ÁLGEBRA LINEAR

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Lista 7 – Determinantes e Sistemas Lineares - Prof.: Gustavo 
Aluna: Maise de Lima Franco Nº de Matrícula: 1714409 
Turma: Engenharia Química EQU01NA – Noturno 1° período 
 
 
1) Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo. 
 4 5 
a) 8 10 
4 3 
1 
2 0 
7 
 7 12 
b) 5 1 
4 13 
0 
0 0 
0 
1 3 
c) 2 0 
 1 4 
5 
4 0 
2
 
 
a) 4 5 1 4 5 
 8 10 2 8 10 
 4 3 7 4 3 
 
 -280+40-24+280+24-40 
 DET= 0 
 O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha. 
 
 b) 7 12 0 7 12 
 5 1 0 5 1 
 4 13 0 4 13 
 
 O determinante será nulo se possuir uma fila inteira nula. 
 
c) 1 3 5 1 3 
 2 0 4 2 0 
 1 4 2 1 4 
 
 0-12+40-12-16=0 
 DET= 0 
 A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha. 
 
 
 a b c
 

 2a 

 2b 2c 
2) Se det 
 
p q r 
 = - 1 , calcule o valor do det 2 p x 2q y 2r z 
. 
x y z 3x 3 y 3z
 
 
DET= K
n. det A 
 
Propriedades: Primeira linha multiplicada por -2. 
 
 Segunda linha multiplicada por 2. 
 
 Terceira linha multiplicada por 3. 
 
 2a 2b 2c 
 
det 2px 2qy 2rz DET= (-2).(2).(3) = -12 .(-1) = 12 
 
 3x 3y 3z 
 
A soma da outra incógnita não interfere. No final multiplica-se pelo determinante da primeira 
 
matriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Sabendo que 
a b c 
d e f 
g h i 
 
 
= 5 , determine:
 
 
d e f 
a) g h i DET= 5 
 a b c 
 
 
a 
b) 2d 
 g 
b c 
2e 2 f DET= (-1).(2).(-1).(5) = 10 
h i
 
 
 a d b e c f 
c) d e f DET= 5 
 g h i 
 
 
a b c 
d) d 3a e 3b f 3c DET= (2).(5) = 10 
2g 2h 2i 
 
 
 
 1 0 1 2 2 2 
 4) Considere as matrizes A= e B= 
 0 1 5 0 2 2 
 
 3 0 1 1 1 2 
 
a) Det(3A) 
 
(3A) = 3 0 3 
 0 3 15 
 15 0 3 
 
b) Det (A
3
B
2
) 
 
A
3
B
2
 
(-2)
3
.(4)
2 
= -8.16= -128 
 
2 2 2 2 2 
0 2 2 0 2 
1 1 2 1 1 
 
8+4+0-0-4-4= 4 


c) Det(A
-1
B
t
) 
DET B t = DET (B) 
DET (A – 1) = ? 
DET A -1 = 1/ DET (A) 
DET (A – 1. Bt ) = 1/-2 . 4 = -2 
d) Det(A
4
B
-2
) 
DET (A4. 5-2) = ? 
-24. 1/42= 16/16 = 1/4 
5) Resolva os sistemas abaixo, usando a regra de Cramer : 
 
 x+ 2 y + z = 7 

a) 2x + 7 y + z = 21 
 3x + 5 y + 2z = - 8 
 
 
 1 2 1 1 2 7 2 1 7 2 x= Dx/D 
D= 2 7 1 2 7 Dx= 21 7 1 21 7 x= -16/16 
 -3 -5 2 -3 -5 -8 -5 2 -8 -5 x= -1 
 
D= 14-6-10-8+5+21 Dx= 98-16-105-84+35+56 
D= 16 S.P.D, pois D ≠ 0. Dx= -16 
 
 Substituindo o valor de x= -1 
 
-1 + 2y +z = 7 2y+z=8 .(-1) -2y-z=-8 x+2y+z=7 
 -2 +7y +7 = 21 7y+z=23 7y+z=23 (-1)+2.(3)+z=7 
 3 -5y +27 = -8 -5y+27=-11 5y=15 => y= 3 5+z=7 => z=2 
 
S= { -1,3,2} 
 
 
 x + 2 y - z = 3 

b) 3x - y +z = 1 
 2x + 4 y - 2z = 6 
 
 1 2 -1 1 2 3 2 -1 3 2 1 3 -1 1 3 1 2 3 1 2 
D= 3 -1 1 3 -1 Dx= 1 -1 1 1 -1 Dy= 3 1 1 3 1 Dz= 3 -1 1 3 -1 
 2 4 -2 2 4 6 4 -2 6 4 2 6 -2 2 6 2 4 6 2 4 
 
D= 2+4-12+12=4-2 Dx= 0 Dy= 0 Dz=0 
D=0 S.P.I 
 
 
 



x+2y-z=3 -3x-6y+3z=-9 
6x-2y+2z=2 3x-y+z=1 
7x+z=5 -7y+4y=-8 S= {(5-z/7, 4z+8/7, z)} 
7x=5-z 7y= 4z+8 
x= 5-z/7 y= 4z+8/7 
 
 
 2x -4 y + 10z = 6 
c) 
 3x - 6 y+ 15z = 11 
 
 
 D= 2 -4 10 2 -4 
 3 -6 15 3 -6 
 
S.I (Sistema Impossível) 
 
 
 
 3x- 2 y= -5 

d) x + 3 y = 2 
 - x + 4 y = 5 
 
x= 2-3y 3. (2-3y)-2y=-5 
x= 2 -3-1 6-9y-2y=-5 S= {-1,1} 
x= - 1 -11y=-11 
 y=1 
 
 
 x - 2 y = 4 

e) 4x - 6 y = 10 
 6x + 9 y = 0 
 
x= 4+2y 4x-6y=10 
x= 4+2 .(-3) 4(4+2y)-6y=10 S= {-2,-3} 
x= 4-6 16+84-6y=10 
x= -2 2y= -6 
 y= -3 
 
 
 3x - 9 y = 6 

 f) 5x - 15 y = 10 +5 
 -2x +6 y = - 4 
 
x -3y = 2 3x-9y=6 
x= 2+3y 3.(2+3y)-9y=6 S= {2+ 3α, α} 
x= 2+3.0 6+9y-9y=6 
x= 2 0=0 
 
 
 


 x - 2 y + az = 1 

6) Discuta o sistema x - y - z = 2 
 - x +2 y -2z = b 
 
 
 2-2-2a-(a-2+4) 
 a-2 = 0 
 a = 2 
 
 
 
 D ≠ 0 => a ≠ 2 => S.P.D 
 
 
 
 
em função dos parâmetros a e b 
 
 
 
Para S.P.I e S.I: x-2y+2z = 1 
 -x+2y-2z = b a ≠ 2 => S.P.D 
 0+0-0= 1+b a = 2eb = -1 => S.P.I 
 b = -1 S.P.I a = 2eb ≠ -1 => S.I 
 b ≠ -1 S.I
1 - 1 x 4 
7) Resolva a equação matricial = usando a regra de Cramer 
2 5 y 1 
 
 
 
2.2.2.1 = 2.1 1 -1 4 -1 1 4 
 = 5+2 = 7 = 20+1 = 21 = 1-8= - 7 
 x-y = 4 2 5 1 5 2 1 
 
 2x +5y = 1 
 
 x= 21/7 = 3 y=-7/7= -1 
 
 
8) Determinar os valores de a e b que tornam o sistema abaixo seja possível e determinado. 
 Em seguida, resolver o sistema. 
 
 3x - 7 y = a 
 
x + y = b Substituindo a 1ª e a 2ª equação na penúltima, temos: 

5x + 3 y = 5a + 2b 5x+ 3y = 5(3x-7) + 2(x+y)=1 
 x + 2 y = a + b – 1 5x+3y = 5(3x-7) + 2(x+y) 
 5x+3y = 15x-35+2x+2y 
 35 = 10x+2x-y 
 -y+12x= 35, Logo: -3x+y= -8 
 12x-y=35 
 
 9x=27 => x=3 
Logo: Substituindo : -3x+y= -8 
x+y=b => b= 4 -3.3+y= -8 => y= 1 
 3x-7y= a => a= 2 S = { (x=3 e y= 1, a= 2 e b= 4) }
 
9) Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a 
manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas de insumo A e 1 grama do insumo B; para 
cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas 
de A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é de R$ 
3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z 
manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 Kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine 
quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. 
 
 x= quantidade de quilos de x 3x+2y+4z= 2900 I 
 y= quantidade de quilos de y 2x+y+3z= 1900 II 
 z= quantidade de quilos de z x+3y+5z= 2400 III 
 
 II + III – I = 2y+4z= 1400 ÷2 
 y+2z= 700. IV 
 2. III- II = 5y+7z= 2900 
 5. IV-V= 3z=600 => z = 200 
 
 Logo: y+2z= 700 
 y+2.200= 700 => y= 300 
 Logo: x+3y+5z= 2400 
 x+3.300+5.200=2400 => x= 500 
 
 S: {Foram vendidos 500 kg do produto X, 300 kg do produto Y e 200 kg do produto Z}. 
 
 ax - y = 8 
10) Determine o valor de a para que o sistema 
 2x + 4 y = 6 
 
 
 a -1 
 = 4a + 2 = 0 
 2 4 4a = -2 
 a = -2/4 = -1/2 
 
 S: { Para S.P.D a ≠ -1/2 } 
 
 seja possível e determinado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x + 2 y =1 
11) Determine o valor de k de modo que o sistema 
 4x + 8 y = k 
 
 
 1 2 
 = 8-8= 0 
 4 8 
 
 
1 2 
 = 8 - 2k = 0 => k=4 S.P.I 
 k 8 
 
S: {Para S.I k ≠ 4 }. 
 
seja impossível (SI). 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os. 
 


 x + y + 2z = 4 

a) 2x -3 y + z = 0 
5x - y - z = 3 
 
 
 
1 1 2 1 1 4 1 2 4 1 x= Dx/D 
 x= 37/37 
2 -3 1 2 -3 Dx = 0 -3 1 0 -3 x= 1 
 
 5 -1 -1 5 -1 3 -1 -1 3 -1 
 
D= 3+5-4+2+1+30 Dx= 12+3+0+0+4+18 
D= 37 Dx= 37 
2x-3y 
 y= 3-2.1 2. (1)= 3. (3-2z)+z=0 
 y= 3-2 2-9+6z+z=0 
 y= 1 z= 1 S.P.D S:{ 1, 1 , 1} 
 
 
 x + y + z = 6 
 
b) 3x + 2y - z = 4 
 5x - 4 y + 3z= 6 
 
 
1 1 1 1 1 6 1 1 6 1 x= Dx/D 
 x= -34/-34 
3 2 -1 3 2 Dx = 4 2 -1 4 2 x= 1 
 
 5 -4 3 5 -4 6 -4 3 6 -4 
 
D= 6-5-12-9-4-10 Dx= 36-6-16-12-24-12 
D= -34 Dx= -34 
 
 x+y+z = 6 3x+24-z=4 
 1+y+z = 6 3.(1)+2.(5-z)-z=4 
 y+z=5 3+10-2z-z=4 
 y=5-z -3z = -9 
 y= 5-3 z= 3 
 y= 2 S.P.D S:{ 1, 2 , 3} 
 
 x + y + 2z = 5 
c) 2x + 2y + 4z = 10 
 3x + 3y + 6z = 14 


y= 3-27 1 1 2 1 1 5 1 2 5 1 1 5 2 1 5 
 
D= 2 2 4 2 2 Dx = 10 2 4 10 2 Dy= 2 10 4 2 10 
 
 3 3 6 3 3 14 5 6 14 3 3 14 6 3 14 
 
 
D = 12+12+12-12-12-12 Dx= 60+56+60-60-60-56 Dy= 60+56+60-56-60-60 
 
D = 0 Dx= 0 Dy= 0 
 
 
 
 
 1 1 5 1 1 
 
 
Dz= 2 2 10 2 2 S: {S.P.I , pois Dx=Dy=Dz=0} 
 
 
 3 3 14 3 3 
 
 
Dz = 28+30+30-28-30-30 
 
Dz= 0 
 
 
 
 
 x + y + 3z = 4 
 
d) 2x - 3 y +4z = 5 
 3x - 2 y + 7 z = 9 
 
1 1 3 1 1 4 1 3 4 1 
 
2 -3 4 2 -3 Dx = 5 -3 4 5 -3 
 
 3 -2 7 3 -2 9 -2 7 9 -2 
 
D= -21+12-12-14+B+27 Dx= -84+36-30-35+16+81 
D= 0 Dx= -16 S: {S.P.I} 
 
 
 
13) Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a 
 x +y -z = 0 

para que o sistema x - 3 y +z = 1 admita infinitas soluções. 
 -2 y +z = a 
 
1 1 -1 1 1 x+y-z=0 
1 -3 1 1 -3 x-3y+2=1 
0 -2 1 0 -2 2x-2y=1 => 2(x-y)= 1 => x-y= 1/2 => y= -1/2+ x 
 
-3+0+2-(0-2.1)=0 Então: x+x-1/2 -2=0 -2y+2=a 
a = ? 2x-1/2 = 2 -2+2= a 
 -2(x-1/2)+2/x-1/2=a 
 S: { a = 1/2 } 
 
 
 



 x - y + 2z = 2 

14) O sistema linear 2x + 3 y + 4z = 9 : 
 x + 4 y +2z = 7 
 
a) admite solução única; 
b) admite infinitas soluções; 
c) admite apenas duas soluções; 
d) não admite solução; 
N.D.A. 
 
 
1 -1 2 1 -1 2 -1 2 2 -1 
 
23 4 2 3 x = 9 3 4 9 3 
 
1 4 2 1 4 7 4 2 7 4 
 
= 6 -4 +16 - ( 6 +16-4) = 0 = 12-28+72-(42+32-18) = 0 
 
S: { S.P.I, pois admite infinitas soluções } 
 
 
 
 x +2 y -3z = 1 

15) Determine o valor de c para que o sistema 3x - y +2z = 2 seja possível 
 x + 8z - 5y = c 
 
1 2 -3 1 2 1 2 -3 1 2 
 
3 -1 2 3 -1 Dx = 2 -1 2 2 -1 
 
 1 -5 8 1 -5 c -5 8 c -5 
 
D= -8+4+45-48+10-3 Dx= -8+4c+30-32+10-3c 
D= 0 S.P.I c=0 
 
S: { Para que o Sistema seja possível, qualquer valor de c ≠ 0 } 
 
 
 
 x + y + z = 1 

16) Dado o sistema S = x + 3 y + az = -3 , determine: 
 x + ay + 3z = 2 
 
a) Os valores de a para que S seja possível e determinado 
b) Os valores de a para que S seja possível 
e indeterminado. c) Os valores de a para 
que S seja impossível 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 1 1 1 1 1 
 
1 3 2 1 3 
 
1 a 3 1 a 
 
Det = 9+a+a-3-a² -3 
Δ = (2)² -4.(-1).3 
Δ = 16 
x = -2 ± 4 / -2 
x’= -1 e x’’ = 3 
 
S: { a ≠ -1 e a ≠ 3 } 
 
b) Não existe valor de a. 
 
c) Det = 9+a+a-3-a²-3 
 -a²+2a+3 =0 
 Δ = 16 
 x = -2 ± 4 / -2 
 x’= -1 e x’’ = 3 
 
S: { a = -1 e a = 3 } 
 
17) Observe a tabela de compras realizadas por 
Mariana. Sabendo que ela adquiriu a mesma 
quantidade de canetas e cadernos, além do 
maior número possível de lapiseiras, o 
número de corretores comprados foi igual a: 
 
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 
 
 
 
CAN = Canetas 
LAP = Lapiseiras 
CAD= Cadernos 
Cor= Corretivos 
 
3 CAN+5LAP = 50, então: LAP = 50-3CAN/5 
O número de canetas deve ser múltiplo de 5 para que o número de lapiseiras seja inteiro. 
LAP = 50-3.5/5 = 7 
 
Como o número de canetas = número de cadernos 
4 CAD+2COR=44 
4.5+2COR=44 
2COR=24 
COR = 12 
 
 
 
S: { Alternativa b) 12 corretivos} . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2x(x 1) + y(x 1) = 4(x 1) 
18) No sistema mostrado, x e y são números reais: . 
 x 2 + y = 7 
 
A soma de todos os valores de x que satisfazem a esse 
sistema é igual a: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
 
(x-1).(2x+y-4) => x-1 = 0 => x=1 2x+y-4=0 .(-1) 
 
x²+y=2 x²+y=7 
 
x²+y=7 x²-2x-3=0 
y= -x²+7 x’= -1 
Para x=1 x’’= 3 
y = -1+7 
y= 6 
 
S: { Alternativa c)3 , pois a soma dos valores = 1-1+3 = 3 } 
 
 
19) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingressos ganhos para um show. Se cada um de 
seus filhos ganhar 4 ingressos, sobrarão 5 ingressos; se cada um ganhar 6 ingressos, ficarão 
faltando 5 ingressos. Podemos concluir que Jorge ganhou o número total de ingressos 
correspondente a: 
 
a) 15 b) 25 c) 29 d) 34 
 
 
y - 4x = 5 
 
y - 6x = -5 .(-1) 
 
 
y - 4x = 5 
 => 2x = 10 Logo: y-4.5 = 5 
-y + 6x = 5 x = 5 y-20 = 5 
 y = 25 
 
 
S: { Alternativa b) 25 ingressos. } 
 
 
20) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a 
R$12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um 
comerciante que tenha gastado R$ 440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha 
comprado mais patos do que marrecos. O número de patos que esse comerciante comprou foi igual 
a: 
 
a) 25 b) 20 c) 12 d) 10 
 
 
P = Patos 
M = Marrecos 
G = Gansos 
 
 
 
 P+M+G = 50 .(-5) -5P-5M-5G = -250 
 => => 7P +10M = 190 
 12P+5G+15M= 440 12P+15M+5G = 440 e P > M 
 
 
Como marrecos é múltiplo de 10, os patos também devem ser múltiplos de 10. 
 
Para P = 10 7.10+10P = 190 
 70 +10M = 190 
 M = 12 (Não serve, pois P > M ) 
 
Para P = 20 7.20+ 10M = 190 
 140+ 10M = 140 
 M = 5 
Logo, P = 20 e M = 5 
 
 
S: { Alternativa b) 20 patos. } 
 
 
21) Uma família deseja organizar todas as fotos de uma viagem em um álbum com 
determinado número de páginas, sem sobra de fotos ou de páginas. Para isso, foram testados dois 
critérios de organização. O primeiro critério, que consistia na colocação de uma única foto em cada 
página, foi descartado, uma vez que sobraram 50 fotos. Com a adoção do segundo critério, a de uma 
única foto em algumas páginas e de três fotos nas demais, não sobraram fotos nem páginas, e o 
objetivo da família foi alcançado. O número total de páginas em que foram colocadas três fotos é igual 
a: 
 
a) 15 b) 25 c) 50 d) 75 
 
P = Páginas 
F = Fotos 
 
F = P+50 
x= Pag com uma foto 
1x+3 (p-x) = F 
Logo, P-x = Páginas com 3 fotos 
1x+3P-3x = P.50 
2P -2x = 50 => P-x = 25 
 
S: { Alternativa b) 25 páginas. } 
 
22) Em uma viagem ao exterior, o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 
50 galões de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, 
durante a semana da viagem, valia 1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8L. 
Durante essa semana, o valor, em reais, de 1L de gasolina era de: 
 
a) 1,28 b) 1,40 c) 1,75 d) 1,90 
 
 
G = GALÃO 
 
50g = 152 dólares 
 
1g = 152/50 = 3,04 dólares Logo: 1L = 3,04/3,8 = 0,8 dólar/L 
 
1g = 3,8 Litros = 3,04 dólares Se o dólar = 1,60 R$ , Então: 1,6.0,8 = 1 L 
 1L = 1,28 R$ 
 
S: { Alternativa a) 1,28 reais. }