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Profa. Ana Cristina Munaretto
Aula 2
Análise Matemática Conversa inicial
Seja �: � → � uma função
lim	→
� 	 � � ⇔
� 	� → �,	
∀	 	� ⊂ �, comcomcomcom					� → 
� é contínua em 	 � 
 ⇔
� 	� → � 
 ,
∀ 	� ⊂ �, comcomcomcom									� → 
Sequências 
Principais resultados
Exemplos
Séries
Testes de 
convergência
Sequências e séries de números 
reais
Sequências de 
números reais
Exemplo:
A função 
	:� → �
	 � � �����
Define a sequência
�� � � ��,��, �, ��, … �
Conjunto de valores
���, �� ⊂ �
1.1.1.1. ����∈�� �, , !, ", #, …
Ilimitada,
monótona,
não convergente
2.2.2.2. �� � �,
�
 ,
�
! ,
�
" , …
Limitada,
monótona,
convergente
3.3.3.3. � & �'���� � (,
!
 ,
 
! ,
#
" ,
"
# ,
)
* ,
*
) , …
Limitada,
não monótona,
convergente
Fonte: Ana Cristina Munaretto
1
X
2
3
4
5
5
4
3
2
� & ����
�
� � (,
!
 ,
 
! ,
#
" ,
"
# ,
)
* ,
*
) , …
ℙ ⊂ �
� & �� �∈ℙ
� ! ,
#
" ,
)
* ,…
Subsequências
Toda sequência 
limitada e monótona é 
convergente
Toda sequência 
convergente é limitada
Todas as 
subsequências de uma 
sequência convergente 
convergem para o 
mesmo limite
Resultados
Operações com 
limites de sequências
�	�� → ��, �,�� → � , 
então:
	� & ,� → �� & � 
�	�,�� → ��� 
	�
,� →
��
� ,	se � - (
,� limitada inferiormente, 	� → &∞,
	� & ,� 	→ &∞
	� / (,∀�
	� → ( ⇔ �	� → &∞
	� limitada, ,� → &∞
	�
,� → (
Operações com limites de 
sequências infinitas
Qual sequência 
cresce mais 
rapidamente, � ou 
� , 
 / �?
�
� → &∞
Exemplo
∴ 	 
� cresce mais 
rápido do que � .
 & 1 � 
 & 
1 & 1 
 & 1 ! � 
! & !
 1 & !
1 & 1!
 & 1 " � 
" & "
!1 & *
 1 & "
1! & 1"
...
 & 1 � � ∑ 34 
413'43456
Teorema binomial de Newton
Resultados principais 
de sequências
Sequências de 
Cauchy
Teorema dos 
intervalos encaixados
Teorema de Bolzano-
Weierstrass
Dado 7 / (, existe 8 /
( tal que ∀	� / 8 e 
∀	9 / 8 tem-se
	� � 	9 : 7
Sequências de Cauchy
� � �� �∈�
Dado ; / (, tomemos 
8 � ; .
Assim, se � / 8 e 9 / 8, 
temos:
	� � 	9
� �� �� � � �
�
9
� �9�
�
� <
�
9 &
�
� �
�
9 &
�
�
: �8 &
�
8 �
 
8 � 7
=� � 	�, ,� , =� ⊂ = ⊂
⋯ ⊂ =� ⊂ ⋯
⇒@=A
B
A5�
- ∅
,� � 	� → (
⇒@=A
B
A5�
� 
Teorema dos intervalos 
encaixados
Toda sequência 
limitada possui uma 
subsequência 
convergente
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Fonte: Oliver Kolossoski
Séries de números 
reais
	�
D� � 	� & 	 &	…& 	�
Série: 
E � F	�
B
�5�
Série harmônica
D� � �� &
�
 &
�
! &⋯&
�
�
Série geométrica 
D� � � & 	G & G &⋯& G�'�
F	A
B
A5�
, 	� �∈�
1. Se a série converge, a 
sequência dos termos 
converge a (
2. Se a série converge 
absolutamente, então 
ela convergente
Resultados
3. Teste da raiz: 
|	�|� → I
4. Teste da razão: 
	�
	�J� → I
I : � ⇒ a série converge 
absolutamente
I / � ou I � ∞ ⇒ a série 
diverge
F�
 
 �
B
�5�
lim�→B
� 
 �
� � � 
∴ A série converge
Exemplo
Exemplos
Verifique se a série 
∑ ��B�5� converge
Temos que 
 �
� → &∞.
Portanto a série não 
converge
Verifique se a 
série	∑ �!�B�56 converge
�
!�
�K�
!�K�
� ��J� .
!�K�
!�
  � ����J���
. ! � !�J��
→ ! / �
∴ A série não converge
Na prática
Considere a série
F
 
 �
B
�5�
Esta série converge 
para 
 
 
 &
 
" &
 
M &
 
�* &
 
! &⋯ �
	 
. 
 &
 .
 &
 .
" &
" .
" &
" .
M &⋯ � 
 
 
"
M
�*
 
 "
 M
 �*
Se 	� → 
 / (	então 
existe 8 tal que se 
9 / 8 então 	9 / (
Exercício sobre sequências
Prove a seguinte afirmação:
Diverge ou converge? 
F ���� & ��
B
�5�
Exercício sobre séries
Finalizando
Sequências 
monótonas, limitadas 
e convergentes
Operações; teoremas 
dos intervalos 
encaixados e 
Bolzano-Weierstrass
Séries e testes de 
convergência