CAL4 2016.2 FINAL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: FINAL
Data: 28/06/2017 In´ıcio: 07:30hs/ Te´rmino: 10:10hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
1
2
3
Nota
Aluno(a): Curso:
(1) (3,0 pts)
(a) Calcule
∫ 1
0
∫ √2−y2
y
(x+ y) dxdy.
(b) Esboce o so´lido E descrito abaixo em coordenadas cartesianas. Em seguida calcule seu volume.
E =
{
(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤
√
1− x2, 0 ≤ z ≤ x2 + y2
}
.
(2) (3,0 pts)
(a) Calcule o campo gradiente da func¸a˜o f(x, y) =
√
x+
√
y, x > 0, y > 0.
(b) Mostre que a a´rea da superf´ıcie α(u, v) = (u cos v, usenv, v) , (u, v) ∈ [0, 1]×[0, pi], e´ pi
2
[√
2 + ln(
√
2 + 1)
]
.(
Dado:
∫
sec3 θ dθ = 1
2
sec θ tan θ + 1
2
ln | sec θ + tan θ| + C
)
(3) (4,0 pts) Calcule.
(a) A integral de linha de F (x, y) =
( −2xy
(x2 + 1)2
,
1
x2 + 1
)
ao longo de uma curva diferencia´vel C ligando o
ponto A = (0,−1) ao ponto B = (2, 5).
(b)
∫∫
S
rotF · dS, onde F (x, y, z) = (−y cos(xyz), xesenz, xexy tan(zy2)) e S e´ o hemisfe´rio
x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0,
com orientac¸a˜o para cima.
(c) O fluxo de F (x, y, z) = (x3 + y2z, y3 − 2x2y, x2y − 2y2z) atrave´s da superf´ıcie do so´lidido delimitado
pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos z = 1 e z = 2.