj−1, yj]× [zk−1, zk] cujo volume e´
∆V = ∆x ×∆y×∆z.
A subcaixa Bijk
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A Integral Tripla 4
Tomando um ponto amostragem (x∗ijk, y∗ijk, z∗ijk) ∈ Bijk, definimos a
Integral Tripla como o limite das somas de Riemann, dada por:
∫∫∫
B
f (x, y, z) dV = lim
i,j,k→+∞
m∑
i=1
n∑
j=1
r∑
k=1
f (x∗ijk, y
∗
ijk, z
∗
ijk) ∆V ,
se o limite existir. Observemos que se f e´ contı´nua este limite
sempre existe. Temos um Teorema para calcular esta integral.
Teorema de Fubini
Se f e´ contı´nua em B = [a, b]× [c,d]× [p, q], enta˜o:∫∫∫
B
f (x, y, z) dV =
∫ b
a
∫ d
c
∫ q
p
f (x, y, z) dzdydx
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A Integral Tripla 5
Exemplo
1.- Calcule a integral
∫∫∫
B
xyz2 dV , onde
B = {(x, y, z)/0 ≤ x ≤ 1 , −1 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 3}. Assim,
∫∫∫
B
xyz2 dV =
∫ 1
0
∫ 2
−1
∫ 3
0
xyz2 dzdydx
=
∫ 1
0
x dx
∫ 2
−1
y dy
∫ 3
0
z2 dz =
[
x2
2
]1
0
[
y2
2
]2
−1
[
z3
3
]3
0
=
[
12 − 02
2
] [
22 − (−1)2
2
] [
33 − 03
3
]
=
1
2 ·
3
2 ·
27
3 =
27
4
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A Integral Tripla 6
Integral Tripla para regio˜es mais gerais: Regia˜o Tipo I
Consideremos a regia˜o so´lida E1 que esta´ contida entre os
gra´ficos z = u1(x, y) e z = u2(x, y).
Isto e´, E1 = {(x, y, z)/(x, y) ∈ D e u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}, onde
D e´ a projec¸a˜o de E1 sobre o plano xy.
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A Integral Tripla 7
Assim a Integral Tripla fica na forma:
∫∫∫
E1
f (x, y, z) dV =
∫∫
D
[∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x, y, z) dz
]
dA
Dependendo do domı´nio D podemos ter diferentes formas para a
regia˜o so´lida E1.
A Regia˜o E1a
Primeiramente veremos a regia˜o E1a, definida pela conjunto:
E1a = {a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x) , u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)},
onde y = g1(x) e y = g2(x) sa˜o contı´nuas em [a, b]. Isto e´, temos
a integral tripla dada seguir:
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A Integral Tripla 8
∫∫∫
E1a
f (x, y, z) dV =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x, y, z) dzdydx
A regia˜o so´lida e´ ilustrada na seguinte figura:
A Regia˜o E1a
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A Integral Tripla 9
Exemplo
2.- Calcule a integral
∫∫∫
E
z dV , onde E e´ o tetraedro so´lido
delimitado pelo plano x + y + z = 1, no primeiro octante. Assim,
Primeiramente vamos encontrar os pontos de intersecc¸a˜o do
plano x + y + z = 1 com os eixos coordenados.
No eixo x, isto e´ y = z = 0, enta˜o x = 1
No eixo y, isto e´ x = z = 0, enta˜o y = 1
No eixo z, isto e´ x = y = 0, enta˜o z = 1.
Assim, obtemos a seguinte figura:
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A Integral Tripla 10
O Tetraedro x + y + z = 1
Assim, obtemos a regia˜o so´lida definida por:
E = {(x, y, z)/0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1− x , 0 ≤ z ≤ 1− x − y}.
As duas primeiras restric¸o˜es sa˜o obtidas da figura laranja e a
u´ltima da figura azul. Enta˜o, obtemos a integral dada por:
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A Integral Tripla 11
∫∫∫
E
z dV =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 1−x−y
0
z dzdydx
=
∫ 1
0
∫ 1−x
0
[
z2
2
]1−x−y
0
dydx =
1
2
∫ 1
0
∫ 1−x
0
(1− x − y)2 dydx
Fazendo a mudanc¸a de varia´veis w = 1− x − y, enta˜o temos que
dy = −dw. Assim, obtemos a integral:
= −12
∫ 1
0
∫ 1−x
0
w2 dwdx = −12
∫ 1
0
[
w3
3
]1−x
0
dx
= −16
∫ 1
0
[
(1− x − y)3]1−x0 dx
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A Integral Tripla 12
= −16
∫ 1
0
[
(1− x − (1− x))3 − (1− x − 0)3]dx
=
1
6
∫ 1
0
(1− x)3 dx, fazendo v = 1− x, temos dx = −dv
= −16
∫ 1
0
v3 dv = −16
[
v4
4
]1
0
= − 124
[
(1− x)4]10
= − 124
[
(1− 1)4 − (1− 0)4] = − 124 [04 − 14] = 124
A Regia˜o E1b
Tambe´m para a regia˜o E1, podemos ter a regia˜o dada por:
E1b = {h1(y) ≤ x ≤ h2(y) , c ≤ y ≤ d , u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)},
onde x = h1(y) e x = h2(y) sa˜o contı´nuas em D. Assim,
obtemos a seguinte integral:
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A Integral Tripla 13
∫∫∫
E1b
f (x, y, z) dV =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x, y, z) dzdxdy
A regia˜o so´lida e´ ilustrada na seguinte figura:
A Regia˜o E1b
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A Integral Tripla 14
Da mesma forma podemos ter outros tipo de regio˜es:
A Regia˜o Tipo II
A regia˜o so´lida E2 contida entre x = u3(y, z) e x = u4(y, z). Isto
e´, E2 = {(x, y, z)/(y, z) ∈ D2 e u3(y, z) ≤ x ≤ u4(y, z)}, onde D2 e´
a projec¸a˜o de E2 sobre o plano yz.
Obtemos assim a seguinte integral:
∫∫∫
E2
f (x, y, z) dV =
∫∫
D2
[∫ u4(y,z)
u3(y,z)
f (x, y, z) dx
]
dA
A regia˜o so´lida E2 e´ dada na seguinte figura:
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A Integral Tripla 15
A Regia˜o E2
A Regia˜o Tipo III
A regia˜o so´lida E3 contida entre y = u5(x, z) e y = u6(x, z). Isto
e´, E3 = {(x, y, z)/(x, z) ∈ D3 e u5(x, z) ≤ y ≤ u6(x, z)}, onde D3 e´
a projec¸a˜o de E3 sobre o plano xz. Obtemos a seguinte integral:
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A Integral Tripla 16
∫∫∫
E3
f (x, y, z) dV =
∫∫
D3
[∫ u6(x,z)
u5(x,z)
f (x, y, z) dy
]
dA
A regia˜o so´lida E3 e´ dada pela seguinte figura:
A Regia˜o E3
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A Integral Tripla 17
Exemplo
3.- Calcule a integral
∫∫∫
E
√
x2 + z2 dV , onde E e´ a regia˜o
limitada pelo parabolo´ide y = x2 + z2 e pelo plano y = 4. Assim,
a figura da regia˜o so´lida E e´ dada por:
A Regia˜o E
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A Integral Tripla 18
Se projetamos sobre o plano xy, isto e´ z = 0, obtemos a regia˜o
D1 determinada pela func¸a˜o y = x2 e y = 4. Para calcular o
resto de restric¸o˜es vamos isolar z da func¸a˜o y = x2 + z2, logo
z = ±√y− x2. Assim, temos a figura:
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A Integral Tripla 19
Logo a regia˜o so´lida E e´ representada pelo conjunto:
E = {−2 ≤ x ≤ 2 , x2 ≤ y ≤ 4 , −√y− x2 ≤ z ≤ √y− x2}.
Portanto, obtemos a integral:
∫∫∫
E
√
x2 + z2 dV =
∫ 2
−2
∫ 4
x2
∫ √y−x2
−
√
y−x2
√
x2 + z2 dzdydx
Esta integral e´ bastante difı´cil de ser calculada. Portanto vamos
a considerar outro tipo de projec¸a˜o.
Se projetamos sobre o plano xz, isto e´, para y = 0, obtemos a
regia˜o D3, dada por x2 + z2 = 4, como na figura a seguir:
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A Integral Tripla 20
A Regia˜o D3
Assim, obtemos a regia˜o so´lida determinada pelo conjunto:
E = {(x, y, z)/(x, z) ∈ D3 , x2 + z2 ≤ y ≤ 4}. A qual nos fornece
uma integral mais fa´cil de ser calculada, dada por:
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A Integral Tripla 21
∫∫∫
E
√
x2 + z2 dV =
∫∫
D3
∫ 4
x2+z2
√
x2 + z2 dydA
=
∫∫
D3
√
x2 + z2
∫ 4
x2+z2
dydA =
∫∫
D3
√
x2 + z2 [y]4x2+z2 dA
=
∫∫
D3
√
x2 + z2[4− (x2 + z2)] dA
Ja´ que D3 e´ uma circunfereˆncia e estamos resolvendo agora
uma integral dupla, podemos usar coordenadas polares,
considerando x = r Cos(θ) e z = r Sen(θ). Assim, obtemos que:
=
∫∫
D3
√
x2 + z2[4− (x2 + z2)] dA C.P.=
∫ 2pi
0
∫ 2
0
√
r2[4− r2] rdrdθ
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A Integral Tripla 22
=
∫ 2pi
0
∫ 2
0
(4r2 − r4) drdθ =
∫ 2pi
0
dθ
∫ 2
0
(4r2 − r4) dr
= 2pi
[
4r3
3 −
r5
5
]2
0
= 2pi
[
4 · 23
3 −
25
5
]
= 2pi · 6415 =
128pi
15
As Integrais Triplas tem muitas aplicac¸o˜es e assim como para as
Integrais Duplas, tambe´m podemos fazer mudanc¸as de
coordenadas. Podemos mudar para as Coordenadas Cil´ındricas ou
para as Coordenadas Esfe´ricas.
Este sera´ o assunto da nossa pro´xima aula. !!!
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A Integral Tripla 23