Gabarito Cálculo Final CALCULO II

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Departamento de Matemática Disciplina Ministrada: Cálculo II
Gdf Prof.: Raul Mesquita Peŕıodo: 2➸ Ano: 2019
CÁLCULO II - PROVA FINAL (GABARITO)
Nome Turma
Questões
1. (1 ponto) Forneça as equações paramétricas da reta normal à superf́ıcie dada por
x − 3y + 2z + 2 = 0, no ponto (2,0,−2).
Resolução:
Essa superf́ıcie é um plano. Então a direção normal a ela pode ser encontrada através
do vetor (1,−3,2). Assim sendo, a reta será dada por (2,0,−2)+ t(1,−3,2), o que nos
fornece x = 2 + t, y = −3t e z = −2 + 2t.
2. (1 ponto) Obtenha a equação do plano tangente à superf́ıcie dada por
z = x2 + y2 − 2x − 4y + 6,
no ponto (1,2,1).
Resolução:
Usando o formato geral z = z0 +
∂f
∂x
(x0, y0)(x − x0) + ∂f∂y (x0, y0)(y − y0), obtemos ime-
diatamente que a equação procurada é z = 1.
3. (1 ponto) Calcule a derivada de f○α no ponto (1,2,1), onde f(x, y) = x2+y2−2x−4y+6
e α(t) = (2, t, t), no ponto em que t = 0.
Esta questão apresenta incoerência pois o contradomı́nio de α (R3) não condiz com a
composição f ○ α. Os pontos desta questão, portanto, foram creditados a todos.
4. (1 ponto) Obtenha a área plana da região do primeiro quadrante que é delimitada
pelo eixo das abscissas e pelo gráfico de y = −2x2 + 4x.
Resolução:
Trata-se evidentemente de uma região parabólica. Podemos calcular sua área através
de integrais duplas, mas fica mais prático e rápido fazer isso através de uma integral
simples: A área S será portanto
S = ∫
2
0
(−2x2 + 4x)dx = −2x
3
3
+ 2x2∣
2
0
= −
16
3
+ 8 =
8
3
.
Raul Rabello Mesquita ◇ Departamento de Matemática ◇ raulrabello@yahoo.com.br
Departamento de Matemática Disciplina Ministrada: Cálculo II
Gdf Prof.: Raul Mesquita Peŕıodo: 2➸ Ano: 2019
5. (1 ponto) Obtenha as coordenadas do centro de massa da região da questão anterior,
supondo-a de densidade constante.
Resolução:
Uma vez que essa parábola tem um eixo (vertical) de simetria, a coordenada x̄ = 1 é
imediatamente deduzida. Basta portanto calcularmos ȳ.
Como ∫ 20 ∫ −2x
2
+4x
0
ydydx = 2 ∫ 20 (2x − x2)2dx = 1615 , basta-nos usar a área S obtida na
questão anterior para obter que
ȳ =
16
15
.
1
S
=
2
5
.
6. (2 pontos) Calcule o momento de inércia Mx (ou seja: em relação ao eixo x) da região
questão anterior, ainda suposta de densidade constante.
Questão anulada. Os pontos relativos a ela foram creditados a todos.
7. (2 pontos) Seja A a região do primeiro quadrante do plano xy, delimitada pelos
eixos coordenados e pela reta y = −1
2
x + 1. Calcule o volume do prisma delimitado
inferiormente por A e superiormente pelo plano z = 4.
Resolução:
Vê-se facilmente que a região A é um triângulo retângulo de catetos 1 e 2 (e por-
tanto de área 1), e que o sólido mencionado é um prisma de bases paralelas e altura
4. Podeŕıamos resolver esta questão com integrais triplas, mas é bem mais simples
lembrar que o volume de um prisma de bases paralelas é o produto da área da base
por sua altura. Logo, a resposta é 4.
8. (1 ponto) Calcule ∫ 21 ∫ 30 ∫ 10 (x + 1)dydxdz.
Resolução:
∫
2
1
∫
3
0
∫
1
0
(x + 1)dydxdz = ∫
2
1
∫
3
0
(x + 1)dxdz
= ∫
2
1
15
2
dz
=
15
2
.
Raul Rabello Mesquita ◇ Departamento de Matemática ◇ raulrabello@yahoo.com.br