Apostila de calculo numérico2

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Coordenação do Curso das Engenharias 
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO NUMÉRICO
1 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Coordenação do Curso das Engenharias 
Lista de Tabelas
Tabela 1: Mudança da Base Decimal para a Base Binária........................................................................................8
Tabela 2- Representação de Sistema de Ponto Flutuante........................................................................................10
Tabela 3-Base Binaria..............................................................................................................................................11
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Coordenação do Curso das Engenharias 
Sumário
CAPITULO 1............................................................................................................................................................4
1 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS..................................................................................................................4
1.1 ERRO ABSOLUTO.......................................................................................................................................4
1.2 ERRO RELATIVO........................................................................................................................................4
1.3.ERROS NA FASE DE MODELAGEM........................................................................................................5
1.4 ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO..........................................................................................................6
1.5. ERROS DE REPRESENTAÇÃO.................................................................................................................9
1.5.4 ERRO DE ARREDONDAMENTO.........................................................................................................13
1.6 ERRO DE TRUNCAMENTO.....................................................................................................................15
1.8 CANCELAMENTO....................................................................................................................................17
1.10 PASSOS PARA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA..................................................................................18
REFERÊNCIAS......................................................................................................................................................24
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CAPITULO 1 
https://books.google.com.br/books?id=8pMyDAAAQBAJ&lpg=PR1&hl=ptBR&pg=PR1#v=onepage&q&f=false
1 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
Conforme ARENALES(2008,p.11) , BURDEN(2003, p. 19) , define-se o erro absoluto e erro
relativo:
1.1 ERRO ABSOLUTO 
• E=∣aex−aaprox∣ onde aex valor exato da grandeza e aaprox valor aproximado.
1.2 ERRO RELATIVO
E=
∣aex−aaprox∣
∣aex∣
numero : 
16
9
=1,77777.. .
arredondamento de ordem 1: 1,8=
18
10
erro absoluto:
1
45=0,0222222
erro relativo:0,0125=1,25%
fonte:http://www.igm.mat.br/cursos/mat_discreta/reais/r18.jpg
fonte:http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/images/a/absoluteerror.gif
• O erros relativos são muito mais usados que os erros absolutos.
• Exemplo:
• Xv=10000 cm Xa=9999 cm ( comprimento de uma ponte)
• Xv=10 cm Xa=9 cm ( comprimento de um rebite)
• Erro absoluto: 1cm para ambos
• Erro relativo: ponte:0,01% rebite:10%
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• O erro relativo para o rebite é maior, logo é importante considerar se o erro é absoluto ou
relativo.
fonte:https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images q=tbn:ANd9GcRZAvA0Ee1A9ygkmhRW8ynpRNlTM3G4EUb7r_trMMrWTr60D578fg
Exemplo:Um erro de 1km na medida da distancia entre a terra e a lua é menos significativo que
um erro de 1cm na realização de uma cirurgia cerebral via um robô.
Fund. de Calculo Numérico para Engenheiros.Quadros( 2009, p.13)
1.3.ERROS NA FASE DE MODELAGEM
• São erros decorrentes a simplificações em que o fenômeno da natureza observado possa ser
representado por um modelo matemático. 
• e tenha condições de que tenha um tratamento com as ferramentas matemáticas disponíveis.
ARENALES (2008, p.2) 
• Ao representar um fenômeno do mundo real utilizando um modelo matemático, quase não
se consegue uma descrição correta deste fenômeno.
• È necessário as vezes algumas simplificações do mundo físico para que possa ter um
modelo matemático no qual possa estudar. BARROSO(1987, p.2)
• 1.3.1 Para o estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante tem-se a
seguinte equação: d=dovot at
2
2
. Supondo-se que um engenheiro queira determinar a
altura de um edificio e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal , um
cronometro e então ele sobe ao topo do edificio e mede o tempo que a bolinha gasta para
tocar o solo, ou seja 3 segundos.
• Solução:
• d=dovot at
2
2
= d=00∗31∗9,8∗3
2
2
 d=44,1 m.
• Este resultado é confiável ?
• Não, pois o modelo matematico não considerou resistencia do ar , a velocidade do vento etc.
BARROSO (1987,p.2)
• Outros fatores que podem influenciar: 
• precisão da leitura do cronômetro, se o tempo fosse 3,5 s ao invés de 3 s, a altura do edificio
seria de ______. A variação de ____% no valor do tempo, apresenta uma variação_____%
na altura indicada.
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1.4 ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO
• computador ( armazenamento de digitos significativos) ARENALES ( 2008, p.2)
1.4.1 Erros na mudança de base
• equipamentos computacionais representam valores numericos binários.
a) Mudança da base decimal para a base binaria ( numero da base decimal tem somente a parte
inteira)
• forma geral : N10=(1, rn-1, rn-2, rn-3, …, r3,r2,r1)2
• o procedimento consiste na divisão sucessiva por 2
• armazenando a cada passo o algarismo ®, ate o quociente da divisão seja igual a 1.
• (25)10= (11001)2= 2o+ 0+0+23+
24=25
fonte:http://www.activeinfo.com.br/curso_programacao/images/conversao_decimal_binario_01.png
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fonte:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Positionalnotationexample.jpg/
220px-Positionalnotationexample.jpg
b) Mudança da base binária para a base decimal
• (1101)2= 23+ 22+ 0+20= (13)10= 
• (111,01)2=22+ 2 +20+0+2-2+ 2-3= (7,25)10
fonte:http://teleeducacao.weebly.com/uploads/2/5/3/0/25306409/2521208.jpg?518
 c) Mudança da base decimal para a base binária ( numero na base decimal tem somente a parte
fracionária)
• multiplicamos o numero fracionário por 2.
• a parte inteira é o primeiro digito binário.
• Continua com parte fracionária é novamente multiplicada por 2
• o processo continua ate que a parte fracionária seja nula.
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Fonte:http://1.bp.blogspot.com/-h1h0KvDZUGI/TdZsAuNN0VI/AAAAAAAAAV4/aLGz5gB5xvE/s1600/decimal+para+bin
%25C3%25A1rio+principal.jpg
fonte:http://www.inf.ufrgs.br/~roesler/disciplinas/Info1040/01_basico/sistnum_arquivos/image002.
gif
Tabela 1: Mudança da Base Decimal para a Base Binária
numero Multiplicaçao por 2 Parte inteira Parte fracionária
0,1875 2* 0,1875=0,3750 0,0000 0,3750
0,3750 2*0,375=0,75 0,0000 0,7500
0,7500 2*0,75=1,5 1,0000 0,5000
0,5000 2*0,5 1,0000 0,0000
• (0,1875)10=(0,0011)2=0+0+2-3 + 2-4=(3/16)10
• (13,25)10= (13)10+ (0,25)10=(1101)2+ (0,01)2=(1101,01)2
• (0,2)10= (0,001100110011...)2 (dizima periódica de período (0,0011) , assim não tem
representação binaria exata. ARENALES ( 2008, p.4)
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1.5. ERROS DE REPRESENTAÇÃO
AULA: https://www.youtube.com/watch?v=HxIAMY2M3AE&list=PLaM7tnGholJN3BgfVRs0iwHggq-
9gbGKf&index=11
Fonte:https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSbti0iElVUNZvNUQQrpHJsx_jIy1nyGX-
i8uKKjUj3IMo0vaKA
• Ponto flutuante (do inglês floating point) ou vírgula flutuante é um formato de 
representação digital de números reais, que é usada nos computadores.(enciclopédia livre)
• ARENALES ( 2008, p.5-9) Sistema de ponto flutuante normalizado
• O numero real é representado no sistema de ponto flutuante :
• nr=m*bexp 
• m:mantissa e b≥2
• m=±0,d1d2d3...dn n∈ℕ
• ou pode ser representado: nr=±(0,d1d2 d3...dn)b
exp
• onde o primeiro digito satisfazendo a condição:
• 1≤ d1≤ (b-1) e os demais digitos satisfazendo 0≤ di ≤ (b-1) para i=2,3,...,n
• a uniao de todos os numeros em ponto flutuante , juntamento com a representação do
zero 
• SPF( b, n, expmin , expmax) 
• n: numeros significativos b= base 
• expmin ≤ 0 e expmax ≥ 1 ( inteiros) ou expmin⩽e⩽expmax
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Tabela 2- Representação de Sistema de Ponto Flutuante
zero (0,0000....0)bexp_min
Menor positivo (0,1000...0)bexp_min
Maior positivo (0,[b-1][b-1]...[b-1] )*bexp_max
Numero maximo de mantissas + Mantissas +=(b-1)bn-1
 Numero maximo de expoentes possiveis Exppossiveis= expmax- expmin +1
Numero de elementos positivos NR+=(Mantissas+ ) *(Exppossiveis )
Numero total de elementos incluindo o zero 
e positivos e negativos 
Nrt=2*Nr+ +1
Fonte:https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images q=tbn:ANd9GcQOo6udG_A6M1unvIVC7X9q02Ywx4OKy2W4SYnN4nU1xsZ28Mf0ig
1.5.1 LEON(2011, p.362) Encontre a representação em ponto decimal flutuante F(10,3,-5,5) , de
cada um dos seguintes numeros:
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a) 2312 =0,231*10^ 4 
b) 0,01277=0,128*10^-1 
c)32,56=0,326*10^2 
d) 82431=0,824*10^5
1.5.2 CLAUDIO (1989,p. 28) Considere o sistema de ponto flutuante SPF( b, n, expmin , expmax) =
SPF(2,3,-1,2). Como a base é 2 os digitos possíveis são 0 e 1 , então as mantissas são : 0,100 ,
0,101 , 0,110 e 0,111 e os expoentes possíveis são -1, 0,1 ,2.
Tem -se a seguinte tabela 3:
Tabela 3-Base Binaria 
mantissas 0,100 0,101 0,110 0,111
bexp
-1 2-1 1/4 5/16 3/8 0,4375
0 20 1/2 5/8 3/4 7/8
1 21 1 1 1/4=5/4 1 1/2=3/2 1 3/4=7/4
2 22 2 2 1/2=5/2 3 3 1/2=7/2
• nr=m*bexp 
• (0,100*2-1)2=2-1* 2-1=1/4 ( menor numero)
• o numero 0,25 na base 2 é escrito :0,01=2-2, escrevendo em ponto flutuante 0,100*2-1
• (0,111* 22)=(2-1+2-2+2-3)*22=3,5=7/2 ( maior numero)
• calculando 3,5 na base dois :3+0,5=11+0,1=(11,1) ponto flutuante : (0,111)2
fonte:https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQh0jQwSC66i-NsAyNW6TdrnxyMMW739AtdHwgdLYwOWTkxIvk4
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fonte:http://image.slidesharecdn.com/hardware-101118083959-phpapp01/95/hardware-16-638.jpg?
cb=1422615346
ARENALES (2008, p.7) Como no sistema de ponto flutuante normalizado o zero é uma
representação e os representáveis do sistema de ponto flutuante (SPF) pertencem ao conjunto: 
R={x ;x∈[1/ 4 ;7/2]∪[−7 /2 ;−1/ 4]∪0} , então todos os reais que não pertencem a uniao do
intervalos não são representáveis, com isso constitui-se uma mensagem de erro.
• região de underflow −1 /4 ;0∪0 ;1 /4
• região de overflow −inf ;−7 /2∪7/2 ;inf 
* calculadora HP 50 G : i) 2-1000000 = zero (underflow) ii) 210
21
=9,99999*10499 (overflow)
* quando a atinge a capacidade minima da maquina ou seja não for possível o calculo o valor
tende a zero.
* 254! =9,9999*10499 ( numeros acima) 253! resultado
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overflow -3,5 -0,25 underflow 0,25 3,5 overflow
1.5.3FRANCO (2009, p.39) , considere o sistema F(10,4,-10,10)1 e F(10,3,-10,10) represente neste
sistema os números:
1.5.4 ERRO DE ARREDONDAMENTO 
• BURDEN( 2003, p.16-19), um erro de arredondamento é produzido quando uma
calculadora ou computador é utilizado para realizar cálculos com números reais.
ARENALES(2008, p.10-11) não pertencente a regiao de underflow e overflow.
• Esta ocorrência deste erro é porque a aritmética que a maquina utiliza numero finito de
dígitos, faz com que os calculos se aproximam dos valores verdadeiros.
• O erro resultante da substituição de um número real pela notação de ponto flutuante é
chamado de erro de arredondamento .
• Teremos uma situação em que a capacidade mínima não é atingida underflow ( ajusta para
zero) ou a capacidade máxima da máquina overflow (leva falhas na computação).
1.5.5 O valor do número  na forma decimal possui infinitos dígitos , no formato 
 =3,14159265... 
Escrito na forma decimal normalizada tem-se : 0,31459265* 10. 
Na notação de ponto flutuante com cinco dígitos:
fl(  )=0,31415*10=3,1415 ( método de corte) e 
utilizando o método de arredondamento com 5 dígitos tem-se : 3,1416.
1.5.6 ARENALES (2008, p.10-11) , consideremos um equipamento com o sistema de ponto
flutuante normalizado SPF(10,4,-5,5) :
• i) se a=0,5324*103 e b=0,4212*10-2
• a*b=0,22424688*10 e arredondando com 4 casas após virgula 0,2242*10.
• ii) se a=0,5324*103 e b=0,1237*102
• a+b=0,5324*103 + 0,1237*102 =
• 0,5324*103+ 0,1237*102*101*10-1=
• (0,5324+0,01237)*103=0,54477*103=0,5448*103
1legenda :base:10,numero de digitos: 4,expoente minimo :4,expoente maximo:4
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x F(10,4,-10,10) F(10,3,-10,10)
x1 4321,4 0,4321*10^4 0,432*10^4
x2 -0,0013523 0,1352*10^-2 0,135*10^-2
x3 125,64 0,1256*10^3 0,126*10^3
x4 57481,23 0,5748*10^5 0,575*10^4
x5 0,00034 0,34*10^-3 0,34*10^-3
1.5.7 Resolver a equação x2+62,1x+1=0
a) calcule x1 e x2 com todas as casas após a virgula ( valor exato)
exato:-0,016107237 ; -62,0838927626
b) use ponto flutuante com 4 digitos e calcule x1 e x2.
* ponto flutuante
x=−62,10±√62,1
2−4∗1∗1
2∗1
 62,12=3856,41=0,385641*104= 0,3856 ( ponto flutuante)=3856
x=−62,10±√3856−4
2∗1
x=−62,10±√3852
2∗1 √3852=62,0644825867=0,6206∗10
2 (ponto flutuante)
x=−62,10±62,062 
*soma -62,10-62,06=-124,16 ponto flutuante:-124,2x1=−0,042 =−0,02 x2=
−62,10−62,06
2 x2=
−124,2
2 =−62,1
c) calcule o erro relativo de x1 e x2
errox 1=
|−0,016107237+0,02|
|−0,016107237|
=0,24 =24%
errox 2=
|−62,0838927626+62,10|
|−62,0838927626|
=2,59∗10−4
d) Obtenha um resultado mais preciso para x1 e compare o erro relativo
Para obter um resultado de 4 dígitos mais preciso para uma aproximação de x1 por arredondamento,
 aplica-se o conjugado na expressão x=
−b±√Δ
2∗a
x=(−b−
√Δ)(−b+√Δ)
(2∗a∗(−b−√Δ))
x= b
2−√Δ2
(2∗a∗(−b−√Δ))
x1=
2c
−b−√b2−4ac
usando ponto flutuante fl (x1)=
2
−62,1−62,06 = fl (x1)=
−2
124,2 =-0,0161
erro relativo: 4,49*10-4 ( bastante baixo)
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Para x2 resultaria não apenas na subtração de numeros iguais, mas tambem na divisao pelo pequeno
resultado dessa subtração.
Aplicando o conjugado na expressão x=
−b±√Δ
2∗a
x=(−b+
√Δ)(−b−√Δ)
(2∗a∗(−b−√Δ))
x= b
2−√Δ2
(2∗a∗(−b+√Δ))
x1=
2c
−b−√b2−4ac
usando ponto flutuante fl (x1)=
2
−62,1−62,06 =
fl ( x1)= −2
124,2 =-0,0161
A imprecisão que essa combinação conduz:
f (x2)= −262,1−62,06=
−2
0,04=−50 erro relativo alto 1,9*10
-1
1.5.8 Resolver a equação 1,002*x2 -11,01*x+0,01265=0
a) calcule x1 e x2 com todas as casas após a virgula ( valor exato)
b) use ponto flutuante com 4 digitos a cada operação e calcule x1 e x2. (Exemplo: 0,001149=0,1149*10-2 , 4 casas
em ponto flutuante)
* cada operação que fizer use ponto flutuante com 4 casas com arredondamento
c) calcule o relativo absoluto e relativo em relação a e b.
d) melhore a solução de x1 ou x2 usando o conjugado da formula de Báskara e calcule o erro
relativo e absoluto.
Respostas; x1=10,98 erro absoluto : 6,875*10-3 erro relativo :6,257*10-4 x2=0,001149 erro absoluto : 7,566*10-8
erro relativo: 6,257*10-4
1.6 ERRO DE TRUNCAMENTO
• O erro de truncamento pode surgir quando tem-se uma substituição de um procedimento
matemático infinito para um processo finito ou discreto.
• No processo infinito adota-se uma aproximação após finitos passos.
 1.6.1 Aproximar f x =ex por polinômios de Taylor de grau 4 em torno de sendo x=0 :
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f x = f x  f ' x x−x  f ¨ x 
x−x 2
2
⋯
e x=1x x
2
2!

x3
3 !
.. x
n
n !
ex=1x x
2
2

x3
6

x4
24
• Usando os cinco primeiros termos como aproximação teremos e0,5 = 1, 6484375
• pela calculadora e0,5=1,6487213
• é possível aproximar um polinomio de taylor em torno de x diferente de zero.
• Aproxima-se integrais definidas por polinomios de Taylor (HOFFMANN,1990, p.178)
• exemplo: ∫10exp (−x
2)dx por um polinomio de grau 8.
1.7 PROPAGAÇÃO DE ERROS
1.7.1 BARROSO (1987, p.13) Supondo-se que as operações seja processadas em uma maquina com
4 dígitos significativos e sejam x1=0,3491*104 e x2=0,2345*100.
Calcular:
a) (x2+x1) -x1= zero
b) x2+(x1-x1)=0,2345
* o resultado não poderia ser diferente , pois a adição é uma operação distributiva.
*a causa foi na soma de x2+x1 cujo resultado tem 8 digitos.
* como a maquina armazena 4 dígitos, os menos significativos foram desprezados.
1.7.2 ARENALES (2008,p.14) usando aritmética de ponto flutuante de 4 digitos, base decimal e
arredondamento por corte, calcule o valor da seguinte soma:
• S=∑ 4i=1(xi+ yi) sendo xi=0,46709 e yi=3,5678 
• soma na base 10:4,03489 soma total : 16,1379756
• S1= (x1+y1)= 0,046709*10 +0,35678*10=0,403489*10=0,4034*10 ( corte)
• S2=S1+(x2+y2)= 0,4034*10 + 0,403489*10=0,806889*10=0,8068 *10 ( corte)
• S3= S2+ (x3+y3)= 0,8068 *10+ 0,403489*10=1,210*10=0,1210*102
• S4=S3+ (x4+y4)=0,1210*102 + 0,403489*10*10*10-1=
• 0,1210*102 + 0,0403489*102=0,1613489*102=0,1613*102
• erro absoluto 1: ∣4,03489−4,034∣ =0,00089=0,89*10 -3
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• erro absoluto 2: ∣8,06978−8,068∣ =0,00178=0,178*10-2 =0,178*10-2 * 10-1/10-1 =1,78*10 -3
conclusão: na medida em que aumentarmos o numero de parcelas na operação da adição,
aumenta-se o erro absoluto cometido na soma final.
1.8 CANCELAMENTO 
• FRANCO (2009, p.48) cancelamento ocorre na subtração de dois números quase iguais. 
• Supondo que esteja operando uma aritmética de ponto flutuante. 
• Sejam x e y dois números com expoente e . 
• A diferença x − y ela também será o expoente e .
• Se normalizarmos o número obtido, e mover os dígitos para a esquerda de tal forma que o
primeiro seja diferente de zero. 
• Assim, uma quantidade de dígitos iguais a zero aparecem no final da mantissa do número
normalizado. 
• Estes zeros não possuem significado algum. 
• Considerando que o sistema F (10, 10, -10, 10). 
1.8.1 F(10,10,10,10) base=10 t=10 números significativos m=10 e M=10 limites do expoente.
 Calcular 9876−9875 =resultado na base de 10: 0,0050314186
• solução:
• 0,9937806599* 10^2 - 0,9937303457*10^2=0,0000503142*10^2 
• a normalização muda este resultado para :
• 0,5031420000*10-4
• Assim os quatro zeros no final da mantissa não tem significado e assim perde-se 4 casas
decimais.
• Para obter um resultado mais preciso , escreve-se:
  x− y =
x− y 
 x y  =
9876−9875
198,75110056 =0,5031418679*10
-2 (resultado com todos os dígitos
corretos)
1.9 FRANCO (2009, p.47) Seja x=17,678
3,471
+
(9,617)2
3,716∗1,85
Prof .Jorge Roberto Grobe 18/08/2016 14:15:32 13 a edição CN24NB 17
a) calcule x com todos os algarismos de sua calculadora , sem efetuar arredondamento. 
R:18.54644880787931
b) calcule x considerando o sistema F(10,3,4,3) . Faça arredondamento a cada operação efetuada . 
R: 18,5 * use tres casas para fazer operação em ponto flutuante
1.10 PASSOS PARA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA
fonte: http://pepsic.bvsalud.org/img/revistas/cc/v14n3/a10fig01.gif
fonte:http://people.ufpr.br/~trovon/cursos/2015_Calculo1_C_Madeireira/grafico.gif
Prof .Jorge Roberto Grobe 18/08/2016 14:15:32 13 a edição CN24NB 18
Modelos matemáticos-Financiamento
1) Relógio Masculino Digital Casio F91W1DG – Preto preço avista R$ 51,90
Condições:
Fonte:http://www.pontofrio.com.br/Relogios/relogiosMasculinos/relogioDigitalmasculino/Relogio-Masculino-Digital-
Casio-F91W1DG-Preto-2371555.html
solução:
• Fórmula: 1−(1+i)
−n
i
= VF
PM
 
• i=taxa de juros n= numero de prestações VF= valor futuro(dívida)-entrada
• PM= prestação mensal
LAUREANO (1991, p.115-116) , o sistema price ( ou francês) corresponde ao financiamento com
pagamentos são iguais ( prestações iguais), com isso facilita o planejamento dos pagamentos.
Fórmula do Modelo Básico
Seja uma dívida (VF) na data zero, em que será paga em n prestações iguais (PM).
LAUREANO (1991, p.77) O montante Cn de um capital Co aplicado a juro composto, a uma taxa i
por periodo , após n períodos , é dado por :
Cn=C o(1+ i)
n .
Fazendo uma analogia com a formula do juro composto e escrevemos que :
Co=VF ( valor da dívida) Cn=PM( Prestação mensal)
PM=VF (1+i)n
solução: 
PM=VF (1+i)n
PM
VF =(1+i)
n VF
PM =
1
(1+i)n
1.2 i=1% VF=$1000 n=1 resultado: PM=$1010
Prof .Jorge Roberto Grobe 18/08/201614:15:32 13 a edição CN24NB 19
2x com juros (1.69% a.m.) de R$ 26,61 
3x com juros (1.69% a.m.) de R$ 17,89 
4x com juros (1.69% a.m.) de R$ 13,53 
5x com juros (1.69% a.m.) de R$ 10,91 
1000
PM =
1
(1+0,01)1
1.3 i=1% VF=$1000 n=2 resultado : 507,51
Como são dois periodos para n=2
VF
PM =
1
(1+i)1
+
1
(1+i)2
substituindo i=1% VF=1000 PM=?
1000
PM =
1
(1+0,01)1
+
1
(1+0,01)2
PM=507,51
Isso é chamado de fluxo de caixa2.
Para expandir esta fórmula 
VF
PM =
1
(1+i)n
 e obter 1−(1+i)
−n
n
= VF
PM
é necessário usar a soma
de uma progressão geométrica.
VF
PM =
1
(1+i)1
+
1
(1+i)2
+
1
(1+ i)3
+...+ 1
(1+ i)(n−1)
+
1
(1+i)n
para fazer a soma da PG substitui-se 1+i =x
VF
PM =
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
+ ...+ 1
xn
SomaPG=
a1−an∗q
1−q
 ou
(1) S=
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
+...+ 1
xn−1
+
1
xn
multiplicando a equação (1) por x:
x∗S= x
x1
+
x
x2
+
x
x3
+... x
xn−1
+
x
xn
2Fluxo de caixa é uma ferramenta que controla a movimentação financeira (as entradas e saídas de recursos financeiros), em um período 
determinado, de uma empresa.
Prof .Jorge Roberto Grobe 18/08/2016 14:15:32 13 a edição CN24NB 20
(2) x∗S=1+
1
x+
1
x2
+...+ 1
xn−1
subtraindo a equação (1) da equação (2):
S=
1
xn
−1
1− x
Como a variável x=1+i
VF
PM
=
1
(1+ i)n
−1
1−(1+ i)
VF
PM
=
1
(1+ i)n
−1
−i
VF
PM
=
1−(1+i)−n
i
• Solução: 
• VF= preço avista – entrada 
• PM = prestação mensal 
• p=numero de prestações
• i= taxa de juros
• 1−(1+i)
−n
i
= VF
PM
• fazendo x=1+i e k=
VF
PM e i=x-1
• 1+ 1
xn
=i∗k
• 1+ 1
xn
=(1−x)∗k
• xn+1=(x−1)∗xn∗k
• modelo matematico para calcular a taxa de financiamento
P(x)=k∗xn+1−(k+1)∗xn+1
Prof .Jorge Roberto Grobe 18/08/2016 14:15:32 13 a edição CN24NB 21
Solução 1: 
para n=2 meses i=? x=1+i VF=$ 51,90 -entrada (zero) PM=26,61
• P(x)=k∗xn+1−(k+1)∗xn+1
• K= 51,926,61=1,9504
• P(x)=1,9504∗x2+1−(1,9504+1)∗x2+1
• P(x)=1,9504∗x3−2,9504∗x2+1
dispositivo de Briot-Ruffini: 
aula: https://www.youtube.com/watch?v=nZ6wTYKCP6E
o resultado da equação:P(x)=1,9504*x2-1*x-1=0
x1=-0,5042 x2=1,0169
Então tem-se x=i+1 , i=x-1 i=1,0169-1 i=1,69%
Solução 2: 
para n=3 meses i=? x=1+i VF=$ 51,90 -entrada (zero) PM=26,61
• P(x)=k∗xn+1−(k+1)∗xn+1
• K= 51,917,89=2,9011
• P(x)=2,9011∗x3+1−(2,9011+1)∗x3+1
• P(x)=2,9011∗x4−3,9011∗x3+1
dispositivo de Briot-Ruffini: 
aula: https://www.youtube.com/watch?v=nZ6wTYKCP6E
o resultado da equação:P(x)=2,9011*x3-x2-x-1=0
[x=1.016950293169611],[x=0.1765745040243474*(0.8660254037844386*%i
0.5)+0.7254768431682926*(-0.8660254037844386*%i-0.5)+0.1148989459769715],
[x=0.7254768431682926*(0.8660254037844386*%i-0.5)+0.1765745040243474*
(-0.8660254037844386*%i-0.5)+0.1148989459769715])
Prof .Jorge Roberto Grobe 18/08/2016 14:15:32 13 a edição CN24NB 22
1,9504 -2,9504 0 1
1 1,9504 -1 -1 0
2,9011 -3,9011 0 0 1
1 2,9011 -1 -1 -1 0
•
Na tabela a seguinte utilizando a formula de financiamento:
VF
PM =
1
(1+i)1
+
1
(1+i)2
+
1
(1+ i)3
+...+ 1
(1+ i)(n−1)
+
1
(1+i)n
VF= PM
(1+i)1
+
PM
(1+ i)2
+
PM
(1+i)3 * nesta formula pode-se calcular a PM sendo conhecido a taxa i.
“Embora seja óbvio que o valor de R$ 17,89 relativo a cada uma das três parcelas
deva pagar o valor do produto à vista e ainda cobrir os juros do período, vamos ainda
assim conferir se a conta fecha.”
fonte:http://www.matematicadidatica.com.br/CalculoPrestacao.aspx
Prof .Jorge Roberto Grobe 18/08/2016 14:15:32 13 a edição CN24NB 23
preço avista 51,9
tempoPM 17,89
valor futuro (VF) 53,67 1 0,9834 17,59
taxa (i) 0,0169 2 0,9670 17,30
3 0,9510 17,01
total 2,9014 51,91
fluxo de 
caixa(VF)
1
(1+i)n
valor a pagar juros total a pagar valor pago saldo devedor
51,90 0,88 52,78 17,89 34,89
34,89 0,59 35,48 17,89 17,59
17,59 0,30 17,89 17,89 0,00
REFERÊNCIAS
• ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur (Autor). Cálculo numérico:
aprendizagem com apoio de software. São Paulo, SP: Thomson Learning, 2008. x, 364 p.
• BARROSO, L.C. et. al. Cálculo Numérico(com aplicações) 2.ed. SP. Editora Harbra.1987.
• BURDEN, R.L e FAIRES, J.D. Analise Numérica. Pioneira Thomson Learning. 2003.
• CLAUDIO, Dalcidio Moraes & MARTINS, Jussara Maria.Cálculo Numérico
Computacional. Teoria e Prática. Editora Atlas S.A.SP. 1989.
• livro calculo numérico em pdf 489 p.
• Disponível em ftp://ftp.ufv.br/dma/MAT271/Introduction.pdf acessado em 03/03/10.
• FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. São Paulo, SP: Pearson Prentice Hall, 2009.
xii, 505 p. ISBN 8576050870. Número de Chamada: 515 F825c
• Disponível em http://www.sorocaba.unesp.br/professor/amartins/aulas/numerico/erros.pdf
acessado em 11/08/2010.
• Disponível em 
http://200.17.137.110:8080/licomp/Members/Silvana/disciplinas/calculo numerico/material/a
ula01.doc Acessado em 11/08/2010.
• disponivel em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg38040.html, 
acessado em 21/02/2011.
• disponivel em http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_flutuante, acessado em 28/03/2011.
• LEON, Steven J. – Álgebra Linear com aplicações, 4a edição. Livros Técnicos e Científicos
Editora S.A, 2011.
• SPERANDIO, Decio; MENDES, Jo?o Teixeira; SILVA, Luiz Henry Monken e. Calculo
numericoC: caracteristicas matematicas e computacionais dos metodos numericos. S?o
Paulo: Prentice-Hall, 2003. 354 p. ISBN 85-87918-74-5.
• CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical Methods for Engineers, 6. ed., McGraw-Hill,
New York, 2000.
• LAUREANO, José Luiz; LEITE, Olimpio Rudinin Vissoto. Os segredos da matemática
Prof .Jorge Roberto Grobe 18/08/2016 14:15:33 13 a edição CN24NB 24
financeira. 2. ed. São Paulo: Ática, 1991. 256 p. ISBN 85-08-01966-1
• Disponível em http://www.significados.com.br/fluxo-de-caixa/, acessado em 13/03/2014.o
• Disponível https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images q=tbn:ANd9GcQh0jQwSC66i-
NsAyNW6TdrnxyMMW739AtdHwgdLYwOWTkxIvk4, acessado em 20/03/2014.
• Disponível em http://www.americanas.com.br/produto/121105896/ultrabook-asus-s46cb-
intel-core-i5-6gb-2gb-memoria-dedicada-500gb-24gb-ssd-led-14-windows-8#, acessado em
 10/12/2014.
• CLÁUDIO, Dalcidio Moraes; MARINS, Jussara Maria. Cálculo numérico computacional: teoria e prática . São Paulo:
Atlas, 1989. 464 p. ISBN 85-224-0377-5
QUADROS, Régis S. DE e BORTOLI, Àlvaro L. De .Fundamentos de Calculo Numérico
Para Engenheiros (apostila). 2009.
Disponível em http://www.matematicadidatica.com.br/CalculoPrestacao.aspx acessado em
14/03/2016. 
Prof .Jorge Roberto Grobe 18/08/2016 14:15:33 13 a edição CN24NB 25
	CAPITULO 1
	1 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
	1.1 ERRO ABSOLUTO
	1.2 ERRO RELATIVO
	1.3.ERROS NA FASE DE MODELAGEM
	1.4 ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO
	1.5. ERROS DE REPRESENTAÇÃO
	1.5.4 ERRO DE ARREDONDAMENTO
	1.6 ERRO DE TRUNCAMENTO1.8 CANCELAMENTO
	1.10 PASSOS PARA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA
	REFERÊNCIAS