Slides Educação Executiva Matemática Financeira Weekend Insper 2017

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Matemática Financeira
Angelo Corsetti
angelocorsetti@uol.com.br
FINANÇAS PARA EXECUTIVOS
VALOR DO DINHEIRO 
NO TEMPO
O Estado da Arte do FDC
De acordo com Weston e Brigham, 
(Fundamentos da Administração Financeira, pg
201)... “de todas as técnicas empregadas em 
finanças, nenhuma é mais importante do que o 
conceito do Valor do Dinheiro no Tempo (VDT) 
ou a análise do Fluxo de Caixa Descontado 
(FCD)”
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
ELEMENTOS
Tempo ( n )
Principal ( P ) Valor Presente = ( VP )
Montante ( M ) Valor Futuro = ( VF )
Taxa = ( i ) Juro ( J )
TAXA DE JUROS
1% = 1 / 100 = 0,01
JUROS
RISCO:
Probabilidade de o tomador do 
empréstimo não devolver o dinheiro 
DESPESAS: Operacionais, contratuais e tributárias 
Perda do poder aquisitivo da moeda INFLAÇÃO:
Fixado em função das demais 
oportunidades de investimento
( “custo de oportunidade” ) 
GANHO:
0 1 2 3 4
Entradas de 
caixa (+)
Saídas de 
Caixa ( - )
(Tempo)
DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
Demonstram 
como os juros 
são formados e 
incorporados ao 
capital no 
decorrer do 
tempo
Neste regime, a taxa 
de juros incide 
somente sobre o 
capital inicial.
Os Juros Simples são 
também conhecidos 
como: Juros Lineares.
CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES
Neste regime, a taxa de juros 
incide ao final de cada período de 
capitalização, sobre o capital 
inicial acrescido dos juros 
acumulados até o período 
anterior. 
Os Juros Compostos são também 
conhecidos como: 
juros exponenciais (Juros sobre 
Juros).
CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA
REGRAS 
BÁSICAS
vire
NAS FÓRMULAS DE 
MATEMÁTICA FINANCEIRA:
Tanto o prazo da operação como a taxa de juros
devem necessariamente estar expressas na 
mesma unidade de tempo.
As taxas de juros deverão sempre estar expressas 
na forma unitária.
FÓRMULAS DE JUROS 
COMPOSTOS
M = P (1 + i)
n
A partir desta expressão genérica, por 
transformação algébrica calculamos as 
outras fórmulas:
P =
M
(1 + i) n
i =
M
P
n
- 1 i =
M
P
- 1OU
1
n
n =
log M
P
log (1 + i)
Diferença Entre Juros Simples e 
Juros Compostos
Período
(em dias)
Montante
Juros Simples Juros Compostos
P = 1.000
i = 10% a.m.
08 1.026,67 1.025,74
12 1.040,00 1.038,86
15 1.050,00 1.048,80
30 1.100,00 1.100,00
60 1.200,00 1.210,00
90 1.300,00 1.331,00
Para um período menor que o primeiro
período de capitalização: JS > JC
Para um período igual ao primeiro período
de capitalização JS = JC
Para um período maior que o primeiro
período de capitalização JS < JC
CONCLUSÃO
Representação 
Gráfica dos Juros 
Simples e Juros 
Compostos
Montante
M 1
P
M = Juros 
Compostos
M = Juros Simples
Períodos
1º Período
de capitalização
TAXAS NOMINAIS:
Uma taxa de juros é nominal, quando o período de 
capitalização não coincide com o período da taxa.
24% a.a. , capitalizada mensalmente
TAXAS EFETIVAS:
Uma taxa de juros é efetiva, quando o período 
de capitalização coincide com o período da 
taxa.
24% a.a. , capitalizada anualmente
TAXAS EQUIVALENTES
Duas ou mais taxas são equivalentes se, quando aplicadas 
sobre o mesmo principal durante o mesmo período, produzem 
o mesmo montante no regime de juros compostos.
Fórmula
Genérica
Id = ( 1 + ic) - 1
nd
nc
id = Taxa a determinar
ic = Taxa conhecida
nd = período em dias da taxa a determinar
nc = período em dias da taxa conhecida
Sendo:
INFLAÇÃO 
De maneira genérica podemos caracterizar a inflação 
como sendo um processo contínuo e generalizado de 
aumento de preços na economia. 
TAXA REAL x TAXA NOMINAL (APARENTE)
ÍNDICES DE PREÇOS 
Os índices de preços são utilizados para calcular a variação de 
preços (inflação) de um período a outro. 
I=
𝑷𝒏
𝑷𝒏 −𝒕
− 𝟏
Sendo: I = Taxa de Inflação
P = Índice de Preços
n, n – t = respectivamente, data de determinação da taxa de
inflação e o período anterior considerado.
ÍNDICES DE PREÇOS 
O QUE SÃO?
São números que agregam e representam os preços de 
determinada cesta de produtos e serviços. Sua variação mede, 
portanto, a variação média dos preços dessa cesta. Os índices 
mais difundidos são os índices de preços ao consumidor, que 
medem a variação do custo de vida de segmentos da população 
(taxa de inflação ou deflação). 
ÍNDICES DE PREÇOS 
Metodologia de cálculo
Determinará como combinar em uma única medida 
estatística a variação do preço do conjunto de bens e 
serviços pesquisados. São comuns as metodologias de 
Laspeyres e a de Paasche. 
EXERCÍCIOS 
Calcular a inflação pelo IGP-Di
MÊS MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
IGP-Di 650 703 800 904 1010 1153 1354 1576
a) A inflação do 2º semestre: 
b) A inflação do 4º trimestre: 
c) A inflação de outubro: 
TAXA APARENTE (NOMINAL) 
E TAXA REAL
A Taxa Nominal de juros é aquela adotada normalmente 
nas operações correntes.
Taxa Real ( r ) =
1 + taxa nominal ( i ) 
1 + taxa de inflação ( I )
- 1
A FÓRMULA GENÉRICA PARA APURAÇÃO DA TAXA REAL É:
A Taxa Real de juros é obtida descontando-se da taxa 
nominal os efeitos inflacionários.
EXERCÍCIO – FLUXOS DE CAIXA MOEDA CORRENTE 
VERSUS MOEDA CONSTANTE 
ANO 01 02 03 04 ∆ %
Lucro Nominal 
(Fluxo de caixa moeda corrente)
Lucro Real
(Fluxo de caixa moeda constante)
ano 01
Lucro real
(Fluxo de caixa moeda constante)
ano 04 
IGP – DI 650 728 859 1031
5.000 5.750 6.610 7.600 
Observações: 
1) O Fluxo de Caixa em moeda corrente (inclui a inflação). São nominados também de preços 
correntes. Cada um desses valores expressam o poder aquisitivo da moeda em cada uma 
de suas respectivas datas. 2) O FC em moeda constante (exclui a inflação) e expressa o 
poder de compra em uma única data. São também nominados de preços constantes. 
Quando ambos os fluxos estiverem na mesma data, os fluxos nominais e reais são os 
mesmos. 
Resp: 
19X6 19X7 19X8
Inflação 220% 400%
Um fluxo de caixa representa uma série de 
pagamentos ou de recebimentos que se estima 
ocorrer em um determinado intervalo de tempo
FLUXOS DE CAIXA
CLASSIFICAÇÃO 
DOS FLUXOS DE 
CAIXA
Período 
de 
Ocorrência
Postecipados
Periodicidade
Periódicos Não-Periódicos
Antecipados
Diferidos
Duração 
Valores
Constantes Variáveis
Limitados (Finitos)
Ilimitados (Infinitos)
As perpetuidades representam um caso especial 
de anuidades, uma vez que os seus fluxos de caixa
se estendem indefinidamente. 
PERPETUIDADES
CÁLCULO DE PERPETUIDADES i
FC
PV 1
VP de uma perpetuidade com taxa de 
crescimento zero
Obs:. O Fluxo de Caixa é o Fluxo de Caixa que vai ocorrer 
exatamente daqui a um período (as séries são postecipadas) 
CÁLCULO DE PERPETUIDADES gi
FC
PV

 1
VP de uma perpetuidade com taxa de 
crescimento constante
Obs:. O Fluxo de Caixa é o Fluxo de Caixa que vai ocorrer 
exatamente daqui a um período (as séries são postecipadas) 
Perpetuidade Crescente
(um caso específico)
Suponhamos que queiramos criar uma perpetuidade de crescente a 2%a.a. e então
invistamos $100 em um investimento que paga 5%a.a. de juros.
Ao final de um ano, teremos $105 no banco. Se sacarmos apenas $3, teremos $102 para
reinvestir (2% a mais do que a quantiaque tínhamos inicialmente).
Esta quantia crescerá, então, para $102 x 1,05 = $107,10 no ano seguinte, e poderemos
sacar $3 x 1,02 = $3,06, o que nos deixaria com um principal de $104,04.
Observe que $102 x 1,02 = $104,04.
Isto é, tanto a quantia que sacamos quanto o principal que reinvestimos crescem a
2%a.a., a cada ano.
0 1 2 3
∞
$100 $105 $107,10 $109,242
$ 3 saca
$102
$ 3,06 saca $ 3,1212 saca
$104,04 $106,12
Observações: Convenção das Perpetuidades crescentes: 
a) O primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período
b) O primeiro pagamento não cresce
Diagrama de Fluxo de Caixa
Dois ou mais capitais são equivalentes a
uma dada taxa de juros, numa determinada
data focal, se os seus valores forem iguais
nessa mesma data focal. 
EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA 
DE CAPITAIS
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
DE EMPRÉSTIMOS E 
FINANCIAMENTOS 
Tratam, essencialmente, da forma pela 
qual o principal e os encargos
financeiros são restituídos ao credor do 
capital.
SISTEMA FRANCÊS 
DE AMORTIZAÇÃO (PRICE)
Este sistema consiste em 
um plano de amortização 
de uma dívida em 
prestações periódicas,
iguais e sucessivas.
Ano Saldo Amortização Juros Prestação
Devedor
0 100.000,00
1 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75
2 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75
3 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75
4 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,75
5 23.981,58 2.398,16 26.379,75
Total 100.000,00 31.898,74 131.898,74
Amortização
Juro
Prestação
Períodos
SISTEMA FRANCÊS
Sistema de Amortização 
Constante
( SAC)
Este sistema consiste em um plano de 
amortização de uma dívida em 
prestações periódicas, sucessivas e
decrescentes em progressão 
aritmética
Ano Saldo Amortização Juros Prestação
Devedor
0 100.000
1 80.000 20.000 10.000 30.000
2 60.000 20.000 8.000 28.000
3 40.000 20.000 6.000 26.000
4 20.000 20.000 4.000 24.000
5 20.000 2.000 22.000
Total 100.000 30.000 130.000
Amortização
Juro
Prestação
Períodos
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
CONSTANTE
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