AP2 Calculo2 gabarito

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2a Avaliação Presencial Data: 23/07/2016
Disciplina:Cálculo II Professora:Beatriz Ribeiro
Sugestão de Solução
Instruções:
Esta prova possui 5 questões distribuídas em 6 páginas e tem um valor máximo de 40 pontos.
Há um formulário no fim da prova, use se necessário.
Prova individual, sem consulta e sem uso de calculadora.
Questões sem desenvolvimento não serão corrigidas.
Resposta final a caneta, a resolução pode ser deixada a lápis.
Tenha calma e faça um boa prova!
Questão 1 (6 Pontos): Esboce a região definida pelo conjunto D abaixo e ache a área de de tal região.
D = {(x, y) ∈ R2 | 2x ≤ y ≤ 5x− x2}
Resolução
A interseção entre as curvas y = 2x e y = 5x− x2 é dada por
2x = 5x− x2 ⇔ x2 − 3x = 0⇔ x(x− 3) = 0⇔ x = 0 ou x = 3
A região é, então:
Assim, a área da região é
3∫
0
(5x− x2 − 2x)dx =
3∫
0
(3x− x2)dx =
(
3x2
2
− x
3
3
) ∣∣∣∣3
0
=
27
2
− 27
3
=
9
2
Questão 2 (6 Pontos): Use o Teorema do Valor Médio para Integrais para mostrar que
2∫
0
1
x2 + 3
dx ≤ 2
3
Resolução
A função f(x) =
1
x2 + 3
é decrescente, f(0) =
1
3
e f(2) =
1
7
. Assim, o maior valor de f(x) em [0, 2] é
1
3
.
Pelo Teorema do Valor Médio, existe c ∈ (0, 2) tal que
2∫
0
1
x2 + 3
dx = f(c)(2− 0) = 2f(c)
Mas, pelo visto acima, f(c) ≤ 1
3
. Assim:
2∫
0
1
x2 + 3
dx = 2f(c) ≤ 21
3
=
2
3
como queríamos provar.
Questão 3 (10 Pontos): . Determine o volume do sólido de revolução dado pela rotação de cada uma das regiões abaixo em
torno do eixo indicado.
a) A região determinada por y =
√
25− x2 e y = x+ 5 em torno de Ox.
b) A região determinada por y = x2, x = 0 e y = 4 em torno de Oy.
Resolução
a) A interseção entre as curvas é dada por:
√
25− x2 = x+ 5, isto é,
25− x2 = (x+ 5)2 ⇔ 25− x2 = x2 + 10x+ 25⇔ 2x2 + 10x = 0⇔ 2x(x+ 5) = 0⇔ x = 0 ou x = −5
Assim, a região é:
Donde o volume do sólido de revolução em torno de Ox é:
V = pi
0∫
−5
(
√
25− x2)2 − (x+ 5)2dx = pi
0∫
−5
(25− x2 − x2 − 10x− 25)dx =
0∫
−5
(−x2 − 10x)dx =
(
−x
3
3
− 5x2
) ∣∣∣∣0
−5
=
125
3
b) A interseção entre y = x2 e y = 4 é x = ±2. Porém, como a região ainda é delimitada por x = 0, isto é, o eixo y, poderia ter
sido escolhida uma das regiões abaixo (o volume seria o mesmo):
(obs: o ideal teria sido a prova indicar em qual quadrante trabalhar, assim, muitas coisas diferentes foram consideradas na
correção.)
Escolhendo a região em azul e considerando x = f(y) =
√
y, teríamos:
V = pi
4∫
0
(f(y))2dy =
4∫
0
ydy =
(
pi
y2
2
) ∣∣∣∣4
0
= pi
16
2
= 8pi
Questão 4 (10 Pontos): Determine se cada uma das integrais abaixo converge ou diverge.
a)
2∫
1
1
1− xdx b)
+∞∫
0
e−xdx
Resolução
a) Primeiro, calculamos a integral indefinida usando a substituição u = 1− x, donde du = −dx:∫
1
1− xdx =
∫ −1
u
du = − log |u|+ C = − log |1− x|+ C
Agora, notamos que a função
1
1− x não está definida em x = 1, donde a integral pedida é imprópria. Então:
2∫
1
1
1− xdx = limt→1+
∫ 2
t
1
1− xdx = limt→1+(− log |1− x|)
∣∣∣∣2
t
= lim
t→1+
(− log | − 1|+ log |1− t|) = lim
t→1+
log |1− t| = −∞
Logo, a integral diverge.
b) Novamente, começamos pela integral definida. Fazendo u = −x, temos du = −dx e, então:∫
e−xdx =
∫
−eudu = −eu + C = −e−x + C
Temos então:
+∞∫
0
e−xdx = lim
t→+∞
∫ t
0
e−xdx = lim
t→+∞
(−e−x)
∣∣∣∣t
0
= lim
t→+∞
(−e−t + e0) = lim
t→+∞
−e−t + 1 = 0 + 1 = 1
Assim, a integral é convergente e tem valor 1.
Questão 5 (10 Pontos): Determine os domínios e derive as seguintes funções:
a) f(x) = log(−x+ x2) (Atenção: log a representa o logaritmo natural de a)
b) g(x) =
cosx
1− e−x
Resolução
a) Temos uma função logarítmica, assim −x+ x2 deve ser positivo:
−x+ x2 > 0⇔ x(−1 + x) > 0⇔ x < 0 ou x > 1
Logo, o domínio de f é
Dom(f) = (−∞, 0) ∪ (1,+∞)
Agora, para a derivada, vemos que temos uma composição de log y com y = −x+ x2, assim:
f ′(x) =
1
−x+ x2 (−x+ x
2)′ =
−1 + 2x
−x+ x2
b) Como g(x) é um quociente, devemos ter o denominador não nulo. Assim
1− e−x 6= 0⇔ e−x 6= 1⇔ x 6= 0
Como cosx e e−x tem domínio R, segue então que:
Dom(g) = R \ {0}
Agora, para a derivada, como temos um quociente, devemos usar a regra de derivação apropriada:
g′(x) =
(cosx)′(1− e−x)− (cosx)(1− e−x)′
(1− e−x)2 =
−(senx)(1− e−x) + e−x(cosx)
(1− e−x)2 =
−senx+ e−x(cosx+ senx)
(1− e−x)2