AULA 03

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CÁLCULO IV
Professora online: PATRÍCIA REGINA DE ABREU LOPES
AULA 3: INTEGRAIS MÚLTIPLAS
OBJETIVO DESTA AULA:
Ao final desta aula, você será capaz de:
1 - 	Reconhecer a Mudança de Variáveis na Integral Tripla;
2 - 	Resolver as primeiras integrais triplas com mudança de variável.
INTRODUÇÃO
	Aprenderemos mudança de variáveis na integral tripla. Esta nova mudança de variável que aprenderemos tem como objetivo facilitar o cálculo de algumas integrais triplas que não são simples de se calcular diretamente. Este método tem como principio básico, as mudanças de variáveis que aprendemos nas disciplinas de cálculo vistas anteriormente. Continuaremos fazendo um paralelo entre as disciplinas de cálculo já estudadas e a trabalhar a interdisciplinaridade. Apresentaremos vários exemplos relacionados à mudança de variável cilíndrica e esférica em integral tripla.
MUDANÇA DE VARIÁVEL NAS INTEGRAIS TRIPLA
	Um pouco de história: 
	O teorema de mudança de variáveis em integrais triplas foi primeiro proposto por Lagrange, em 1773, e usado por Legendre, Laplace e Gauss, e primeiramente generalizado para n variáveis por Mikhail Ostrogradski, em 1836, resistiu a uma demonstração mais rigorosa por longo tempo (125 anos).
	E foi satisfatoriamente demonstrado por Elie Cartan, em uma série de artigos, nos anos 1890.
	Fonte: http://www.scribd.com/doc/51562136/29/Mudanca-de-Variaveis-em-Integrais-Triplas
	O problema da mudança de variáveis em integrais triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variáveis em integrais duplas, o aumento de uma dimensão nos trará apenas mais um esforço algébrico.
	Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis em integrais tripla: 
• 	sistemas de coordenadas cilíndricos; 
• 	sistema de coordenadas esféricos.
	Para isto definiremos as variáveis:
	Seja definida pelas equações x = x(u, v, s), y = y (u, v, s) e z = z(u, v, s)
	Ainda será valido se: ou deixar de ser injetora em subconjuntos de Q que possam ser descritos por um ponto ou pelo gráfico de uma função contínua ou por uma união finita de conjuntos destes dois tipos. 
 	A demonstração deste teorema pode ser visto no livro Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. PINTO, Diomara; MORGADO, Maria Candida Ferreira: Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis, página 175.
	A seguir vamos conhecer dois casos especiais de mudança de variáveis:
• 	as cilíndricas; 
• 	as esféricas.
MUDANÇA DE VARIÁVEIS CILÍNDRICAS
	Se D for à projeção do sólido G no plano xy e se f for contínua em G, então:
	Onde Jacobiano será dado por:
	Esta fórmula que acabamos de ver ainda é valida se Q está contido em um conjunto da forma:
EXEMPLO
	Antes de dar continuidade a seus estudos, veja alguns exemplos para entender melhor o conteúdo abordado.
EXEMPLO: Calcule a integral sendo Q o sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 ≤ 1 e pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 4 - y2 - x2.
	Observe geometricamente o sólido: 
	Vejamos que das equações z = 4 - y2 - x2 e x2 + y2 = 1, concluímos que z = 3, ou seja, a interseção ocorre no plano z = 3. 
	As coordenadas cilíndricas serão:
	Podemos escrever as equações como: z = 4 - (y2 + x2) = 4 - r2. 
	Temos então, z = 0 e z = 4 - r2, portanto podemos dizer que 0 ≤ z ≤ 4 - r2 , com isto definimos o limite de z. 
	Observando a projeção do sólido, no plano xy, podemos afirmar que teremos um disco x2 + y2 ≤ 1 então, o intervalo de r e ϴ podem ser definidos como 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ ϴ ≤ 2.
	Concluímos que os limites de integração do sólido será:
	Escreveremos a integral tripla como:
	Observe que trocamos a ordem de integração para começar por z, pois o limite de z contém uma função que depende de r. 
	Integrando primeiramente em z, obtemos:
	Observe que r3 não é integrado, pois ele é considerado uma constante porque estamos integrando em relação à z e os limites de integração serão aplicados apenas em z.
	A próxima integral que será resolvida será em 
EXEMPLO: Calcule onde o sólido está contido dentro do cilindro x2 + y2 = 4 e entre os planos z = 1 e z = 4. 
	Observe a região D formada pelo sólido na figura a seguir:
	1o Passo - Decidir qual mudança de variável a ser utilizada: Como o integrando envolve e a região de integração é um cilindro, devemos calcular a integral utilizando coordenadas cilíndricas, onde será:
	2o Passo - Decidir os limites de integração: Como e x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 4 podemos concluir que 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ϴ ≤ 2. Pelos planos z = 1 e z = 4 concluímos que 1≤ z ≤ 4. 
	3º Passo - Montar a integral não se esquecendo de colocar o determinante do Jacobiano e utilizando as coordenadas cilíndricas no integrando.
	Esta é uma integral bem simples de se resolver.
	Exemplo: Calcule a massa do sólido limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo plano z = 4 sendo a densidade em cada ponto do solido dada por (x, y, z) = (x2 + y2)(1/2). Observe a figura que representa o sólido.
	A massa será dada pela integral tripla: 	
1o Passo - Decidir qual mudança de variável a ser utilizada: Como o integrando envolve e a região de integração é um cilindro, devemos calcular a integral utilizando coordenadas cilíndricas, onde será:
	2o Passo - Decidir os limites de integração: Como está limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo plano z = 4 concluímos que x2 + y2 ≤ z ≤ 4. Consequentemente, como podemos concluir que 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ϴ ≤ 2. 
	3º Passo - Montar a integral não se esquecendo de colocar o determinante do Jacobiano e utilizando as coordenadas cilíndricas no integrando.
	Mas ainda podemos aplicar as coordenadas cilíndricas no limite de integração e simplificando o integrando, ficando:
	Esta também é uma integral bem simples de se resolver.
MUDANÇA DE VARIÁVEIS ESFÉRICAS
	A integral tripla com mudança de variável esférica será definida, portanto por:
EXEMPLO
	Antes de encerrar seus estudos, veja alguns exemplos para entender melhor o conteúdo abordado.
EXEMPLO: Calcule o volume da esfera x2 + y2 + z2 ≤ a2, onde a > 0. 
	Geometricamente, estamos querendo o volume da esfera de raio .
	Temos para coordenadas esféricas: 
	O volume será dado por: x2 + y2 + z2 ≤ a2 2 = x2 + y2 + z2, portanto 2 = a2 então = a. Observe, na figura, os limites de ϴ e para a esfera:
	Os limites de integração serão:
	A integral poderá ser definida por:
	Passando o limite de integração de encontramos:
EXEMPLO: Calcule onde o sólido é limitado inferiormente pelo cone e superiormente pela esfera . 
	Observe a seguir a figura que representa o sólido.
	Das equações e temos então, . 
	Substituindo o valor de z encontrado em encontramos que . 	Portanto, a projeção do sólido no plano xy é o disco D: . 
	O volume será dado pela integral tripla: 
	1o Passo - Decidir qual mudança de variável a ser utilizada: Como o integrando envolve e a região de integração será esférica, devemos calcular a integral utilizando coordenadas esféricas, onde será:
	2o Passo - Decidir os limites de integração: Como esta limitado pela esfera , concluímos que 2 = 4 então, = 2. 0 ≤ ≤ 2. 
	Consequentemente, como podemos concluir que 0 ≤ ϴ ≤ 2. Por fim substituindo as coordenadas esféricas na equação temos . 
	Desenvolvendo teremos .
	Simplificando . 
	Colocando em evidência 3 podemos simplificar mais a expressao ficando .
	cotangente = . Portanto = /6. Podemos concluir que 0 ≤ ≤ /6. 
	Relembrando a Trigonometria: cotg x= 1/tg x, portanto . Então, ou se preferir 1 + cotg² x = 1/sen² x. 
	Arrumando e fazendo as contas encontrará que sen x = 1/2, isto acontece quando x = 30 graus = /6. 
	3º Passo - Montar a integral não se esquecendo de colocar o determinante do Jacobiano e utilizando as coordenadas cilíndricas no integrando.
	Mas ainda podemos simplificar o integrando, ficando:
	Resolvendo a integral:
EXEMPLO: Calcule o volume do elipsoide , onde a, b ,c são constantes positivas.
	Neste caso, faremos a seguinte mudança de variável: 
	Observe que o elipsoide,com a mudança de variável, foi transformado na esfera u2 + b2 + w2 ≤ 1, portanto, o determinante do Jacobiano será definido por:
	Podemos escrever:
_________________________________________________________________
Professor aula teletransmitida: ANA LUCIA DE SOUSA Tempo: 50min 42seg
AULA 3: INTEGRAIS MÚLTIPLAS
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
	
Mudança de Variáveis na Integral Tripla 
Exemplos
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Objetivos da aula: 
Objetivo 1: Apresentar Mudança de Variáveis na Integral Tripla;
Objetivo 2: Resolver as primeiras integrais triplas com mudança de variável.
Verificação da integral sen4x.
MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAl TRIPLA
 	O problema da mudança de variáveis em integrais triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variáveis em integrais duplas.
 	Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis em integrais tripla: 
Sistemas de coordenadas cilíndricas
Sistema de coordenadas esféricas
DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS:
CASOS ESPECIAIS DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS
 1) 	Mudança de Variáveis Cilíndricas
	Um ponto P com coordenadas retangulares (x, y, z) tem coordenadas cilíndricas (r, ϴ, z), onde r é à distância do ponto P a origem e ϴ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P.
	Veja que r e ϴ são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy.
	As coordenadas retangulares e polares do ponto P estão relacionas por:
x = rcos ϴ, y = rsen ϴ, z = z e x2 + y2 = r2
	O jacobiano de x, y e z em relação às novas variáveis r, Ө e z é:
x = rcos ϴ, y = rsen ϴ e z = z
EXEMPLO 1
	Calcule a integral sendo Q o sólido limitado pelo cilindro x2+ y2 ≤ 1 e pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 4 - y2 - x2.
OBSERVE GEOMETRICAMENTE O SÓLIDO: 
 	Observemos que das equações z = 4 - y2 - x2 e x2 + y2 = 1, concluímos que z = 3, ou seja, a interseção ocorre no plano z = 3.
	As coordenadas cilíndricas serão:
	Considere as equações z = 4 - y2 - x2 e x2 + y2 = 1 
	Podemos escrever as equações como: z = 4 - ( y2 + x2) = 4 - r2
	Temos então z = 0 e z = 4 - r2. Portanto o limite de z será: 0 ≤ z ≤ 4 - r2
 	Observando a projeção do solido no plano xy podemos afirmar que teremos um disco x2+ y2 ≤ 1. 
	Então o intervalo de r e ϴ podem ser definidos como 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ ϴ ≤ 2.
	Concluímos que os limites de integração do sólido serão:
	Escreveremos a integral tripla como:
	Observe que trocamos a ordem de integração para começar por z, pois o limite de z contém uma função que depende de r.
INTEGRANDO PRIMEIRAMENTE EM Z OBTEMOS:
	Observe que r3 não é integrado, pois ele é considerado uma constante. Estamos integrando em relação à z e os limites de integração serão aplicados apenas em z.
	A próxima integral que será resolvida será em ϴ:
EXEMPLO 2
	Calcule 
	O sólido esta contido dentro do cilindro x2 + y2 = 4 e entre os planos z = 1 e z = 4.
 	Observe a região D formada pelo sólido na figura abaixo:
EXEMPLO 3
Mudança de Variáveis Esféricas
	Um ponto P com coordenadas retangulares (x, y, z) tem coordenadas esféricas (, ϴ, ), onde:
 é a distância do ponto P a origem
 ϴ é o angulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P
 é o angulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P a origem.
EXEMPLO 4
EXEMPLO 5
	Nesta aula, você:
Aprendeu mudança de variável de integrais triplas; 
Verificou a importância da interdisciplinaridade;
Utilizou o conhecimento dos cálculos anteriores; 
Partiu do conhecimento anterior da disciplina de cálculo para fazer uma extensão para o conteúdo aprendido nesta aula;