Calculo I - Exercicio II

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Universidade Federal do Piau´ı - UFPI
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Vitaliano Amaral.
Exerc´ıcios
0.1 Seja f : R → R definida por f(x) =
{ | x | +x se | x |≤ 1
3 se | x |> 1 . Verifique se f possui
limites nos pontos 1 e -1.
0.2 Seja f : R→ R definida por f(x) =

x3 se x ≤ 0
1 se 0 < x < 1
x2 se x ≥ 1
. Verifique se f possui limites
nos pontos 0 e 1.
0.3 Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→2
x+ 4
3x− 1; b) limx→1
x+ 3
x+ 2
; c) lim
x→1
x2 − 1
x− 1 ;
d) lim
x→2
x2 − 5x+ 6
x− 2 ; e) limx→9
x− 9√
x− 3; f) limx→1
x3 − 1
x− 1 ;
g) lim
x→+∞
x2 − 3x+ 2
2x2 + x− 3; h) limx→+∞
5x2 + 7
3x− x ; i) limx→1+
x
x− 1;
j) lim
x→1−
x
x− 1 . k) limx→0
√
x+ 4− 2
x
l) lim
x→0
√
x2 + 4− 2
x2
;
m) lim
x→1
1−√x
1− x ; n) limx→0
(2 + x)3 − 8
x
; o) lim
x→±∞x
4 − x3 + 1;
p) lim
x→±∞x
3 + 2x+ 1; q) lim
x→0
sen(2x)
x
; r) lim
x→0
tanx
senx
;
s) lim
x→0
cos(2x)
1 + sen x
; t) lim
x→0
xsenx
sen(2x2)
; u) lim
x→pi
pi − x
senx
;
v) lim
x→0
sen2 x
x
; x) lim
x→+∞x sen
2 1
x
; z) lim
x→−∞x[1− cos(
1
x
)].
0.4 Dizemos que a reta y = C e´ uma ass´ıntota horizontal de uma f se lim
x→±∞ f(x) = C.
Mostre que y = 1 e´ uma ass´ıntota a` func¸a˜o f(x) =
x
x+ 1
.
0.5 Dizemos que a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de uma func¸a˜o f se lim
x→a f(x) =
±∞. Mostre que a reta x = −1 e´ uma ass´ıntota vertical da func¸a˜o f(x) = x
x+ 1
.
Matema´tica -1- UFPI-CCN
0.6 Dizemos que a reta y = ax+ b e´ uma ass´ıntota obl´ıquoa de f se : lim
x→±∞[f(x)− (ax+
b)] = 0. Mostrar que a reta y = x e´ uma ass´ıntota obliquoa a` func¸a˜o f(x) = x+
1
x
, x 6= 0.
0.7 Calcule lim
x→+∞(
√
x+ 3−√x).
0.8 Seja f : R→ R definida por f(x) =
 x
2 − 4
x− 2 se x 6= 2
4 se x = 2
.
Pergunta-se: f e´ cont´ınua em x0 = 2? Justifique sua resposta.
0.9 As Func¸o˜es cos
1
x
e sen
1
x
, x 6= 0 sa˜o cont´ınuas em seus domı´nios? Justifique sua
resposta.
0.10 Encontre um valor para a constante K que torne a func¸a˜o
f(x) =
 sen(3x)x se x 6= 0K se x = 0 cont´ınua em x0 = 0.
0.11 Seja f : R → R tal que f(x) =
{ sen x
| x | se x 6= 0
1 se x = 0
.Pergunta-se: f e´ cont´ınua em
x0 = 0? Justifique sua resposta.
0.12 Seja f : R→ R tal que f(x) =
{
sen
1
x
se x 6= 0
0 se x = 0
. Mostre que f e´ cont´ınua em R.
0.13 Seja f : R → R tal que f(x) =
{
x2sen
1
x
se x 6= 0
0 se x = 0
. Mostre que f e´ cont´ınua em
R.
0.14 a) Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que a equac¸a˜o x = cosx tem
pelo menos uma soluc¸a˜o no intervalo [0, pi2 ].
b) Mostre graficamente que ha´ exatamente uma soluc¸a˜o neste intervalo.
0.15 Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que a equac¸a˜o x + sen x = 1
possui pelo menos uma soluc¸a˜o no intervalo [0, pi6 ].
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