AOL 2 - CALCULO VETORIAL

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AOL 2 – CALCULO VETORIAL 
1. Pergunta 1 
As coordenadas cilíndricas auxiliam na resolução de certos tipos de integrais triplas e 
seu uso é recomendado quando se observa uma certa simetria na figura em um eixo 
específico. 
 
 
Figura – Representação de um sólido entre um plano e um paraboloide. 
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus 
conhecimentos de integrais em coordenadas cilíndricas, é correto afirmar que o sólido 
pode ter seu volume calculado em integrais com coordenadas cilíndricas porque: 
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1. 
o eixo z varia de 0 a 10. 
2. 
há uma simetria da figura com relação ao eixo y. 
3. 
o sólido é limitado por duas superfícies. 
4. 
há uma simetria da figura com relação ao eixo x. 
5. 
há uma simetria da figura com relação ao eixo z. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
2. Pergunta 2 
Quando for conveniente mudar de coordenadas, além de saber reescrever a função e o 
elemento de área ou volume, também é necessário reescrever a região onde ocorre a 
integração. 
De acordo com essas informações e seus conhecimentos de integração, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integração em equivale a em . 
II. ( ) A integração em representa uma integração apenas nos quadrantes 
do plano cartesiano onde x é positivo. 
III. ( ) A integração em em equivale a , se a função tiver 
simetria radial. 
IV. ( ) A região de integração pode ser diferente a depender do sistema de 
coordenadas. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, V, V, F. 
2. 
V, F, V, F. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
3. 
F, F, V, V. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
V, F, F, V. 
3. Pergunta 3 
Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir de regiões 
retangulares. Porém, existem maneiras de se calcular essas integrais, mesmo que não 
estejam definidas em regiões retangulares, mas a região no plano xy deve ser limitada 
por funções. Cada tipo de limitação funcional caracteriza um certo tipo de região (Tipo 
I ou Tipo II). 
De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do 
Tipo I e do Tipo II, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e 
F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte forma . 
II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte 
forma . 
III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y. 
IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, V, F. 
2. 
V, V, V, F. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
F, V, F, V. 
5. 
F, F, V, V. 
4. Pergunta 4 
Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de 
um sistema de coordenadas para outro, é necessário ter cautela para escrever 
corretamente os elementos de área ou volume, caso contrário, o resultado da 
integração pode ficar comprometido. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de 
coordenadas, analise as afirmativas a seguir: 
I. O elemento de área em coordenadas polares é . 
II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é . 
III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é . 
IV. Dada uma função em coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela 
é escrita como . 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II e IV. 
2. 
I, II e IV. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
3. 
I, III e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
I e II. 
5. Pergunta 5 
Uma função de duas variáveis associa um ponto (x, y) a um valor numérico, também 
chamado de escalar, z. Em um campo vetorial de duas variáveis, no entanto, cada 
ponto do espaço tem um outro conjunto de pontos associado, que é o que chamamos 
de vetor. 
Com base nos seus conhecimentos acerca da representação gráfica de campos 
vetoriais, associe os itens a seguir com os seus campos vetoriais: 
1) 
 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
4) 
 
 
( ) . 
( ) . 
( ) . 
( ) . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
4, 2, 3, 1. 
2. 
1, 4, 3, 2. 
3. 
2, 3, 1, 4. 
4. 
3, 4, 1, 2. 
5. 
2, 4, 3, 1. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
6. Pergunta 6 
Quando se mensuram volumes por integrais triplas existem inúmeras manipulações 
algébricas que deixam os cálculos mais palatáveis. A mudança de coordenadas é uma 
manipulação algébrica que consegue, muitas vezes, transformar limites integrativos 
complexos em limites mais simples. As principais mudanças de coordenadas são para 
as polares, cilíndricas e esféricas. 
 
 
Figura – Representação de um sólido. 
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus 
conhecimentos acerca de integrais triplas e mudança de coordenadas, pode se afirmar 
que o volume do sólido em questão pode ser mensurado por coordenadas cilíndricas, 
porque: 
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1. 
há simetria do sólido com relação ao eixo z. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
2. 
há simetria do sólido com relação ao eixo x. 
3. 
os parâmetros utilizados são e ᵠ. 
4. 
o sólido é limitado por funções circulares. 
5. 
há simetria do sólido com relação ao eixo y. 
7. Pergunta 7 
Quando se faz a integral em uma função de uma variável, é suficiente dois pontos para 
definir uma região de integração. Ao ir para duas variáveis por exemplo, para definir as 
regiões no plano xy utiliza-se curvas. Porém, há uma possibilidade que não existe no 
caso de uma variável, que é a integração de ao longo de uma curva no plano xy. 
Isso se chama integral de linha. 
 Acerca dos seus conhecimentos de integral de caminho, é correto afirmar que a 
parametrização é necessária porque: 
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1. 
a parametrização representa a variável dependente ao longo da 
linha. 
2. 
não é possível derivar a função sem parametrizar. 
3. 
representa o elemento de comprimento é . 
4. 
sem parametrizar a curva o resultado da integral seria diferente. 
5. 
uma curva, mesmo que no plano xy, possui apenas um parâmetro livre e 
para se integrar é necessário escrever x e y em função desse parâmetro 
integrável. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
8. Pergunta 8 
Comumente, trabalha-se com as coordenadas cartesianas para resoluções de integrais, 
porém, nem todas as integrais têm seus limites de integração facilmente identificados 
nesse sistema de coordenadas. Existem outros sistemas de coordenadas que auxiliam 
no processo integrativo, tais como as coordenadas cilíndricas e esféricas, que se 
pautam em outros parâmetros diferentes das coordenadas cartesianas. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das integrais triplas 
nesses sistemas de coordenadas, analise as afirmativas a seguir: 
I. As coordenadas cilíndricas são comumente utilizadas quando há certa simetria do 
sólido em relação ao eixo z. 
II. As coordenadas esféricas utilizam ,0er como parâmetros. 
III. As coordenadas cilíndricas utilizam 0 e r como parâmetros. O z se mantém o 
mesmo. 
IV. As coordenadas cartesianas utilizam r e , como parâmetros. O z se mantém o 
mesmo. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
 I e IV. 
3. 
 I, II e III. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
4. 
I, II e IV. 
5. 
I e II. 
9. Pergunta 9 
As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar 
áreas, comprimentos e volumes com elas de maneira extremamente distinta. A 
seguinte integral duplade uma função de duas variáveis efetua a mensuração de uma 
dessas medidas: 
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se 
que a integral supracitada mensura o volume de uma superfície, porque: 
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1. 
a região integrativa é uma região R retangular. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
2. 
o diferencial de volume dv = dxdy. 
3. 
o contradomínio dessa função faz parte dos reais R. 
4. 
o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis. 
5. 
a função que compõe o integrando é uma função par. 
10. Pergunta 10 
As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, 
existem inúmeros jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo 
disso é a mudança de coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. 
Tenha como base a seguinte integral tripla: 
. 
Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas 
coordenadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) refere-se ao diferencial de volume dV. 
II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a r e por 
último com relação a 0. 
III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas. 
IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, F, V. 
2. 
V, V, F, F. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
3. 
F, V, V, F. 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
V, F, V, F.