cap4CARTADESMITH

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Cap´ıtulo 4
Linhas de Transmissa˜o
4.1 Introduc¸a˜o
Ate´ o cap´ıtulo anterior foram estudados fenoˆmenos referentes a`s ondas eletroma-
gne´ticas propagando-se em meios abertos. Neste cap´ıtulo e´ feita uma ana´lise do
comportamento de ondas eletromagne´ticas guiadas por linhas de transmissa˜o, assim
como as caracter´ısticas destas linhas e as te´cnicas de casamento de impedaˆncia
aplicadas para a ma´xima transfereˆncia de energia eletromagne´tica.
Uma Linha de Transmissa˜o (L.T.) e´ um dispositivo empregado para guiar uma
onda eletromagne´tica de um ponto a outro do espac¸o. Na pra´tica, uma L.T. pode
ser utilizada, por exemplo, para ligar um transceptor a uma antena, um conjunto de
computadores em rede, uma difusora de sinais de TV aos seus assinantes ou, enta˜o,
conectar os diversos componentes e circuitos de um sistema de alta frequ¨eˆncia. Ex-
istem diversas geometrias de linha de transmissa˜o em aplicac¸o˜es de alta frequeˆncia.
As mais comuns sa˜o: coaxial, par de fios, par de fios tranc¸ados, fita, microfita, etc..
A Figura 4.1 mostra algumas destas estruturas. Ale´m disso, as linhas de transmissa˜o
podem ser classificadas como uniforme e na˜o uniforme, com perdas e sem perdas.
As linhas uniformes manteˆm a geometria da sec¸a˜o transversal e as caracter´ısticas
ele´tricas e magne´ticas ao longo do seu comprimento. Enquanto as linhas sem perdas
sa˜o aquelas onde as ondas eletromagne´ticas na˜o sofrem qualquer tipo de atenuac¸a˜o
ao longo da direc¸a˜o de propagac¸a˜o.
4.2 Equac¸a˜o de uma Linha de Transmissa˜o
Nesta sec¸a˜o sa˜o apresentadas duas abordagens que descrevem o comportamento das
ondas de tensa˜o e corrente, que esta˜o associadas a`s ondas eletromagne´ticas guiadas
63
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 64
condutores dielétrico
d
2a
wl
h
dielétrico
condutores
(a)
(b)
(c)
2a
Figura 4.1: Alguns tipos de linha de transmissa˜o: (a) coaxial; (b) fita de fios par-
alelos; (c) microfita.
por linhas de transmissa˜o uniformes.
4.2.1 Abordagem Eletromagne´tica
Considerando um sistema constitu´ıdo de uma linha coaxial que liga um gerador
a uma impedaˆncia de carga, como mostrado na Figura 4.2, pode-se obter as ex-
presso˜es dos campos eletromagne´ticos da onda no material diele´trico entre condu-
tores utilizando-se as equac¸o˜es de Maxwell, ou enta˜o, as equac¸o˜es de onda. Sendo
assim, o campo ele´trico no diele´trico do cabo coaxial obedece a equac¸a˜o
∇2E− 1
v2f
∂2E
∂t2
= 0 (4.1)
enquanto o campo magne´tico e´ obtido a partir de
∇2H− 1
v2f
∂2H
∂t2
= 0 (4.2)
As ondas sa˜o do tipo TEM (no caso dos condutores serem perfeitos), propagando-se
no sentido z+ ou z− com velocidade de fase
65 4.2. Equac¸a˜o de uma Linha de Transmissa˜o
Zg
l
ZL
Figura 4.2: Gerador de RF acoplado a uma impedaˆncia de carga atrave´s de uma
L.T. coaxial.
vf =
1√
µ �
(4.3)
Se o gerador fornece uma tensa˜o que varia harmonicamente no tempo, isto e´,
Vg(t) = Vo e
jωt (4.4)
enta˜o, os campos seguem o mesmo tipo de variac¸a˜o temporal, ou seja,
E(r, z, t) = E(r, z) e jωt
e
H(r, z, t) = H(r, z) e jωt (4.5)
sendo E(r, z) e H(r, z) dados pelas equac¸o˜es de Helmholtz
∂2E(r, z)
∂ z2
− γ2E(r, z) = 0 (4.6)
e
∂2H(r, z)
∂ z2
− γ2H(r, z) = 0 (4.7)
onde γ e´ a constante de propagac¸a˜o.
Sabe-se pela teoria eletromagne´tica que a tensa˜o entre os condutores de um cabo
coaxial, medidos num plano z qualquer, esta´ relacionada com o campo ele´trico no
diele´trico deste atrave´s de
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 66
V (z) = −
b∫
a
E(r, z)·dr =
b∫
a
E(r, z) dr (4.8)
Enquanto a magnitude das correntes nos condutores pode ser obtida a partir de
I(z) =
∮
C
H(r, z)·dl =
2π∫
0
H(r, z) r dϕ = 2πrH(r, z) (4.9)
Integrando-se a equac¸a˜o (4.6) em relac¸a˜o a r, de a a b, obte´m-se
d2V (z)
d z2
− γ2V (z) = 0 (4.10)
Assim como, multiplicando-se (4.7) por 2πr, tem-se
d2I(z)
d z2
− γ2I(z) = 0 (4.11)
Apesar das equac¸o˜es acima, denominadas de Equac¸o˜es de uma Linha de Trans-
missa˜o, terem sido deduzidas para uma linha coaxial, elas sa˜o va´lidas para qualquer
tipo de linha de transmissa˜o.
4.2.2 Abordagem de Circuitos
Sabe-se que um cabo coaxial, assim como qualquer linha de transmissa˜o, apresenta
uma certa capacitaˆncia e indutaˆncia dependendo de sua geometria e caracter´ısticas
ele´tricas e magne´ticas dos materiais que os compo˜e. A capacitaˆncia medida entre
os condutores de uma L.T. depende: do comprimento, dos raios de seus condutores
e da permissividade do material diele´trico. Enquanto a indutaˆncia depende, ale´m
das dimenso˜es da L.T., da permeabilidade. O circuito equivalente de uma linha
uniforme sem perdas e´ mostrado na Figura 4.3a, enquanto a Figura 4.3b apresenta
o circuito equivalente de uma L.T. com perdas. A tensa˜o num trecho infinitesimal
de um dos condutores, de uma L.T. com perdas, e´ dada por
dV = ZI dz (4.12)
ou
dV
dz
= ZI (4.13)
67 4.2. Equac¸a˜o de uma Linha de Transmissa˜o
(a)
(b)
L
C
L
C
L
C
L
C G
R L
C G
R
Figura 4.3: Circuito equivalente de uma L.T.: (a) sem perdas; (b) com perdas.
Ja´ a corrente que atravessa numa fatia de espessura infinitesimal de diele´trico e´
fornecida por
dI = Y V dz (4.14)
ou
dI
dz
= Y V (4.15)
onde
Z = R + jωL (4.16)
e´ a impedaˆncia por comprimento de linha e
Y = G + jωC (4.17)
a admitaˆncia, sendo L, C, R e G, respectivamente, a indutaˆncia, capacitaˆncia,
resisteˆncia do condutor e condutaˆncia do diele´trico por unidade de comprimento.
Derivando-se (4.13) e (4.15) em relac¸a˜o a z teˆm-se, respectivamente,
d2V
dz2
=
dZ
dz
I + Z
dI
dz
(4.18)
e
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 68
d2I
dz2
=
dY
dz
V + Y
dV
dz
(4.19)
Para linhas uniformes, Z e Y na˜o variam com z, logo
d2V
dz2
= Z
dI
dz
(4.20)
ou
d2V
dz2
= Z Y V (4.21)
e
d2I
dz2
= Y
dV
dz
(4.22)
ou
d2I
dz2
= ZY I (4.23)
Reescrevendo-se (4.21) e (4.23), teˆm-se
d2V
d z2
− ZY V = 0 (4.24)
e
d2I
d z2
− ZY I = 0 (4.25)
Uma comparac¸a˜o entre as equac¸o˜es (4.10) e (4.24), assim como (4.11) e (4.25),
mostra que a constante de propagac¸a˜o numa L.T. pode ser obtida a partir de
γ = α + jβ =
√
ZY (4.26)
A velocidade de fase, neste caso, e´ obtida de
vf =
ω
Im[γ]
(4.27)
Para uma linha sem perdas teˆm-se
γ = jβ = jω
√
LC (4.28)
e
69 4.3. Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de uma L.T.
vf =
ω
β
=
1√
LC
(4.29)
4.3 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de uma L.T.
A soluc¸a˜o das equac¸o˜es (4.10) e (4.24) e´ da forma
V (z) = V1e
γ z + V2 e
−γ z (4.30)
enquanto para (4.11) e (4.25), teˆm-se
I(z) = I1e
γ z + I2 e
−γ z (4.31)
ou
I(z) =
1
Z
dV
dz
=
γ
Z
[
V1e
γ z − V2 e−γ z
]
(4.32)
ou ainda
I(z) =
√
Y
Z
[
V1e
γ z − V2 e−γ z
]
(4.33)
As soluc¸o˜es sa˜o combinac¸o˜es lineares de um par de func¸o˜es ortogonais, uma vez que
as equac¸o˜es diferenciais sa˜o lineares ordina´rias de segunda ordem. Fisicamente, as
soluc¸o˜es (4.30) e (4.31) representam, respectivamente, ondas de corrente e tensa˜o
propagando-se no sentido z−(primeiros termos das equac¸o˜es) e z+(segundos termos),
sendo as constantes V1, V2, I1 e I2 fasores associados a`s ondas.
As soluc¸o˜es completas, incluindo a variac¸a˜o temporal harmoˆnica, sa˜o
V (z, t) = V − + V + = V1eα ze jωt+β z + V2 e−α z e jωt−β z (4.34)
e
I(z, t) = I− + I+ = I1eα ze jωt+β z + I2 e−αz e jωt−β z (4.35)
4.4 Impedaˆncia Caracter´ıstica
A impedaˆncia caracter´ıstica de uma linha de transmissa˜o e´ a raza˜o entre a tensa˜o e
a corrente obtida num determinado plano z, isto e´,
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 70
Zo =
V −
I−
= −V
+
I+
=
√
Z
Y
=
√
R + jωL
G + jωC
(4.36)
Paralinhas uniformes, a impedaˆncia caracter´ıstica na˜o varia ao longo do seu compri-
mento. Se houver perdas, a impedaˆncia e´ complexa, com valor fornecido por (4.36).
Para perdas desprez´ıveis, tem-se R = G � 0, o que leva a
Zo �
√
L
C
(4.37)
Neste caso, a impedaˆncia e´ real, sendo a indutaˆncia por unidade de comprimento
determinada pela expressa˜o [19]
L =
Λ
I l
=
µ
l
∫∫
S
H · ds∮
C
H · dl (4.38)
e a capacitaˆncia por unidade de comprimento
C =
Q
V l
= −�
l
∫∫
S
E · ds∫ b
a
E · dl
(4.39)
sendo Λ o fluxo magne´tico produzido pelo indutor e Q a carga ele´trica no capacitor.
4.4.1 Coaxial
A impedaˆncia caracter´ıstica de um cabo coaxial sem perdas, como aquele mostrado
na Figura 4.1a, e´ obtida a partir da equac¸a˜o (4.37), utilizando-se a expressa˜o
da indutaˆncia obtida de (4.38) e a da capacitaˆncia atrave´s de (4.39). Portanto,
resolvendo-se (4.38), obte´m-se
L =
µo
2π
ln
(
b
a
)
(4.40)
e de (4.39)
C =
2π�
ln
(
b
a
) (4.41)
Substituindo (4.40) e (4.41) em (4.37), tem-se
Zo =
1
2π
√
µo
�
ln
(
b
a
)
=
ηo
2π
√
�r
ln
(
b
a
)
(4.42)
71 4.4. Impedaˆncia Caracter´ıstica
ou
Zo =
60√
�r
ln
(
b
a
)
(4.43)
Exemplo 4.1 Qual deve ser a raza˜o entre o condutor interno e externo para que
uma linha coaxial tenha impedaˆncia de 75Ω? Considere como diele´trico um pla´stico
de permissividade relativa igual a 4.
Soluc¸a˜o: Pela equac¸a˜o (4.43), pode-se obter facilmente esta relac¸a˜o, ou seja,
ln
(
b
a
)
=
75
√
4
60
= 2, 5 =⇒ b
a
= e2,5 = 12, 2
Portanto, se o condutor interno tiver, por exemplo, 1mm de raio, o externo devera´
ter 12,2mm.
4.4.2 Par de Fios Paralelos
No caso de dois fios paralelos separados por uma fita diele´trica espac¸adora (vide
Figura 4.1b), teˆm-se
L =
µo
π
ln
(
d− a
a
)
(4.44)
e
C =
π�
ln
(
d−a
a
) (4.45)
Substituindo (4.44) e (4.45) em (4.37), tem-se
Zo =
120√
�r
ln
(
d− a
a
)
(4.46)
Se d� a, enta˜o
Zo � 120√
�r
ln
(
d
a
)
(4.47)
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 72
4.4.3 Microfita
A determinac¸a˜o da expressa˜o de impedaˆncia caracter´ıstica para microfitas, como
aquela mostrada na Figura 4.1c, na˜o e´ feita de forma totalmente anal´ıtica, devido
a geometria da mesma. Va´rios trabalhos sobre o assunto podem ser encontrados
na literatura cient´ıfica [24][12]. Um destes trabalhos e´ o de Hammerstadt (1975)
[15] que fornece expresso˜es para a ana´lise e s´ıntese de linhas de microfitas. Os
valores obtidos destas expresso˜es apresentam erros inferiores a 1% quando �r � 16
e 0, 05 � w/h � 20, sendo w a largura da fita e h a espessura do substrato.
Para a ana´lise de fitas com w/h < 1, utiliza-se
Zo =
60√
�ef
ln
(
8h
w
+
w
4h
)
(4.48)
Como parte da onda se propaga no diele´trico e parte se propaga no ar, enta˜o, torna-
se necessa´rio se obter uma permissividade relativa efetiva, representada na equac¸a˜o
(4.48) por �ef . Para este caso, a permissividade efetiva e´ dada por
�ef =
�r + 1
2
+
�r − 1
2
[(
1 +
12h
w
)−1/2
+ 0, 04
(
1− w
h
)2]
(4.49)
Para a ana´lise de fitas com w/h � 1, utiliza-se
Zo =
120π√
�ef
[w
h
+ 1, 393 + 0, 667 ln
(
1, 444 +
w
h
)]−1
(4.50)
com
�ef =
�r + 1
2
+
�r − 1
2
(
1 +
12h
w
)−1/2
(4.51)
No caso de s´ıntese, tem-se, para Zo > 44− 2�r,
w
h
=
8
eA − 2 e−A (4.52)
e para Zo < 44− 2�r,
w
h
=
2
π
{
B − 1− ln(2B − 1) + �r − 1
2�r
[
ln(B − 1) + 0, 293− 0, 517
�r
]}
(4.53)
sendo
73 4.5. Perdas numa L.T.
A =
Zo
60
√
�r + 1
2
+
�r − 1
�r + 1
(
0, 226 +
0, 121
�r
)
(4.54)
e
B =
60π2
Zo
√
�r
(4.55)
Exemplo 4.2 Calcule a largura de uma microfita para que ela tenha uma impedaˆncia
caracter´ıstica de 50Ω. A linha sera´ impressa numa placa de circuito impresso de
dupla face com espessura de 2mm e permissividade relativa 3.
Soluc¸a˜o: Como se quer projetar uma linha de microfita, deve-se enta˜o verificar
qual e´ a equac¸a˜o mais apropriada para a s´ıntese, (4.52) ou (4.53). Neste caso, como
Zo > 44−2�r = 38Ω, deve-se utilizar a primeira equac¸a˜o. Sendo assim, calculando-se
A =
50
60
√
3 + 1
2
+
3− 1
3 + 1
(
0, 226 +
0, 121
3
)
� 1, 312
e substituindo este valor na equac¸a˜o (4.52), obte´m-se
w
h
=
8
e1,312 − 2 e−1,312 � 2, 52
A largura da fita e´ enta˜o w = 2, 52h = 5, 04mm.
4.5 Perdas numa L.T.
Na pra´tica, as perdas, obtidas a partir do fator de atenuac¸a˜o α = Re[γ], sa˜o peque-
nas. A atenuac¸a˜o de uma L.T. e´ func¸a˜o da frequ¨eˆncia e das caracter´ısticas ele´tricas e
magne´ticas dos materiais que a constitui. Em geral, os valores do fator de atenuac¸a˜o
sa˜o fornecidos em dB/m, utilizando-se a relac¸a˜o
αdB = −20 log e−α = 8, 686α (4.56)
A Tabela 4.1 apresenta alguns valores t´ıpicos de fator de atenuac¸a˜o para cabos
coaxiais comerciais em treˆs frequ¨eˆncias distintas.
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 74
Tabela 4.1: Impedaˆncia e atenuac¸a˜o para alguns cabos comerciais. Valores obtidos
do cata´logo da Times Microwaves Systems.
Cabo Zo αdB (100MHz) αdB (400MHz) αdB (1GHz)
Coxial (Ω) dB/m dB/m dB/m
RG-6 75 0,089 0,184 0,308
RG-11 75 0,072 0,151 0,253
RG-59 75 0,108 0,226 0,374
RG-58 50 0,151 0,308 0,502
RG-213 50 0,066 0,141 0,24
Exemplo 4.3 Um cabo coaxial e´ utilizado para ligar uma antena parabo´lica de
impedaˆncia igual a 75Ω ao receptor de mesma impedaˆncia. A distaˆncia entre eles
e´ de 10m e a frequ¨eˆncia de operac¸a˜o 1GHz. Qual a melhor opc¸a˜o de cabo? Qual a
atenuac¸a˜o total no cabo?
Soluc¸a˜o: Para manter o sistema casado, a melhor opc¸a˜o e´ utilizar cabos de impedaˆncia
caracter´ıstica de mesmo valor dos dispositivos, como sera´ estudado nas pro´ximas
sec¸o˜es deste cap´ıtulo. Ale´m disso, pela Tabela 4.1, o cabo com menor atenuac¸a˜o,
e impedaˆncia igual a 75Ω, e´ o RG-11. A atenuac¸a˜o total introduzida pelos 10m de
cabo e´ fornecida por
Acb = αdB l = 0, 253× 10 = 2, 53 dB
4.6 Linhas com Terminac¸a˜o
A Figura 4.4 mostra uma linha de transmissa˜o com impedaˆncia caracter´ıstica Zo,
terminada por uma impedaˆncia de carga ZL. A equac¸a˜o de uma L.T. fornece como
soluc¸a˜o geral um par de ondas de tensa˜o ou corrente, propagando-se ao longo da linha
em sentidos contra´rios. Identificando-se a onda que se propaga no sentido gerador-
carga como onda incidente V −(ou I−) e no sentido inverso como onda refletida
V +(ou I+), pode-se escrever para o plano z = 0,
V (0) = V − + V + = V1 + V2 (4.57)
onde V1 e V2 sa˜o fasores que esta˜o relacionados um com o outro atrave´s do coeficiente
de reflexa˜o de tensa˜o
ρv(0) = |ρv(0)| ejφv = V2
V1
(4.58)
75 4.6. Linhas com Terminac¸a˜o
l
ZL
Zg
z 0
V- , I -
V+ , I + Z
o
Figura 4.4: Linha de transmissa˜o terminada por uma impedaˆncia de carga.
portanto,
V (0) = V1 [1 + ρv(0)] (4.59)
Para um plano z qualquer tem
V (z) = V1 [1 + ρv(z)] (4.60)
sendo
ρv(z) =
V +
V −
= |ρv(0)| e jφv−2γ z (4.61)
Da mesma forma pode-se obter
I(z) = I1 [1 + ρi(z)] (4.62)
sendo
ρi(z) =
I+
I−
= |ρi(0)| e jφi−2γ z = −V
+
V −
= −ρv(z) (4.63)
A impedaˆncia de carga esta´ relacionada com as ondas de tensa˜o e corrente como
segue:
ZL =
V (0)
I(0)
=
V1 [1 + ρv(0)]
I1 [1 + ρi(0)]
= Zo
1 + ρv(0)
1− ρv(0) (4.64)
logo,
ρv(0) = |ρv(0)| ejφv = ZL − Zo
ZL + Zo
(4.65)
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 76
4.6.1 Impedaˆncia Equivalente
A impedaˆncia, “vista” em direc¸a˜o a` carga, num plano z qualquer da linha de trans-
missa˜o, e´ fornecida por
Zeq(z) =
V (z)
I(z)
= Zo
1 + ρv(z)
1− ρv(z) (4.66)
onde
ρv(z) = ρv(0) e
− 2γ z (4.67)
Portanto, substituindo(4.67) em (4.66) e levando-se em considerac¸a˜o (4.65), tem-se
Zeq(z) = Zo
1 + ZL−Zo
ZL+Zo
e− 2γ z
1− ZL−Zo
ZL+Zo
e− 2γ z
= Zo
ZL + Zo tgh γ z
Zo + ZL tgh γ z
(4.68)
Esta e´ a impedaˆncia equivalente a` impedaˆncia de carga mais o trecho de linha com
comprimneto z. Se na˜o existem perdas na linha, enta˜o α = 0, tgh γ z = j tg β z e
Zeq(z) = Zo
ZL + jZo tg β z
Zo + jZL tg β z
(4.69)
4.6.2 Toco em Aberto
A impedaˆncia “vista” nos terminais de um trecho (ou toco) de linha com terminac¸a˜o
em aberto e´ obtida pela equac¸a˜o (4.68) fazendo-se ZL →∞, ou seja,
ZTA =
Zo
tgh γ z
= Zo cotgh γ z (4.70)
Para o caso sem perdas tem-se
ZTA =
Zo
j tg β z
= −j Zo cotg β z (4.71)
4.6.3 Toco em Curto
A impedaˆncia “vista” nos terminais de um trecho (ou toco) de linha com terminac¸a˜o
em curto e´ obtida pela equac¸a˜o (4.68) fazendo-se ZL = 0, ou seja,
ZTC = Zo tgh γ z (4.72)
Para o caso sem perdas tem-se
77 4.7. Coeficientes de Reflexa˜o para Zg Complexo
ZTC = j Zo tg β z (4.73)
4.7 Coeficientes de Reflexa˜o para Zg Complexo
Na sec¸a˜o anterior, tanto a impedaˆncia do gerador quanto a impedaˆncia caracter´ıstica
da linha foram consideradas reais. Entretanto, em alguns problemas de casamento
ou otimizac¸a˜o de circuitos, estas impedaˆncias podem assumir valores complexos.
Nesta condic¸a˜o, as equac¸o˜es que fornecem os coeficientes de reflexa˜o sa˜o definidas
em sua forma mais geral, como sera´ visto a seguir.
Zg
Z*gVg V
+
I+
(a)
Zg
ZLVg
I+
(b)
V++V -
I-
Figura 4.5: Gerador com impedaˆncia complexa ligado a uma impedaˆncia: (a) Z∗g ;
(b) ZL qualquer.
Considere uma impedaˆncia de carga ligada diretamente aos terminais de um
gerador de impedaˆncia complexa, como mostrado na Figura 4.5. Na condic¸a˜o de
casamento, situac¸a˜o onde ocorre a ma´xima transfereˆncia de energia, ZL = Z
∗
g (o
asterisco denota complexo conjugado). Logo, na˜o existe ondas refletidas e
I = I+ =
Vg
ZL + Zg
=
Vg
Z∗g + Zg
(4.74)
enquanto
V = V + = ZLI
+ =
Z∗gVg
Z∗g + Zg
(4.75)
como apresentado na Figura 4.5a. Entrentanto, quando ZL �= Z∗g , estas ondas
refletidas esta˜o presentes no circuito (vide Figura 4.5b) e o coeficiente de reflexa˜o
de tensa˜o, neste caso, e´ dado por
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 78
ρv =
V −
V +
=
V
V +
− 1 = ZLVg
ZL + Zg
Z∗g + Zg
Z∗gVg
− 1 = Zg
(
ZL − Z∗g
)
Z∗g (ZL + Zg)
(4.76)
e o de corrente
ρi =
I−
I+
=
I
I+
− 1 = Vg
ZL + Zg
Z∗g + Zg
Vg
− 1 = Z
∗
g − ZL
ZL + Zg
(4.77)
ou
ρi = −
Z∗g
Zg
ρv (4.78)
Note que, para Zg real, a equac¸a˜o (4.78) e´ ideˆntica a` (4.63).
4.8 Coeficiente de Onda Estaciona´ria
4.8.1 Coeficientes de Reflexa˜o e Transmissa˜o
Como foi visto anteriormente, os coeficientes de reflexa˜o dependem do plano onde
se mede as correntes e tenso˜es da linha. Os coeficientes de reflexa˜o de tensa˜o e cor-
rente, num plano z qualquer, sa˜o dados respectivamente por (4.67) e (4.63). Assim
como, no caso de ondas TEM planas incidindo normalmente sobre uma interface, os
coeficientes de transmissa˜o no plano z = 0 sa˜o fornecidos por
τv(0) = 1 + ρv(0) =
2ZL
ZL + Zo
(4.79)
e
τi(0) = 1 + ρi(0) =
2Zo
ZL + Zo
(4.80)
4.8.2 Coeficiente de Onda de Tensa˜o Estaciona´ria
O coeficiente de onda de tensa˜o estaciona´ria, conhecido como VSWR (Voltage Stand-
ing Wave Ratio), e´ a raza˜o entre a tensa˜o ma´xima e a mı´nima medidas ao longo da
linha transmissa˜o, isto e´,
VSWR =
Vmax
Vmin
=
|V1|+ |V2|
|V1| − |V2| =
1 + |ρv|
1− |ρv| (4.81)
79 4.9. Te´cnicas de Casamento de Impedaˆncia
Desta forma, medindo-se o VSWR da linha, pode-se obter o mo´dulo do coeficiente
de reflexa˜o de tensa˜o atrave´s de
|ρv| = VSWR − 1
VSWR + 1
(4.82)
Como o mo´dulo do coeficiente de reflexa˜o varia entre 0 e 1, o VSWR tem valor
mı´nimo igual a 1 e ma´ximo ∞.
Exemplo 4.4 Suponha agora, para o exemplo anterior, que voceˆ so´ tem dispon´ıvel
cabos de 50Ω. Qual deve ser o VSWR nos terminais do receptor? Considere a
permissividade relativa do cabo igual a 4.
Soluc¸a˜o: Considere a Figura 4.4 como refereˆncia, sendo ZL a impedaˆncia da antena
e Zg a impedaˆncia do receptor. Para se obter o VSWR nos terminais do receptor, e´
necessa´rio determinar a impedaˆncia equivalente do conjunto cabo-antena. Portanto,
desprezando-se as perdas, esta impedaˆncia pode ser calculada a partir de (4.69), ou
seja,
Zeq(10m) = 50
75 + j50 tg (10β )
50 + j75 tg (10β)
= 38, 7− j14Ω
pois β = 2π
√
�r/λo = 4π/0, 3 � 42 rd/m. O coeficiente de reflexa˜o nos terminais do
receptor e´ dado por
ρv(10m) =
Zeq(10m)− Zg
Zeq(10m) + Zg
=
38, 7− j14− 75
38, 7− j14 + 75 = 0, 34∠− 152
◦
e o VSWR
VSWR =
1 + 0, 33
1− 0, 33 � 2
Na pra´tica, valores acima de 1,5 sa˜o considerados altos.
4.9 Te´cnicas de Casamento de Impedaˆncia
Foi visto nas sec¸o˜es anteriores que o coeficiente de reflexa˜o numa L.T. depende de sua
impedaˆncia caracter´ıstica e da impedaˆncia da carga. So´ na˜o existira´ onda refletida na
linha quando ZL = Zo, caso contra´rio, o coeficiente de reflexa˜o sera´ diferente de zero.
Acontece que nem sempre se tem cabos ou linhas com impedaˆncia caracter´ıstica
igual a` impedaˆncia de carga, como foi visto no Exemplo 4.3. Imagine que o sistema
representado na Figura 4.4 fosse o circuito equivalente de um transmissor de TV,
com impedaˆncia de sa´ıda de 50Ω, ligado a uma antena dipolo de meio comprimento
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 80
de onda atrave´s de uma linha cuja impedaˆncia Zo = 50Ω. Neste situac¸a˜o, certamente
existira´ onda refletida, uma vez que a impedaˆncia de um dipolo de λ/2 e´ complexa
e igual a 73 + j42Ω.
Nesta sec¸a˜o sera˜o abordadas algumas te´cnicas que utilizam tocos em aberto ou
em curto posicionados em paralelo em determinados pontos (planos) da linha de
transmissa˜o. A introduc¸a˜o destes tocos possibilitam a reduc¸a˜o ou eliminac¸a˜o por
completo das ondas refletidas, devido a descasamentos de impedaˆncia entre linha-
carga e/ou gerador-linha.
4.10 Carta de Smith
Na s´ıntese de circuitos de casamento de impedaˆncia, muitas operac¸o˜es envolvendo
nu´meros complexos teˆm que ser efetuadas, uma vez que as impedaˆncias dos tocos
e trechos de linhas sa˜o em geral complexas. Antes do advento dos computadores
e calculadoras cient´ıficas, estes ca´lculos demandavam um certo tempo. Para min-
imizar este tempo de ca´lculo, Philip H. Smith introduziu, em 1939, um a´baco de
impedaˆncias e admitaˆncias que ficou conhecido posteriormente como Carta de Smith.
Atualmente todas as te´cnicas de casamento podem ser programadas em computa-
dores ou calculadoras programa´veis. Entretanto, a Carta de Smith tem a vantagem
de mostrar de uma forma gra´fica as impedaˆncias e o processo de casamento, sendo
ate´ hoje utilizada para fins dida´ticos e em equipamentos de medic¸a˜o.
A Figura 4.12 mostra uma versa˜o da Carta de Smith com indicac¸a˜o de impedaˆncias
e admitaˆncias em portugueˆs. A Carta pode ser empregada para representar impedaˆncias
ou admitaˆncias normalizadas. Em geral, se utiliza a impedaˆncia (ou admitaˆncia)
caracter´ıstica da linha de transmissa˜o como refereˆncia para normalizac¸a˜o. Sendo
assim, o centro da carta representa uma impedaˆncia (ou admitaˆncia) normalizada
igual a 1 e todos os pontos da circunfereˆncia, que passa pelo centro da Carta, rep-
resentam impedaˆncias (ou admitaˆncia) normalizadas cuja parte real e´ igual a um.
As circunfereˆncias de diaˆmetros menores representam impedaˆncias (ou admitaˆncia)
com parte real maior que 1 e, as de diaˆmetros maiores, as impedaˆncias com parte real
menor que 1. As impedaˆncias (ou admitaˆncia) sobre o eixo horizontal que passa pelo
centro da Carta teˆm valores puramente reais e podem variar de 0 (ponto extremo a`
esquerda) a ∞ (ponto extremo a` direita). Os pontos sobre as curvas, que na real-
idade sa˜opartes de circunfereˆncias cujos centros esta˜o fora da Carta, representam
as impedaˆncias (ou admitaˆncia) com mesma parte imagina´ria. Os valores normal-
izados das reataˆncias (susceptaˆncias) para cada curva esta˜o identificados pro´ximos
a` borda da Carta. As curvas do semic´ırculo superior representam reataˆncias induti-
vas (susceptaˆncias capacitivas), enquanto as do semic´ırculo inferior representam as
81 4.10. Carta de Smith
reataˆncias capacitivas (susceptaˆncias indutivas). Na borda da Carta esta˜o represen-
tados os valores puramente imagina´rios.
10,40,2 0,6 0,80 1,4
0,2
0,4
0,6
0,8 1 1,4
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,4
8
P1
P3
P2
VSWR=1.81
A
B
C
73,3 o
Figura 4.6: Circunfereˆncia de VSWR = 1, 81 e impedaˆncias normalizadas no plano:
z = 0 (P1), z = λ/8 (P2) e z = λ/4 (P3).
Tomando-se como exemplo o sistema mostrado na Figura 4.4, com os valores de
Zo = 50Ω e ZL = 50+j 30Ω, pode-se representar a impedaˆncia de carga normalizada
por
zL =
ZL
Zo
= 1, 0 + j 0, 6 (4.83)
indicada na Carta como ponto P1. Esta e´ tambe´m a representac¸a˜o da impedaˆncia
equivalente da linha, “vista” em direc¸a˜o a` carga, no plano z = 0. Para outros
planos sobre a linha, pode-se verificar que os valores obtidos a partir de (4.69)
correspondem aos pontos de uma circunfereˆncia cujo centro coincide com o centro
da Carta. Esta circunfereˆncia e´ denominada de circunfereˆncia de VSWR constante.
A` proporc¸a˜o que o plano de medic¸a˜o se afasta da carga, indo em direc¸a˜o ao gerador,
os pontos correspondentes a`s impedaˆncias medidas se afastam do ponto P1, no
sentido hora´rio. Assim, um ponto de impedaˆncia, medido no plano z = λ/8, e´
um ponto sobre a circunfereˆncia, com raio medido do centro da Carta ate´ o ponto
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 82
P2, que esta´ deslocado 90◦ no sentido hora´rio do ponto P1. No plano z = λ/4,
o deslocamento e´ de 180◦ (meia volta na Carta) e em z = λ/2 tem-se uma volta
inteira sobre a circunfereˆncia (vide Figura 4.6). Se o deslocamento fosse no sentido
contra´rio, isto e´, anti-hora´rio, o plano de medic¸a˜o estaria sendo deslocado ao longo
da linha no sentido gerador-carga. Estes sentidos esta˜o indicados na borda da Carta
(Figura 4.12).
Uma outra grandeza que se pode medir diretamente na Carta e´ o coeficiente de
onda estaciona´ria. Ele e´ o resultado da intersec¸a˜o entre a circunfereˆncia de VSWR
constante e o eixo das impedaˆncias (ou admitaˆncia) puramente reais, medido entre
1 e ∞ (vide Figura 4.6). Para se obter o coeficiente de reflexa˜o no plano z = 0, por
exemplo, trac¸a-se uma reta partindo-se do centro da Carta e passando pelo ponto
P1 ate´ atingir a borda. Denominando-se o trecho da reta que vai ate´ o ponto P1 de
AB e o trecho do centro a` borda de AC, pode-se obter o mo´dulo do coeficiente de
reflexa˜o fazendo
|ρv(0)| = AB
AC
= 0, 287 (4.84)
enquanto o aˆngulo e´ obtido diretamente da leitura na escala de aˆngulos localizada
na borda da Carta (veja escala na Figura 4.12), neste caso, φv = 73, 3
◦. Algumas
Cartas, como aquela da Figura 4.12, apresentam uma escala linear para obtenc¸a˜o
do mo´dulo do coeficiente de reflexa˜o, eliminando assim o ca´lculo em (4.84).
4.11 Casamento com Toco e Trecho de Linha
Os circuitos de casamento com um toco e trecho de linha podem ser de dois tipos:
toco e trecho, como mostrado na Figura 4.7a; trecho e toco, como mostrado na
Figura 4.7b. A escolha do circuito mais adequado depende da impedaˆncia de carga
e da impedaˆncia caracter´ıstica da linha. A seguir sa˜o apresentados dois exemplos,
um para cada tipo de esquema toco-linha.
4.11.1 Trecho de linha e toco
Suponha que se quer casar um transmissor de impedaˆncia de sa´ıda igual a 50Ω
com uma carga ZL = 50 + j 30Ω, atrave´s de uma linha e toco com impedaˆncia
caracter´ıstica Zo = 50Ω . A tarefa enta˜o e´ determinar os comprimentos do toco e do
trecho de linha, sendo que o primeiro passo consiste em normalizar a impedaˆncia de
carga pela impedaˆncia caracter´ıstica da linha de transmissa˜o. Este valor e´ fornecido
por (4.83).
83 4.11. Casamento com Toco e Trecho de Linha
l
ZL
Zg
Zo
l
t
l
ZL
Zg
Z
o
l t
(a)
(b)
Figura 4.7: Casamento com um toco e trecho de linha: (a) toco em curto pro´ximo
a` carga; (b) toco em aberto pro´ximo ao gerador.
Como o casamento sera´ feito atrave´s de um toco em paralelo posicionado num
dado ponto da linha, e´ interessante se trabalhar com admitaˆncias normalizadas.
Portanto, o pro´ximo passo e´ a conversa˜o da impedaˆncia normalizada zL para ad-
mitaˆncia normalizada yL. Isso pode ser feito atrave´s da pro´pria Carta de Smith
(vide Figura 4.8), partindo-se do ponto P1, caminhando-se sobre a circunfereˆncia de
VSWR constante ate´ o ponto P2 , o que equivale a meia volta na Carta (l = λ/4).
Por queˆ? A justificativa matema´tica vem de (4.69) considerando-se o comprimento
z = λ/4, isto e´,
Zeq(λ/4) =
Z2o
ZL
(4.85)
ou
zeq =
1
zL
= yL (4.86)
Uma vez obtido yL = 0, 735 − j 0, 441 (ponto P3), e´ necessa´rio caminhar na cir-
cunfereˆncia de VSWR constante, no sentido hora´rio (carga-gerador), para se obter
a parte real de yL igual a 1. Neste caso, por coincideˆncia, o valor de admitaˆncia
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 84
normalizada e´ aquele fornecido por (4.83), ou seja, y3 = zL = 1 + j 0, 6 (ponto P1).
O comprimento do trecho de linha percorrido e´ de λ/4. Sendo assim, para casar
o circuito, resta apenas introduzir um toco em aberto ou em curto neste ponto da
linha, de forma a eliminar a susceptaˆncia normalizada de valor igual a 0,6.
y4 = y3 + yT = 1 (4.87)
onde yT = −j 0, 6. O toco que oferece esta susceptaˆncia com o menor comprimento
deve ter uma das suas terminac¸o˜es em curto. O comprimento normalizado deste
toco e´ indicado na Carta da Figura 4.8.
10,40,2 0,6 0,80 1,4
0,2
0,4
0,6
0,8 1 1,4
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,4
8
P1
P2
lT = 0,164 λ
Figura 4.8: Casamento utilizando-se um trecho de linha e toco. O ponto P1 repre-
senta zL e y3, enquanto P2 indica yL.
4.11.2 Toco e trecho de linha
Considerando-se agora a mesma carga acoplada, atrave´s de uma linha de 50Ω, a um
gerador de 125Ω, tem-se como impedaˆncia equivalente normalizada, necessa´ria para
casar o sistema, zeq = 2, 5. Consequ¨entemente, a admitaˆncia normalizada que se
deve obter nos terminais do gerador e´ igual a 0,4. Observe na Carta (Figura 4.9) que
85 4.11. Casamento com Toco e Trecho de Linha
a circunfereˆncia de VSWR = 1,81 na˜o tem ponto de intersec¸a˜o com a circunfereˆncia
de 0,4, sendo assim, na˜o e´ possivel casar o sistema com o circuito trecho-toco (Figura
4.7b). E´ necessa´rio primeiro aumentar o VSWR na linha atrave´s da introduc¸a˜o de
um toco no plano z = 0 e, em seguida, determinar o trecho de linha necessa´rio para
casar o circuito. Neste caso, o VSWR tem que ser maior ou igual a 2,5. Trac¸ando-se,
por exemplo, uma circunfereˆncia de VSWR = 2,5, observa-se que a intersec¸a˜o ocorre
no ponto 0,4 da Carta. Para atingir este valor de coeficiente de onda estaciona´ria de
linha e´ necessa´rio a introduc¸a˜o de um toco cuja susceptaˆncia normalizada tem valor
igual a − 0, 325. Dessa forma, a admitaˆncia da carga fica com valor normalizado
igual a 0, 735 − j 0, 766 (ponto P3). O menor comprimento de toco e´ obtido com
um toco em curto, pois a susceptaˆncia e´ negativa. O valor lT = 0, 2λ e´ indicado
na Carta da Figura 4.9. Finalmente, para se obter o casamento, parte-se do ponto
P3 e caminha-se na circunfereˆncia de VSWR = 2,5 no sentido hora´rio ate´ atingir o
ponto P4. Isso equivale a um trecho de linha l = 0, 132λ.
10,40,2 0,6 0,80 1,4
0,2
0,4
0,6
0,8 1 1,4
-0,2
-0,6
-0,8
-1
-1,4
8
P1
P4
P2
P3
-0,4
l=0,132λ
lT=0,2λ
VSWR=1.81
VSWR=2.5
Figura 4.9: Casamento utilizando-se um toco lT e um trecho de linhal. Os pontos
P1, P2, P3 e P4 representam respectivamente zL = 1+ j 0, 6, yL = 0, 735− j 0, 441,
y3 = 0, 735− j 0, 766 e y4 = 0, 4.
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 86
4.12 Casamento com Dois Tocos e Trechos de Linha
O casamento de impedaˆncia de um sistema composto de linhas de transmissa˜o pode
tambe´m ser feito fixando o comprimento de um ou mais trechos de linha e variando-
se o comprimento de dois tocos posicionados em pontos distintos da L.T.. A Figura
4.10a mostra um circuito de casamento deste tipo.
Zg
l1
ZLZo
l2
Z
o
Zg
l1
ZLZo
l t2
l2
Z
o
l t3
(a)
(b)
A B
Figura 4.10: Circuito de casamento com: (a) dois tocos; (b) treˆs tocos.
Tomando-se mais uma vez como exemplo uma carga com ZL = 50+j 30Ω, ligada
a um gerador 50Ω, atrave´s de uma L.T. de Zo = 50Ω, e considerando que o compri-
mento ele´trico total do sistema de casamento tem que ser igual a 135◦, pergunta-se:
qual deve ser os comprimentos dos tocos e trechos de linha para casar o sistema?
O primeiro passo e´ normalizar a impedaˆncia de carga em func¸a˜o da impedaˆncia
caracter´ıstica e, em seguida, encontrar a admitaˆncia normalizada, completando-se
meia volta na Carta de Smith a partir do ponto referente a zL (Figura 4.11). Como
e´ exigido um comprimento ele´trico θ = 3π/4, enta˜o o comprimento total da linha
tem que ser
l = l1 + l2 =
θ
2π
λ =
3λ
8
(4.88)
87 4.13. Casamento com Treˆs Tocos e Trechos de Linha
Escolhendo-se, por exemplo, l1 = λ/8 e l2 = λ/4, tem-se no plano z = l2 (plano B
na Figura 4.10a) a admitaˆncia normalizada igual a` impedaˆncia zL (Ponto P1), uma
vez que se caminhou λ/4 na linha de transmissa˜o em direc¸a˜o ao gerador. O obje-
tivo e´ chegar aos terminais do gerador (plano A na Figura 4.10a) com impedaˆncia
equivalente igual a` impedaˆncia de sa´ıda deste, no caso 50Ω (zg = 1). Observe que a
admitaˆncia normalizada no plano A, antes da introduc¸a˜o do toco 1, tem que ter parte
real igual a 1, uma vez que o toco 1 so´ eliminara´ a parte imagina´ria desta admitaˆncia.
Isso equivale a dizer que a admitaˆncia no plano A, antes da introduc¸a˜o do toco 1,
pode ser qualquer ponto sobre a circunfereˆncia que passa pelo ponto de admitaˆncia
normalizada igual a 1. Esta condic¸a˜o pode ser levada para o plano B, bastando para
isso girar a circunfereˆncia de 90◦ no sentido anti-hora´rio, como mostrado na Figura
4.11. O giro, neste caso, e´ de 90◦ no sentido anti-hora´rio porque se caminhou sobre
um trecho de linha de λ/8 em direc¸a˜o a` carga. Atrave´s do toco 2, pode-se deslocar
a admitaˆncia normalizada do ponto P1 para o ponto P3 ou P4, alterando-se apenas
a parte imagina´ria desta admitaˆncia. Tomando-se como exemplo o deslocamento
para o ponto P3, verifica-se que o valor da susceptaˆncia normalizada necessa´ria e´ de
+1,4. Sendo assim, e´ interessante se utilizar um toco em aberto com comprimento
lt2 = 0, 152λ. A admitaˆncia equivalente normalizada no plano A, sem a introduc¸a˜o
do toco 1, e´ obtida girando-se 1/4 de volta (90◦) no sentido hora´rio, isto equivale ao
ponto P5. Finalmente, o casamento e´ alcanc¸ado introduzindo-se o toco 1 em aberto
com comprimento lt1 = 0, 176λ, cuja a susceptaˆncia normalizada e´ +2.
Observe que, se fosse escolhido o ponto P4, na˜o haveria necessidade de um se-
gundo toco no plano A, pois o sistema ja´ estaria casado apenas com o trecho de
linha l2 e toco 2.
4.13 Casamento com Treˆs Tocos e Trechos de Linha
Se no exemplo anterior a impedaˆncia normalizada da carga tivesse parte real maior
que 2, o ponto marcado na Carta estaria dentro da circunfereˆncia de parte real igual
a 2. Isto significa dizer que a introduc¸a˜o de um toco no plano B nunca levaria
a admitaˆncia a` circunfereˆncia de casamento (a 90◦) indicada na Carta. Portanto,
torna-se necessa´rio a introduc¸a˜o de um terceiro toco no plano z = 0, como mostrado
na Figura 4.10b, de forma a alterar a admitaˆncia da carga. Tente, por exemplo,
determinar os comprimentos dos tocos para uma impedaˆncia de carga ZL = 150 +
j 50Ω. Considere os mesmos comprimentos de linha l1 = λ/8 e l2 = λ/4 e impedaˆncia
caracter´ıstica Zo = 50Ω.
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 88
10,40,2 0,6 0,80 1,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,4
8
P1
P2
lT2=0,152 λ
P3
P4
P5
1,410,8
0,4
0,6
lT1=0,176 λ
possíveis valores de admitância
no plano B antes da introdução
do toco 2
possíveis valores de admitância
no plano A antes da introdução
do toco 1
Figura 4.11: Casamento com dois tocos e trechos de linha l1 = λ/8 e l2 = λ/4, onde
P1, P2, P3, P4 e P5 sa˜o respectivamente zL = y1 = 1 + j0, 6, y2 = 0, 73 − j 0, 44,
y3 = 1 + j2, y4 = 1 e y5 = 1− j2.
4.14 Casamento com Transformador
Nas sec¸o˜es anteriores foram abordadas te´cnicas de casamento de impedaˆncia onde o
casamento entre um gerador e uma impedaˆncia de carga e´ alcanc¸ado ajustando-se
os comprimentos de tocos e trechos de linha. Em alguns casos, o casamento pode ser
obtido fixando o comprimento do trecho e variando-se a impedaˆncia caracter´ıstica.
Um exemplo muito comum deste tipo de te´cnica e´ o transformador de λ/4. Esse
transformador e´ na realidade um trecho de linha de comprimento l = λ/4 onde a
impedaˆncia equivalente no plano z = l e´ dada por (4.85). Sendo assim, a impedaˆncia
caracter´ıstica e´ obtida de
Zo =
√
ZL Zeq (4.89)
Note que os valores da impedaˆncia do gerador e da carga teˆm que ser reais para que
a impedaˆncia caracter´ıstica tambe´m seja.
Exemplo 4.5 Utilize a placa de circuito impresso do Exemplo 4.2 para confeccionar
uma linha de microfita que atue como um transformador de λ/4. O transformador
89 4.14. Casamento com Transformador
deve ser usado para casar a impedaˆncia de uma antena de 300Ω com a equivalente
de 50Ω do conjunto cabo-receptor que opera em 200MHz.
Soluc¸a˜o: A impedaˆncia da linha deve ser, neste caso,
Zo =
√
300× 50 = 122, 5Ω
e sua largura,
w �
(
8
eA − 2 e−3A
)
h = 0, 39× 2mm = 0, 785mm
pois
A =
50
122, 5
√
3 + 1
2
+
3− 1
3 + 1
(
0, 23 +
0, 11
3
)
� 3, 02
O comprimento da linha de microfita e´ dado por
l =
λo
4
√
�ef
=
1, 5
4
√
2, 43
= 241mm
sendo �ef obtido pela equac¸a˜o (4.49), ou seja,
�ef = 2 + (1 + 12× 0, 39)−1/2 + 0, 04× (1− 0, 39)2 � 2, 43
CAP´ıTULO 4. Linhas de Transmissa˜o 90
0.1
0.1
0.
1
0.2
0.2
0.
2
0.3
0.3
0.
3
0.4
0.4
0.
4
0.5
0.5
0.
5
0.
6
0.
6
0.
6
0.
7
0.
7
0.
7
0.
8
0.
8
0.
8
0.
9
0.
9
0.
9
1.
0
1.
0
1.
0
1.
2
1.
2
1.
2
1.
4
1.
4
1.
4
1.
6
1.
6
1.
6
1.
8
1.
8
1.
8
2.0
2.0
2.
0
3.0
3.0
3.
0
4.0
4.0
4.
0
5.0
5.0
5.
0
10
10
10
20
20
20
50
50
50
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.0
1.0
20
-20
30
-30
40
-40
50
-50
60
-60
70
-70
80
-80
90
-90
100
-100
110
-110
120
-12
0
13
0
-13
0
14
0
-1
40
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0
-1
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16
0
-1
60
17
0
-1
70
18
0
90
-9
0
85
-8
5
80
-8
0
75
-7
5
70
-7
0
65
-6
5
60
-6
0
55
-5
5
50
-5
0
45
-45
40
-40
35
-35
30
-30
25
-25
20
-20
15
-15
10
-10
0.
04
0.
04
0.
05
0.
05
0.0
6
0.0
6
0.0
7
0.0
7
0.0
8
0.0
8
0.09
0.09
0.1
0.1
0.11
0.11
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
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0.15
0.16
0.16
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0.19
0.2
0.2
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0.28
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0.29
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0.3
0.310.31
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0.32
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0.39
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0.41
0.41
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2
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2
0.4
3
0.4
3
0.4
4
0.4
4
0.
45
0.
45
0.
46
0.
46
0.
47
0.
47
0.
48
0.
48
0.
49
0.
49
0.
0
0.
0
A
N
G
U
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>
<—
 C
O
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G
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B/Y
o)
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TA
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IV
A 
(-jX
/Z
o),
 O
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SU
SC
EP
TA
N
CI
A
 IN
D
U
TI
V
A
 (-
jB
/Y
o)
RESISTENCIA (R/Zo) OU CONDUTANCIA (G/Yo)
PARAMETROS MEDIDOS RADIALMENTE
EM DIRECAO A CARGA —> <— EM DIRECAO AO GERADOR
1.11.21.41.61.822.5345102040100
SW
R 1
12345681015203040
dBS
1
1234571015 AT
EN
. [d
B]
1.1 1.2 1.3 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 10 20 C
OE
F. 
PE
RD
AS
 S.
W
.
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 20 30
PERDAS RTN. [dB]
0.010.050.10.20.30.40.50.60.70.80.91
COEF. RFL., P
0
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 10 15 PE
RD
AS
 D
E 
RF
L.
 [d
B]
0
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.5 3 4 5 10 P
IC
O 
S.W
. (C
ON
ST
. P
)
0
0.10.20.30.40.50.60.70.80.91
COEF. RFL., E or I 0 0.99 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 CO
EF
. T
RA
NS
M
., P
1
CENTRO
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 CO
EF
. T
RA
NS
M
., E
 or
 I
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
ORIGEM
Figura 4.12: Carta de Smith.