Resolução - Geometria Analítica I

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Blog Matemática Nua & Crua 
Professor Luiz Francisco 
 
" F e l i z a q u e l e q u e t ra n s f e re o q u e sa b e e a p ren d e o q u e en s in a " . 
C o r a C o r a l i n a ( 1 . 8 8 9 + 9 6 = 1 . 9 8 5 ) 
 
 
 
 
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P
ág
in
a1
 
Descreva o conjunto dos vetores que são ortogonais a 
 e que seja combinação linear de e 
. 
 
Solução: 
 
O enunciado fala de conjunto de vetores porque se dois ou mais segmentos orientados 
de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido 
são representantes do mesmo vetor [WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 
São Paulo: Pearson Makron Books, 2.000, p.03]. 
 
Logo devemos determinar o vetor e para satisfazer o conjunto d e vetores sendo 
e . 
 
 
 
(i) vetores que são ortogonais a : 
 
 
 
(ii) seja combinação linear de e : 
 
Para escrevermos o vetor como uma combinação linear de e , determinamos dois 
números reais e de forma a satisfazer a seguinte igualdade: 
 
 
 
O enunciado pede, portanto escrevemos o vetor como sendo a soma de um múltiplo do 
vetor com um múltiplo do vetor (sendo isto o que é pedido pelo enunciado). 
 
Realizando o produto escalar do vetor em ambos os lados da igualdade em (2) temos: 
 
 
 
+ 
 
+ 
 
+ 
 
Utilizando a igualdade (1) em (6), temos: 
 
+ 
 
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Determinando: 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
Substituindo (10) em (2) 
 
 
 
 
 
Determinando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Analisando podemos observar que , pela igualdade de vetores. Concluímos então 
que pelo mesmo motivo , observe: 
 
 
 
 
 
O conjunto dos vetores que são ortogonais a são todos os múltiplos do 
, equivalentes a , sendo e .