Cálculo2 P2 - Gabarito

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Turma: 2012.1N
Segundo semestre de 2012
Cálculo Diferencial e Integral II
Gabarito da Prova 2
Prof. Paulo Takashi Taneda
Questão 1. (2 pontos) As funções f : [a, b] −→ R e g : [a, b] −→ R são contı́nuas e os
respectivos gráficos estão representados na figura abaixo.
Sabe-se que A1 é a área da região limitada pelo gráfico de f e pelo eixo x no intervalo [a, c],
e A2 é a área da região limitada pelo gráfico de f e pelo eixo x no intervalo [c, b]. Da mesma
forma, B1 é a área da região limitada pelo gráfico de g e pelo eixo x no intervalo [a, c], e B2 é
a área da região limitada pelo gráfico de g e pelo eixo x no intervalo [c, b]. Se A1 = 2, A2 = 8,
B1 = 4 e B2 = 3, calcule o valor da integral
∫ b
a
[ f (x) + g(x)] dx.
Resolução. A integral
∫ b
a
[ f (x) + g(x)] dx é igual a −5.
Questão 2. (a) (0,5 ponto) Calcule a integral
∫
1
x2 + 1
dx.
(b) (1 ponto) Calcule a integral
∫
1
x2 + x + 2
dx.
(c) (1,5 ponto) Calcule a integral
∫
x
x2 + x + 2
dx.
(d) (1 ponto) Utilizando os itens (a), (b) e (c), calcule a integral
∫
x3 + 2x2 + 2x + 3
(x2 + x + 2)(x2 + 1)
dx.
Resolução.
1
(a) arctg x + c, onde c ∈ R.
(b)
2
√
7
7
arctg
(
2x + 1√
7
)
, onde c ∈ R.
(c)
1
2
ln(x2 + x + 2) −
√
7
7
arctg
(
2x + 1√
7
)
, onde c ∈ R.
(d) Como
x3 + 2x2 + 2x + 3
(x2 + x + 2)(x2 + 1)
=
x + 1
x2 + x + 2
+
1
x2 + 1
, segue que:∫
x3 + 2x2 + 2x + 3
(x2 + x + 2)(x2 + 1)
dx =
1
2
ln(x2 + x + 2) +
√
7
7
arctg
(
2x + 1√
7
)
+ arctg x + c ,
onde c ∈ R.
Questão 3. (2 pontos) Calcule a área da região do planoR2 que se encontra entre o gráfico
da função f (x) =
1
1 + x2
e o eixo x (note que f (x) > 0 para todo x ∈ R).
Resolução. A área é igual a
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
= π.
Questão 4. a) (1 ponto) Dizemos que uma função f : R −→ R é ı́mpar se f (−x) = − f (x)
para todo x ∈ R. Assim, se f : R −→ R é uma função ı́mpar contı́nua emR, e α ∈ R é tal que
α > 0, qual é o valor de
∫ +α
−α
f (x) dx? Justifique.(
Sugestão:
∫ +α
−α
f (x) dx =
∫ 0
−α
f (x) dx+
∫ +α
0
f (x) dx e
∫ b
a
f (x) dx = −
∫ a
b
f (x) dx .
)
b) (1 ponto) Calcule
∫ +π/2
−π/2
(x2 + 1) · sen x
(x6 + x4 + x2 + 2)
dx.
Resolução.
a) Temos que:∫ +α
−α
f (x) dx =
∫ 0
−α
f (x) dx+
∫ +α
0
f (x) dx = −
∫ −α
0
f (x) dx+
∫ +α
0
f (x) dx .
Fazendo a substituição u = −x (isto é, x = −u) na primeira integral da última igualdade
acima, obtemos −du = dx, com u = 0 para x = 0, e u = α para x = −α. Portanto:∫ +α
−α
f (x) dx = −
∫ α
0
f (−u) (−du) +
∫ +α
0
f (x) dx =
∫ α
0
f (−u) du+
∫ +α
0
f (x) dx .
Agora, como f é ı́mpar, segue que f (−u) = − f (u), o que implica que:∫ +α
−α
f (x) dx = −
∫ α
0
f (u) du+
∫ +α
0
f (x) dx .
Finalmente, observando que
∫ α
0
f (u) du =
∫ +α
0
f (x) dx (o nome da variável em uma
integral não interfere no seu valor, desde que a função e os limites de integração sejam
2
os mesmos), concluı́mos que ∫ +α
−α
f (x) dx = 0 .
b) Sendo f (x) =
(x2 + 1) · sen x
x6 + x4 + x2 + 2
, note que f (−x) = − f (x), isto é,
[(−x)2 + 1] · sen(−x)
(−x)6 + (−x)4 + (−x)2 + 2 = −
(x2 + 1) · sen x
x6 + x4 + x2 + 2
,
para todo x ∈ R, pois sen(−x) = − sen x. Logo, f é uma função ı́mpar, e (pelo que vimos
no item (a)), cocluı́mos que∫ +π/2
−π/2
(x2 + 1) · sen x
(x6 + x4 + x2 + 2)
dx =
∫ π/2
−π/2
f (x) dx = 0 .
Questão 4. (2 pontos) A figura abaixo representa o gráfico de uma função f .
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função g(x) =
∫ x
0
f (t) dt.
Resolução. Pelo teorema fundamental do Cálculo, sabemos que g′(x) = f (x). Logo, temos
g′(x) > 0 se 0 < x < 2 ou x > 9.5, e g′(x) < 0 se x < 0 ou 2 < x < 9.5. Portanto, g é crescente
em ]0; 2[ e ]9.5;+∞[, e é decrescente em ] −∞; 0[ e ]2; 9.5[
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