Algebra Linear T1

Prévia do material em texto

LUCAS DO NASCIMENTO LAURINDO 
LUCAS GOMES DOS RAMOS 
MATHEUS PUSSAIGNOLLI DE PAULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação de Sistemas Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rosana 
Outubro de 2017 
Introdução 
 
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que podem possuir m 
equações e n incógnitas [1]. A solução das mesmas possuem diversas aplicações no dia 
a dia, tais como, geração de imagens digitais, cálculo de estruturas (ponte, torre, etc.), 
circuitos elétricos, sistemas de GPS entre outras aplicações. 
A solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo 
tempo todas as equações do sistema, no qual podemos classificar o sistema linear, de 
acordo com quantas soluções ele admite, das seguintes maneiras: Sistema Possível 
Determinado (SPD) – admite uma única solução; Sistema Possível Indeterminado (SPI) 
– admite infinitas soluções; Sistema Impossível (SI) – não admite nenhuma solução. [1] 
[2] 
Para resolver um sistema linear existem basicamente duas formas, por 
escalonamento, que consiste em uma forma de “escada”, levar de uma equação a 
equação no sentido de cima para baixo, aumentando o número de coeficientes nulos da 
esquerda para direita [1], ou por regra de Cramer, que é uma forma versátil de resolver, 
da solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. [1] [3] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1:Representação do problema 
Problemas 
Problema 1 
 Na primeira gincana deste ano organizada pelo nosso colégio, foram montadas 
três barracas, que foram chamadas de B1, B2 e B3. 
 As três barracas vendiam os mesmos tipos de alimentação: cachorro quente, 
pastel e batata frita; cada uma dessas opções tinha o mesmo preço em todas as barracas. 
No fim da gincana o balanço feito sobre o consumo nas três barracas mostrou que: 
• em 131 foram consumidos 28 cachorros quentes, 42 pastéis e 48 porções de fritas; 
• em B2 foram consumidos 23 cachorros quentes, 50 pasteis e 45 porções de fritas; 
• em B3 foram consumidos 30 cachorros quentes, 45 pastéis e 60 porções de fritas. 
As barracas B1, B2 e B3 lucraram R$ 102,00, R$ 95,00 e R$ 117,00 respectivamente. 
Qual o preço de cada cachorro quente, pastel e porção de fritas? [4] 
Problema 2 
Em uma certa regido do centro de determinada cidade, dois conjuntos de ruas de mão 
única se cruzam conforme a ilustração abaixo. A média do número de veículos por hora 
que entram e saem dessa seção durante o horário de rush é dada no desenho. Serão 
determinadas as quantidades de veículos entre cada urn dos quatro cruzamentos. [4] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Metodologia 
Problema 1 
Sejam: x o preço de um cachorro quente; y o preço de um pastel; z o preço de 
uma porção de fritas. 
Com os dados do problema montou-se o seguinte sistema: 
{
28x + 42y + 48z = 102 
23𝑥 + 50𝑦 + 45𝑧 = 95
30x + 45y + 60z = 117 
 
A matriz aumentada do sistema, pode ser feita da seguinte maneira: 
[
28 42 48
23 50 45
30 45 60
 |
102
95
117
] 
Aplicando Cramer para achar o determinante A: 
|
28 42 48
23 50 45
30 45 60
| 
28
23
30
 
42
50
45
 
 Realizando a multiplicação temos que: 
𝐷𝑒𝑡 𝐴 = (84000 + 56700 + 49680) − (72000 + 56700 + 57960) 
𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 190380 − 186660 = 3720 
 Agora determinando o X1 para poder descobrir o preço do cachorro quente: 
|
102 42 48
95 50 45
117 45 60
| 
102
95
117
 
42
50
45
 
 Com isso, temos que X1: 
𝐷𝑒𝑡 𝑥1 = (306000 + 221130 + 205200) − (280800 + 206550 + 239400) 
𝐷𝑒𝑡 𝑥1 = 732330 − 726750 = 5580 
 Dessa forma, temos que: 
𝐷𝑒𝑡 𝑥1
𝐷𝑒𝑡 𝐴
= 
5580
3720
= 𝑅$ 1,50 
 Para o pastel determinamos X2: 
|
28 102 48
23 95 45
30 117 60
| 
28
23
30
 
102
95
117
 
𝐷𝑒𝑡 𝑥2 = (159600 + 137700 + 129168) − (136800 + 147420 + 140760) 
𝐷𝑒𝑡 𝑥2 = 426468 − 424980 = 1488 
 
Assim: 
𝐷𝑒𝑡 𝑥2
𝐷𝑒𝑡 𝐴
= 
1488
3720
= 𝑅$ 0,40 
 Por fim determinamos a porção de fritas através do X3: 
|
28 42 102
23 50 95
30 45 117
| 
28
23
30
 
42
50
45
 
 Com isso, temos que: 
𝐷𝑒𝑡 𝑥3
𝐷𝑒𝑡 𝐴
= 
3348
3720
= 𝑅$ 0,9 
 Com a utilização dos sistemas lineares determinamos dessa forma os preços do 
cachorro quente, pastel e porção de fritas sendo respectivamente: 𝑅$ 1,50; 𝑅$ 0,40 e 
𝑅$ 0,9. 
 
Problema 2 
Em cada cruzamento, o número de veículos que entra deve ser igual ao número 
que sai. Por exemplo, no cruzamento A o número de veículos que entra é 𝑥1 + 450 e o 
número de veículos que sai é 𝑥2 + 610. 
Logo, 
𝑥1 + 450 = 𝑥2 + 610 (𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴) (01) 
Da mesma forma, temos que: 
𝑥2 + 520 = 𝑥3 + 480 (𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵) (02) 
𝑥3 + 390 = − − 𝑥4 + 600 (𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐶) (03) 
𝑥4 + 640 = 𝑥𝑙 + 310 (𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐷) (04) 
 
Reorganizando os termos encontramos o sistema: 
x1 - x2 = 160 
x2 – x3 = - 40 
x3 – x4 = 210 
x4 – x1 = -330 
 
 
Logo, sua matriz é: 
0 -1 0 0 160 
0 1 -1 0 -40 
0 0 1 -1 210 
-1 0 0 1 -330 
 
Escalonando a matriz acima encontra-se: 
1 0 0 -1 330 
0 1 0 -1 170 
0 0 1 -1 210 
0 0 0 0 0 
 
Que nos apresenta: 
𝑥1 – 𝑥4 = 330 => 𝑥1 = 330 + 𝑥4 
𝑥2 – 𝑥4 = 170 => 𝑥2 = 170 + 𝑥4 
𝑥3 – 𝑥4 = 210 => 𝑥3 = 210 + 𝑥4 
𝑥4 – 𝑥4 = 0 => 𝑥4 = 0 + 𝑥4 
 
Analisando podemos perceber que, (330 + 𝑥4, 170 + 𝑥4,210 + 𝑥4, 𝑥4), ou 
seja, existe uma variável livre que nos traz infinitas soluções. 
O diagrama de fluxo de tráfego não contém informações suficientes para 
determinar 𝑥𝑖, 𝑥2, 𝑥3 𝑒 𝑥4. Se o número de veículos entre dois cruzamentos fosse 
conhecido, o tráfego nos outros cruzamentos estaria determinado. Por exemplo, se uma 
média de 150 carros trafega por hora entre os cruzamentos C e D, então 𝑥4 = 150. 
 
𝑥1 = 330 + 𝑥4 => 𝑥1 = 480 
𝑥2 – 𝑥4 = 170 => 𝑥2 = 320 
𝑥3 – 𝑥4 = 210 => 𝑥3 = 360 
𝑥4 – 𝑥4 = 0 => 𝑥4 = 150 
 
 
 
 
 
Conclusão 
 
 A partir da metodologia aplicada, foi possível realizar a resolução dos problemas 
utilizando dois métodos distintos sendo eles: crammer e escalonamento. Com isso, foi 
comprovado duas aplicações contextualizadas sobre sistemas lineares assim como sua 
importância para os dias atuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
[1]. O que é um sistema linear: Disponível em 
<https://www.stoodi.com.br/blog/2014/06/02/sistemas-lineares-o-que-sao-e-como-
resolve-los/>. Acesso em 25 de outubro de 2017. 
[2]. SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Classificação de um sistema linear"; Brasil Escola. 
Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/classificacao-um-sistema-
linear.htm>. Acesso em 25 de outubro de 2017. 
[3]. RAMOS, Danielle de Miranda. "Regra de Cramer"; Brasil Escola. Disponível em 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-cramer.htm>. Acesso em 25 de 
outubro de 2017. 
[4]. Mama Regina Nunes Lamin. “RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MODELADOS 
COM SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES”.