Aula 01 (Cálculo II Semestre 2015.1)

Prévia do material em texto

Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
1 
AULA 01 – Integral Indefinida 
Tradicionalmente, a parte do cálculo destinada a encontrar retas tangentes e taxas 
de variações é chamada de cálculo diferencial, enquanto a parte destinada ao cálculo de áreas 
é chamada de cálculo integral. 
No cálculo diferencial a operação mais comum era denominada de derivação, e 
para obter a derivada de uma função 
 f x
, bastava se aplicar uma regra de derivação 
oportuna nesta função, e então se determinaria uma nova função 
 f x
, tal que 
   
d
f x f x
dx
   
 (1) 
A operação definida em (1) gera uma única função 
f 
, chamada de função 
derivada, ou simplesmente derivada, da função 
f
. Por exemplo, a função 
  2f x x 2x 
, 
apresenta como sua derivada a função 
 f x 2x 2  
. 
No cálculo integral, o intuito inicial é: dada uma função 
 f x
, descobrir uma ou 
mais funções 
 F x
, tais que 
   F x f x 
, isto é, a derivada da função 
F
 é igual à função 
f
. 
 
Definição 1. Uma função 
F
 é chamada de uma primitiva (ou antiderivada) de uma função 
f
, 
em um dado intervalo 
I
, se 
   F x f x 
 para todo 
x I
. 
 
Então, de acordo com a definição 1, pode-se dizer que a função 
  2F x x 2x 
, é 
uma primitiva da função 
 f x 2x 2 
 no intervalo 
 , 
, uma vez que 
   F x 2x 2 f x   
. Porém, as funções 
  2G x x 2x 1  
 e 
  2H x x 2x 1  
, pois, 
   G x H x 2x 2   
. 
Na realidade, se for adicionada qualquer constante real 
C
 a função 2x 2x , 
então, a função 
  2F x x 2x C  
, também é uma primitiva de 
 f x 2x 2 
, pois, 
 
Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
2 
   2
d
F x x 2x C 2x 2 f x
dx
       
 
 
Em geral, conhecida 
F
, uma das funções primitivas de uma função 
f
, então as 
outras primitivas podem ser obtidas por meio da adição de constantes reais a 
F
, isto é, as 
primitivas são escritas da forma 
F C
. 
 
Teorema 1. Se 
 F x
 for qualquer primitiva de 
 f x
 em um intervalo 
I
, então para qualquer 
constante 
C
 a função 
 F x C
 é também uma primitiva de 
 f x
 em 
I
. 
 
Definição 2. O processo (ou operação) para encontrar as primitivas (antiderivadas), ou ainda a 
família de primitivas, de uma dada função é chamado de primitização ou integração. Assim se 
   
d
F x f x
dx
   
 (2a) 
então integrando a função 
 f x
, obtém-se as primitivas (antiderivadas), da forma 
 F x C
. 
Denota-se escrevendo 
   f x dx F x C 
 (2b) 
 
A função 
 f x
 é chamada de integrando e a constante 
C
 é chamada de constante 
de integração e a equação (2b) é lida como “a integral indefinida de 
 f x
 em relação à 
x
 é 
igual a 
 F x C
”. 
 
Exemplo 1. Sabendo que 
3 2d x 3x
dx
  
 
, pode-se escrever uma fórmula de integração 
equivalente, isto é, 
2 31x dx x C
3
 
 
 
 
Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
3 
Exemplo 2. O mesmo pode ser feito para a função 
 f x arctgx
. É sabido do cálculo 
diferencial que 
 
2
d 1
arctgx
dx 1 x


, então, é possível escrever, 
2
dx
arctgx C
1 x
 

 
 
Exemplo 3. Por meio da sua experiência, ache a integral 
cos x dx
. 
 
Solução: É de conhecimento, por meio do cálculo diferencial, que a função cuja derivada é o 
cosseno é a função seno. Ou seja, 
 
d
senx cos x
dx

 
então, pode-se concluir que: 
cos x dx senx C 
 
 
Vale salientar que se for aplicada a operação de diferenciação em uma primitiva 
de uma função, então, obtém-se como resultado a própria função. Assim, é possível escrever, 
   
d
f x dx f x
dx
  
  
 (3) 
Inicialmente são desenvolvidas algumas fórmulas de integração diretamente de 
fórmulas de diferenciação. Dessa forma, é possível construir o Quadro 1, onde 
a
 é um 
número real, 
b
 é um número real positivo e 
C
 é a constante de integração. Por meio dessas 
fórmulas é possível resolver integrais mais complicadas através dos métodos que serão 
apresentados posteriormente. 
 
 
 
 
Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
4 
Quadro 1 – Fórmulas de Integração para algumas classes de funções 
Constantes, Potência e Exponenciais 
du u C 
 
a du a du au C   
 
 
n 1
n uu du C n 1
n 1

  

 du
ln u C
u
 
 
u ue du e C 
 u
u bb du C
ln b
 
 
Trigonométricas 
senu du cos u C 
 
cos u du senu C 
 
2sec u du tgu C 
 
2cossec u du cot gu C 
 
secu tgudu secu C 
 
cossecu cotgu du cossecu C 
 
 
Teorema 2. Propriedades da integral indefinida. 
(a) Uma constante pode se mover através do sinal de integração, isto é, 
   f x dx f x dx  
 (4) 
(b) Uma primitiva de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das primitivas, isto é, 
       f x g x dx f x dx g x dx      
 (5) 
 
Corolário 2.1. Do teorema 2, pode-se concluir que: 
       1 1 n n 1 1 n nf x f x dx f x dx f x dx          
 (6) 
 
Exemplo 4. Calcule 2 3
2
x 2x 1
dx
x
 

. 
 
Solução. Observe que é possível transformar esse quociente em uma soma de integrais de 
potências de 
x
. Ou seja, 
 
Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
5 
2 3 2 3
2
2 2 2 2
x 2x 1 x 2x 1
1 2x x
x x x x
       
 
Assim, 
2 3
2 2
2
x 2x 1 1
dx dx 2x dx x dx x x C
xx
           
 
 
Algumas integrais trigonométricas consideradas, aparentemente, difíceis podem 
ser simplificadas utilizando, apenas, as identidades trigonométricas convenientes. Veja o 
exemplo seguinte. 
 
Exemplo 5. Calcule 
1 1
dx
1 senx 1 senx
 
 
  
. 
 
Solução. O integrando pode ser simplificado da seguinte maneira: 
  
2
2 2
1 1 1 senx 1 senx 2 2
2sec x
1 senx 1 senx 1 senx 1 senx 1 sen x cos x
  
    
    
 
Assim, 
21 1 dx 2 sec x dx 2tgx C
1 senx 1 senx
 
    
   