Princípios de Mecânica e Resistência dos Materiais

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Princípios de Mecânica e Resistência dos 
Materiais 
 
 
 
 
 
Aula 6 
 
 
Prof. Marcus de Oliveira Filho 
 
 
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Conversa Inicial 
Olá, seja bem-vindo à nossa última aula de Princípios de Mecânica e 
Resistência dos Materiais. Nela, continuaremos nossos estudos de resistência 
de materiais abordando conceitos relacionados às propriedades mecânicas, 
como a Lei de Hooke e o Coeficiente de Poisson. Estudaremos, também, os 
esforços de torção e de flexão e, por fim, veremos o que é falha por fadiga e os 
cuidados que os engenheiros devem ter quando projetam componentes 
submetidos a esta condição. 
Confira no material online a apresentação do professor Marcus Oliveira 
Filho sobre esses conteúdos. 
Contextualizando 
Se você aplicar forças que geram momentos em um lápis, ele ficará 
curvado. Porém, se você aumentar a intensidade da força, chegará a um limite 
no qual o lápis irá quebrar. 
 
Por outro lado, se você aplicar torques sobre uma régua com 
comportamento dúctil, ela apresentará um comportamento como o da figura a 
seguir: 
 
 
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No caso do lápis, o esforço aplicado é conhecido como flexão. Já no caso 
da régua, houve a aplicação de uma torção. Réguas e lápis não são projetados 
para terem grande resistência a esses esforços, pois, durante o seu uso, esse 
tipo de solicitação não é comum. Entretanto, vigas e eixos são submetidos a 
cargas consideráveis de flexão e torção, portanto, devem ser projetados com 
condições seguras de uso. Nesta aula veremos como dimensionar corretamente 
esses membros estruturais sob a óptica da resistência dos materiais. 
Tema 1: Lei de Hooke 
Pelo diagrama de tensão-deformação percebemos que a maioria dos 
materiais apresenta uma relação linear entre tensão e deformação dentro da 
região elástica. Isso significa que um aumento da tensão provoca um aumento 
da deformação, de forma proporcional. 
Este fenômeno foi descoberto para molas, por Robert Hooke, em 1676, 
sendo conhecido como Lei de Hooke. 
Matematicamente, a Lei de Hooke é expressa por: σ = E ɛ 
Em que E é uma constante de proporcionalidade que relaciona a tensão 
com a deformação, chamada de módulo de elasticidade (às vezes pode ser 
chamada de módulo de Young). 
Esta equação representa a porção inicial em linha reta do diagrama de 
tensão-deformação, até que o material atinja o limite de proporcionalidade. O 
módulo de elasticidade representa a inclinação dessa reta. 
Leitura Obrigatória: 
 HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. Pearson, 2009. p. 63-
64. 
No material online, o professor Marcus Oliveira Filho explica os valores do 
módulo de elasticidade para diferentes materiais. Não perca! 
 
 
 
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Tema 2: Coeficiente de Poisson 
Quando um corpo é submetido a uma tração axial, além de sofrer 
alongamento, esse corpo também apresentará uma contração lateral. Uma tira 
de borracha ao ser esticada, por exemplo, terá sua espessura e sua largura 
diminuídas. De forma análoga, um corpo que sofre compressão por uma força 
apresentará, também, uma expansão lateral. Observe esses dois casos nas 
figuras a seguir: 
 
 Fonte: HIBBELER, 2009 
Quando uma carga P é aplicada, a barra apresenta uma mudança 𝛿 no 
comprimento e 𝛿′ no raio. 
A deformação na direção longitudinal (ou axial) é: 
𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔 =
𝛿
𝐿
 
A deformação na direção lateral (ou radial) é: 
 
𝜀𝑙𝑎𝑡 =
𝛿′
𝑟
 
 
Em que 𝑟 é o raio da barra e 𝐿 é seu comprimento. 
 
 
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No início do século XIX o cientista francês S. D. Poisson percebeu que a 
razão entre essas deformações é uma constante dentro da faixa elástica, visto 
que 𝛿 e 𝛿′ são proporcionais. 
Essa constante é um valor numérico único para um material isotrópico e 
homogêneo, denominada Coeficiente de Poisson. 
Matematicamente, o coeficiente de Poisson é dado por: 
𝜈 = −
𝜀𝑙𝑎𝑡
𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔
 
O sinal negativo da expressão é dado pelo fato de que uma contração 
longitudinal (deformação negativa) provoca uma expansão lateral (deformação 
positiva), e vice-versa. Observe que a deformação lateral é causada somente 
pela força axial, isto é, não há nenhuma força ou tensão que atue em uma 
direção lateral de modo a deformar o material nessa direção. 
Observe, também, que o coeficiente de Poisson é adimensional. Para a 
maioria dos sólidos não porosos, seu valor encontra-se entre 0,25 e 0,33. Um 
material ideal, que não apresentaria nenhum movimento lateral quando alongado 
ou comprimido, teria um 𝜈 = 0. É sabido, também, que o valor máximo possível 
para o coeficiente de Poisson é 0,5. Portanto, 0 ≤ 𝜈 ≤ 0,5. 
Leitura Obrigatória: 
 HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. Pearson, 2009. p. 73-
74. 
 Aproveite e analise a tabela da página 640, na qual contém alguns valores 
típicos de 𝜈 para alguns materiais. Atente-se para o fato de que a tabela está em 
página não numerada (a numeração termina na página 637), portanto, encontra-
se nas últimas páginas do livro. 
Quer um exemplo de Coeficiente de Poisson? O professor Marcus Oliveira 
Filho apresenta um bem interessante no material online. Confira! 
 
 
 
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Tema 3: Torção 
Um momento que tende a torcer um elemento em torno do seu eixo é 
chamado de torque. 
Em projetos de eixos ou eixos de acionamento utilizados em veículos e 
outras estruturas o efeito do torque é uma preocupação primária dos 
engenheiros. Os efeitos físicos de um torque aplicado podem ser visualizados 
através das figuras ao lado. 
Quando o torque é aplicado, os círculos e as retas originais marcados no 
eixo tendem a se distorcer segundo o padrão apresentado na figura. Para 
ângulos de rotação pequenos, podemos considerar que o comprimento e o raio 
do eixo permanecem inalterados. 
 
Fonte: HIBBELER, 2009 
Se um eixo estiver fixo em uma de suas extremidades e estiver sujeito a 
um torque em sua outra extremidade, o padrão das deformações ocorrerá como 
na figura a seguir. Observe o plano deformado e o ângulo de torção 𝜑(𝑥): 
 
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Fonte: HIBBELER, 2009 
Se aplicarmos um torque externo a um eixo, um torque interno 
correspondente será criado. Se o material em questão for linear-elástico, a Lei 
de Hooke se aplica, de forma que: 
𝜏 = 𝐺𝛾 
Em que 𝐺 é denominado módulo de elasticidade ao cisalhamento (ou 
módulo de rigidez). Esta expressão apresenta que uma variação linear na 
deformação por cisalhamento resulta em uma variação linear na tensão de 
cisalhamento correspondente. Consequentemente, 𝜏 varia de zero (na linha 
central do eixo longitudinal) até um valor máximo (𝜏𝑚á𝑥) na superfície externa. 
Essa variação é apresentada na figura a seguir: 
 
Fonte: HIBBELER, 2009 
 
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É possível demonstrar que: 
𝜏 = (
𝜌
𝑐
) 𝜏𝑚á𝑥 
Em que 𝜏 é a tensão de cisalhamento, 𝑐 é o raio externo do eixo e 𝜌 é uma 
distância intermediária. Após algumas manipulações matemáticas, também é 
possível deduzir uma fórmula para a torção relacionada ao torque aplicado, dada 
por: 
𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
 
Em que 𝑇 é o torque interno resultante que age na seção transversal e 𝐽 
é o momento polar de inércia da área da seção transversal. O momento polar de 
inércia 𝐽 é uma propriedade geométrica da área circular que depende somente 
da geometria do eixo. As unidades de medida comuns para 𝐽 são 𝑚𝑚4 ou 𝑝𝑜𝑙4. 
 Se o eixo for maciço,o momento polar de inércia será: 
 Em que 𝑐 é o raio do eixo. 
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4 
Se o eixo for tubular, o momento polar de inércia será: 
𝐽 =
𝜋
2
(𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4) 
Em que 𝑐𝑜 é o raio externo e 𝑐𝑖 é o raio interno do eixo. 
 
Fonte: HIBBELER, 2009 
Lembre-se de que a fórmula da torção apresentada só é válida se o eixo 
for circular e o material for homogêneo com comportamento linear-elástico. 
 
 
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Leitura Obrigatória: 
 Para aprender mais sobre o diagrama de tensão-deformação de 
cisalhamento e a relação entre o módulo de elasticidade e o módulo de rigidez, 
leia o texto da seção 3.7 do livro indicado a seguir: 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. Pearson, 2009. p. 74-75. 
Quer ver um exemplo do professor Marcus Oliveira Filho sobre este 
conteúdo? Assista ao vídeo deste tema no material online. 
Tema 4: Flexão 
Considere uma barra reta com seção transversal quadrada. Se o material 
tiver alta capacidade de deformação e for marcado com uma grade de linhas 
transversais e longitudinais, a barra apresentará um padrão similar ao da figura 
a seguir, quando submetida a um momento fletor: 
Um momento fletor atuante sobre uma barra provoca alongamento do 
material na parte inferior e compressão do material na parte superior. Entre 
essas duas partes, existe uma superfície neutra, na qual não ocorre mudança 
nos comprimentos das fibras longitudinais. 
 
Fonte: HIBBELER, 2009 
 
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São adotadas três premissas em relação ao modo como a tensão deforma 
o material: 
 O eixo longitudinal x, que se encontra no interior da superfície neutra, 
não sofre qualquer mudança no comprimento; 
 Todas as seções transversais da viga permanecem planas e 
perpendiculares ao eixo longitudinal durante a deformação; 
 Qualquer deformação da seção transversal dentro de seu próprio 
plano será desprezada; 
 
 Fonte: HIBBELER, 2009 
Partindo da premissa que o material se comporta de uma forma linear 
elástica e que a Lei de Hooke é aplicável, isto é, uma variação linear da 
deformação normal é consequência de uma variação linear da tensão normal, é 
possível chegar a uma equação que relaciona a tensão de flexão ao momento 
fletor aplicado, dada por: 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
 
 
 
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Em que 𝜎𝑚á𝑥 é a tensão normal máxima no elemento (que ocorre em um 
ponto na área da seção transversal mais afastado do eixo neutro), 𝑀 é o 
momento interno resultante, 𝐼 é o momento de inércia da área da seção 
transversal calculada em torno do eixo neutro e 𝑐 é a distância perpendicular do 
eixo neutro a um ponto mais afastado, onde 𝜎𝑚á𝑥 age. 
Também é possível demonstrar que a tensão normal em uma distância 
intermediária y pode ser determinada pela seguinte equação: 
𝜎 = −
𝑀𝑦
𝐼
 
Observe que o sinal negativo é necessário, já que está de acordo com os 
eixos x, y e z definidos. 
 
Fonte: HIBBELER, 2009 
Leitura Obrigatória: 
Para saber como aplicar a fórmula da flexão e resolver problemas 
relacionados a este tópico veja o quadro “Procedimento de Análise” do livro: 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. Pearson, 2009. p. 
205-208. 
Estude o exemplo resolvido 6.16 do livro e repare como é necessário 
integrar vários dos conhecimentos que vimos até o momento: localizar o eixo 
neutro, calcular o momento de inércia da área, o método das seções e, 
 
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finalmente, a fórmula da tensão de flexão máxima. Todos esses cálculos são 
necessários para que o projetista dimensione vigas de forma segura. 
Veja alguns exemplos práticos com o professor Marcus Oliveira Filho no 
material online. 
Tema 5: Introdução à Falha por Fadiga 
Durante toda a disciplina consideramos apenas cargas estáticas. 
Entretanto, em alguns casos, algum elemento estrutural pode estar submetido a 
um carregamento repetitivo ou cíclico. Este tipo de solicitação ocorre comumente 
quando o elemento estrutural será utilizado em máquinas. 
Não é objetivo desta disciplina o aprofundamento no estudo da resistência 
de materiais submetidos a carregamentos dinâmicos, entretanto, neste tema 
será apresentada uma introdução sobre o assunto, possibilitando que você 
domine os conceitos básicos e busque por mais informações caso se depare 
com um problema desta natureza na sua atuação como engenheiro. 
Primeiramente, você sabe o que significa o conceito de fadiga? A fadiga 
é um fenômeno que ocorre quando um material é submetido a ciclos repetidos 
de tensão e deformação. Os ciclos provocam o rompimento da estrutura do 
material, o que, por fim, pode resultar na ruptura do mesmo. A fadiga é 
responsável por uma grande porcentagem de falhas em bielas e virabrequins de 
motores, pás de turbinas a vapor ou a gás, acoplamentos ou apoios para pontes, 
rodas e eixos de vagões ferroviários, entre outras peças sujeitas a carregamento 
cíclico. A ruptura destes componentes submetidos à fadiga ocorre a uma tensão 
menor do que a tensão de escoamento do material. 
A natureza desta falha resulta do fato de haver regiões microscópicas 
onde a tensão localizada é muito maior do que a tensão média que age na 
seção transversal do membro como um todo. Como essa tensão mais alta ocorre 
de forma cíclica, há a formação de trincas microscópicas. A ocorrência dessas 
trincas provoca aumento adicional na tensão, já que elas funcionam como um 
concentrador de tensões. 
 
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O aumento adicional na tensão, por sua vez, provoca um aumento 
adicional da extensão das trincas no material, tornando um ciclo repetitivo. Em 
certo momento, a área da seção transversal do elemento reduz-se de forma a 
não mais poder suportar a carga, ocorrendo, então, uma fratura repentina. O 
material, ainda que seja dúctil, comporta-se de forma frágil. 
Para fins de projeto, é necessário especificar uma resistência segura para 
um material metálico sob carga repetida. É necessário determinar um limite 
abaixo do qual nenhuma evidência de falha possa ser detectada, mesmo com a 
aplicação de um número significativo de ciclos. Essa tensão-limite é denominada 
limite à fadiga. Para determiná-la, são utilizadas máquinas como a da figura a 
seguir: 
 
Fonte: www.shimadzu.com.br 
 
Nessas máquinas, diversos corpos de prova são submetidos a uma 
tensão cíclica específica até que a falha ocorra. Os resultados são dispostos em 
gráficos que relacionam a tensão 𝑆 ou 𝜎 com o número de ciclos 𝑁 até a falha. 
Esses gráficos são denominados diagrama 𝑺-𝑵 ou diagrama tensão- -ciclo. 
Quer ver um ensaio de fadiga até a fratura do material? Clique no link a 
seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=mO1ZwKaMNmA 
 
https://www.youtube.com/watch?v=mO1ZwKaMNmA
 
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O intuito desta disciplina não é fazer com que você saiba projetar um 
elemento para a vida infinita, mas apenas fazer com que você compreenda os 
conceitos e saiba como os fenômenos relacionados a eles ocorrem. Pensando 
nisso, o professor Marcus Oliveira Filho explica o diagrama S-N no material 
online. Não perca! 
Na Prática 
Imagine que você é o engenheiro responsável pelo projeto de um eixo de 
transmissão automotivo, similar ao da figura a seguir: 
 
www.infomotor.com.br 
Como informação inicial, você sabe que o eixo irá operar a uma rotação 
de 1000 rpm. Sobre cada um dos tópicos a seguir, lance hipóteses de projeto e 
justifique-as com base no que foi estudado na disciplina Princípios de Mecânica 
e Resistência dos Materiais. Repare que todos os tópicos estão relacionados 
e precisam de umaabordagem integrada em um problema de engenharia: 
 Tipo de carregamento 
 Segurança 
 Geometria do eixo 
 Material do eixo 
 Custo do projeto 
http://www.infomotor.com.br/
 
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Por fim, descreva sucintamente os procedimentos e cálculos que devem 
ser feitos para dimensionar o eixo de forma segura e eficaz. 
Protocolo de Resolução da situação proposta 
Esta situação assemelha-se muito a um caso real de projeto, no qual 
poucos parâmetros estão definidos e existem muitas opções e questões em 
aberto. Entre os parâmetros definidos estão as cargas de projeto, necessárias 
para o funcionamento do automóvel e o comprimento do eixo, já que ele precisa 
“caber” no espaço reservado. 
É necessário ter um entendimento amplo dos conceitos de resistência dos 
materiais para projetar de forma adequada. Se durante a realização do projeto 
surgirem dúvidas a respeito de alguns dos passos (por exemplo, esquecer como 
calcular o momento polar de inércia da seção do eixo), não se apavore. É para 
isso que os livros e o material da disciplina estão disponíveis, para sanar dúvidas 
pontuais e embasar as decisões tomadas. Saber do que se trata o projeto e 
conciliar diferentes aspectos dele são características que devem estar 
internalizadas no engenheiro. 
Sobre cada um dos tópicos propostos neste problema, vamos lembrar de 
alguns aspectos e conceitos estudados. 
Tipo de Carregamento: basicamente, estudamos cinco diferentes tipos de 
carregamento: tração, compressão, cisalhamento, flexão e torção. Você 
consegue identificar quais destes carregamentos devem ser considerados neste 
projeto? Durante todo o curso, estudamos carregamentos estáticos. No último 
tema, entretanto, vimos uma introdução sobre carregamentos dinâmicos 
(cíclicos), os quais introduzem a falha por fadiga ao material. Além dos esforços, 
você também deverá identificar a natureza do carregamento que age sobre o 
eixo. 
Segurança: o projeto se refere a um eixo automotivo, um importante 
componente dos automóveis que utilizamos. Uma falha deste componente pode 
custar vidas humanas, sendo, portanto, inadmissível. O que você faria para 
garantir a segurança do projeto, sabendo das várias incertezas envolvidas? 
 
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Geometria do Eixo: basicamente, o eixo tem duas dimensões a serem 
consideradas: o comprimento e o diâmetro (ou os diâmetros). Lembre-se de que 
os carregamentos estudados estão relacionados diretamente às áreas de 
atuação – quanto maior a área, mais resistente será o componente. 
Material do Eixo: o material deverá ser resistente o suficiente para atender 
às solicitações de projeto. Na prática, é comum trabalhar com um engenheiro de 
materiais para fazer a escolha correta de material. Cabe a você, entretanto, fazer 
as hipóteses pertinentes e repassá-las a esse engenheiro. Pense sobre as 
propriedades do material: como ele deve se comportar? A deformação plástica 
tem que ser evitada, pois ela alteraria as dimensões do eixo e colocaria a 
segurança do usuário em risco. Se a natureza do carregamento for dinâmica, 
deve ser selecionado um material resistente à fadiga (vida infinita). Por fim, 
pense também sobre a temperatura de operação deste eixo, visto que este 
parâmetro influencia o comportamento do material. 
Custo do Projeto: todas as etapas anteriores devem ser conciliadas 
levando-se em conta os custos envolvidos. 
Resolução do Caso 
Analise as hipóteses a serem consideradas. 
Tipo de Carregamento: o eixo está sujeito, principalmente, a esforços de 
torção (provocados pela potência transmitida pelas engrenagens acopladas) e à 
flexão (causada pelo peso das engrenagens). Tração, compressão e 
cisalhamento podem ser desprezados. O carregamento é dinâmico (cíclico), 
visto que o eixo opera a 1000 rpm. 
Segurança: para garantir a segurança, um fator apropriado deve ser 
utilizado. Este fator pode ser encontrado em livros específicos de mecânica ou 
em normas técnicas. 
Geometria do Eixo: provavelmente, o projetista não poderá alterar o 
comprimento do eixo, que será um parâmetro fixo do projeto (o eixo deve “caber” 
dentro do carro e cumprir com sua função). Por outro lado, o diâmetro (ou os 
 
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diâmetros) deve(m) ser projetado(s) de forma a suportar(em) os carregamentos 
atuantes sobre cada segmento do eixo. 
Material do Eixo: o material deve ser homogêneo e isotrópico, o que 
garantirá que os cálculos subsequentes serão feitos de forma correta. Como 
queremos evitar a deformação plástica, deve ser selecionado um material com 
alta tensão de escoamento e que seja resistente à fadiga (vida infinita). Poucos 
materiais têm esse comportamento, sendo o aço um dos mais utilizados. Como 
o aço é um material pesado, o peso do eixo pode ser incluído ao modelo para 
obter um resultado mais preciso. Os componentes automotivos trabalham a 
temperaturas mais elevadas do que a temperatura ambiente, e isso se deve ao 
aquecimento do motor e ao atrito entre as peças. Seria necessário determinar 
com precisão razoável a temperatura de operação do eixo e comunicá-la ao 
engenheiro de materiais. Atenção: é preciso escolher um material que se 
comporte de forma adequada na faixa de temperatura da situação de uso, e não 
à temperatura ambiente. 
Custo do Projeto: o problema de superdimensionar a segurança é o 
aumento do custo do projeto. Diâmetros demasiadamente grandes adicionariam 
custos desnecessários ao eixo e, consequentemente, ao veículo. Com a 
finalidade de reduzir os custos, o eixo pode ter diferentes diâmetros, de forma a 
atender às solicitações de projeto de maneira específica para cada segmento. 
Após definir estas hipóteses, parte-se para o projeto, propriamente dito. É 
aqui que deve ser construído um DCL do eixo, aplicando-se, em seguida, as 
equações pertinentes. Posteriormente, constroem-se diagramas de esforço 
cortante, torque e momento fletor, e determina-se o valor da flexão e da torção 
em função do comprimento e do diâmetro do eixo. O diâmetro pode ser alterado 
em cada segmento, garantindo que o carregamento atuante seja menor do que 
o admissível. Carregamentos combinados (neste caso, torção e flexão) exigem 
cuidados especiais. Desta forma, livros específicos de projeto de máquinas 
devem ser consultados. 
 
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Síntese 
Nesta aula aprendemos conceitos relacionados às propriedades 
mecânicas do material: a Lei de Hooke e o Coeficiente de Poisson. Estudamos 
mais dois tipos de carregamento comumente encontrados na prática, a torção e 
a flexão. Por fim, abordamos uma introdução à falha por fadiga, fenômeno que 
ocorre quando componentes são submetidos a ciclos repetidos de carga. 
Assim, chegamos ao fim da nossa disciplina. Agora você deve se sentir 
apto a compreender, modelar e projetar estruturas e sistemas de mecânica 
estática. Deve, também, estar apto a fazer hipóteses necessárias e utilizar o bom 
senso para conciliar aspectos de segurança e custos em projetos reais em sua 
carreira profissional. Organize seus materiais para que, caso surjam dúvidas no 
futuro, você saiba onde encontrar as respostas. Sucesso para você! 
Referências 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. Pearson, 2009.