Lista 1 CM201

Prévia do material em texto

Lista 1 de CM201 - Cálculo Diferencial e Integral I
Profa. Tanise Carnieri Pierin
1 Inequações e Módulos
Questão 1 Estude o sinal das expressões:
(a) x− 3
(b) 2x− 1
(c) 4− x
(d)
x− 2
x + 1
(e) (x + 1)(3− x)
(f) (x2 + 1)x
(g) (x− 1)(x + 2)(x2 − 1)
Questão 2 Resolva as inequações:
(a)
2x− 1
x + 1
< 0
(b)
1− x
3− x ≥ 0
(c)
x− 2
3x + 1
> 0
(d) (2x− 1)(x + 3) < 0
(e) x(2x− 1) ≥ 0
(f) (x− 2)(x + 2) > 0
(g)
x− 3
x2 + 1
< 0
(i) x2 − 4 > 0
(j) x2 − 1 ≤ 0
(k)
x2 − 9
x + 1
< 0
(l) (2x− 1)(x2 − 4) ≤ 0
Definição. Se x é um número real, definimos |x|, chamado de módulo de x, da seguinte forma:
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0.
Observe que o módulo de qualquer número real é sempre não-negativo, ou seja, |x| ≥ 0, seja qual for
x ∈ R. Além disso, para que o módulo de um número real seja zero, este número deverá ser zero.
Questão 3 Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
(a)
√
4 = ±2.
(b)
√
x2 = x, para todo x ∈ R.
(c) a ≤ b⇒ a2 ≤ b2, para quaisquer números reais a e b.
(d) x2 + 1 < 2⇔ (x2 + 1)2 < 4, para todo x ∈ R.
(e) (x2 − 5)2 < 4(x2 + 1)2 ⇔ x2 − 5 < 2(x2 + 1), para todo x ∈ R.
(f) 1x > 3⇔ x < 13 e x 6= 0.
1
(g) |x| ≤ a⇔ −a ≤ x ≤ a, em que a ≥ 0.
(h) |x| ≥ a⇔ x ≥ a ou x ≤ −a, em que a ≥ 0.
(i) |a + b| = |a|+ |b|, para todos a, b ∈ R.
Questão 4 Resolva as equações:
(a) |x| = 2
(b) |x + 1| = 3
(c) |2x− 1| = 1
(d) |x− 2| = −1
(e) |2x + 3| = 0
(f) |x| = 2x + 1
Questão 5 Resolva as inequações:
(a) |x| ≥ 1
(b) |2x− 1| < 3
(c) |3x− 1| < −2
(d) |3x− 1| < 13
(e) |2x2 − 1| < 1
(f) |x| > 3
(g) |x + 3| ≥ 1
(h) |2x− 1| < x
(i) |x + 1| < |2x− 1|
(j) |x− 1| − |x + 2| > x
(k) |x− 2|+ |x− 1| > 1
Questão 6 Elimine o módulo:
(a) |x + 1|+ |x|
(b) |x− 2| − |x + 4|
(c) |2x− 1|+ |x− 2|
(d) |x|+ |x− 1|+ |x− 2|
2 Funções
Questão 1 Determine o domínio de cada uma das funções abaixo. Lembre-se que o domínio de uma
função, quando não explicitado, é o maior subconjunto de R para o qual a regra possa
ser aplicada.
(a) f(x) =
√
x− 4
(b) f(x) =
√−x2 − x + 6
(c) f(x) =
x2 + 2
x2 + 1
(d) f(x) =
x− 2
x2 + x− 6
(e) f(x) =
1√−x2 − x + 6
(f) f(x) =
x5 − 1
x2 − 1
(g) f(x) =
x2 − 1
(x2 − 1)(x2 − 4)
Questão 2 A temperatura, em um certo ponto de uma cidade, decorridas t horas após o meio-dia é
dada por T (t) = −43 t
2 + 173 t + 25 graus Celsius.
2
(a) Qual é a temperatura às 15:00?
(b) Qual a variação da temperatura ∆T entre 15:00 e 17:00/
(∆T = temperatura às 17:00 - temperatura às 15:00)
Questão 3 Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio:
(a) Um retângulo tem perímetro de 20 metros. Expresse a área do retângulo como uma
função do comprimento de um de seus lados.
(b) Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um
lado.
(c) Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com
dimensões 12cm por 20cm. Para isso, deve-se cortar quadrados de lados x de cada
canto e depois dobrar. Expresse o volume da caixa como uma função de x.
(d) Uma companhia de táxi cobra 2 reais pelo primeiro quilômetro (ou parte de quilôme-
tro) e 20 centavos a cada décimo de quilômetro adicional (ou parte disso). Expresse
o custo C (em reais) de uma corrida em função da distância x percorrida (em quilô-
metros) para 0 < x < 2.
Questão 4 Desenhe os conjuntos abaixo e verifique se eles podem ser gráficos de uma função, justi-
ficando sua resposta.
(a) {(x, y) ∈ R2; y2 = x}
(b) {(x, y) ∈ R2;x = −1}
(c) {(x, y) ∈ R2; y = −1}
(d) {(x, y) ∈ R2;−2x + 4y = 0}
(e) {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 = 5}
(f) {(x, y) ∈ R2;−2x + 1 = 0}
Questão 5 Esboce os gráficos das seguintes funções f : R→ R e descreva suas imagens:
(a) f(x) = 4x
(b) f(x) = 4x + 2 (compare com (a))
(c) f(x) = −4x + 2 (compare com (b))
(d) f(x) = x2 − 6x + 9
(e) f(x) = x3
(f) f(x) =
√
x
(g) f(x) =
{
x + 2, se x < 0
1− x, se x ≥ 0
(h) f(x) =
{ √
x− 2, se x > 2
2− 3x, se x ≤ 2
(i) f(x) = x4 − 5x2 + 4
(j) f(x) = |x|
(k) f(x) = |3x + 5|
(l) f(x) = x− |x|
Observação. As funções dos itens (a), (b) e (c) são exemplos de funções afins. Por
definição, dado A ⊆ R, uma função f : A → R é afim se for da forma f(x) = ax + b,
3
em que a, b ∈ R. Como vocês puderam notar ao resolver a questão 5, o gráfico de uma
função afim é sempre uma reta.
Já a função do item (d) é um exemplo de função quadrática. Uma função é dita quadrática
se for do tipo f(x) = ax2+bx+c, em que a, b e c são números reais e a 6= 0. Seu gráfico é
uma parábola e pode ser obtido ao conhecermos as seguintes informações: concavidade da
parábola (se a > 0, a parábola tem concavidade para cima; caso contrário, a concavidade
é para baixo), cálculo dos pontos que estão sobre o eixo x (ou seja, das raízes da equação
de segundo grau ax2 + bx+ c, obtidas através da Fórmula de Bháskara), cálculo do ponto
(x0, y0) tal que y0 é o menor ou maior (decisão que depende da concavidade da parábola)
valor da imagem da função f .
Questão 6 . Seja g(x) = |x− 1|+ |x− 2|.
(a) Dê o domínio de g.
(b) Esboce o gráfico de g e dê sua imagem.
(c) Para que valores de x obtemos g(x) = 1?
(d) Encontre os intervalos para os quais g(x) < 1.
(e) Encontre os intervalos para os quais g(x) > 1.
Questão 7 . Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta.
(a) f(x) = 4 + 3x− x2, f(3 + h)− f(3)
h
.
(b) f(x) = x3,
f(a + h)− f(a)
h
, em que a é um número real fixado.
(c) f(x) =
1
x
,
f(x)− f(a)
x− a , em que a é um número real fixado.
(d) f(x) =
x + 3
x + 1
,
f(x)− f(1)
x− 1 .
4