ESTACIO DE SÁ Algebra Linear Matrizes

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ATIVIDADE I – ALGEBRA LINEAR 
Professor: Cleveland Lima Soares Data: 19/08/2013 
Aluno: 
 
1. Propriedades algébricas da adição de matrizes e da multiplicação por escalar 
 Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem, e c e d escalares. Então: 
a. 
ABBA
 (comutativa) 
b. 
CBACBA
 (associativa) 
c. 
AOA
 
d. 
OAA
 
e. 
cBcABAc
 (distributiva) 
f. 
dAcAAdc
 (distributiva) 
g. 
AcddAc
 
h. 
AA1
 
 
2. Propriedades algébricas da multiplicação de matrizes 
Sejam A, B e C matrizes, cujas ordens possibilitem que as operações indicadas sejam realizadas, e k um escalar. 
Então: 
 
a. 
CABBCA
 (associativa) 
b. 
ACABCBA
 (distributiva à esquerda) 
c. 
BCACCBA
 (distributiva à direita) 
d. 
kBABkAABk
 
e. 
nm AIAAI
 se A for m x n (identidade da multiplicação) 
 
3. Propriedades algébricas da matriz transposta 
Sejam A e B matrizes, cujas ordens são tais que as operações indicadas podem ser realizadas, e k e r escalares. 
Então: 
 
a. 
AA
TT
 
b. 
TTT BABA
 
c. 
TT AkkA
 
d. 
TTT ABAB
 
e. 
rTTr AA
 para todos os inteiros não negativos r 
 
4. Propriedades das matrizes inversas 
Se A e B são matrizes invertíveis, c um escalar e n um inteiro não negativo. Então: 
 
a. 
AA
11
 
b. 
11 1 A
c
cA
 
c. 
111 ABAB
 
d. 
TT AA 1
1
 
e. 
nn AA 1
1
 
 
 
 
 
ATIVIDADE I – ALGEBRA LINEAR 
Professor: Cleveland Lima Soares Data: 19/08/2013 
Aluno: 
 
Exercícios 
 
1) Determine os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais. 
 
36
440 22 nm
A
 e 
36
1341
B
 
 
2) Dadas as matrizes, 
5736
1200
1285
A
, 
894
352
683
071
B , 
480
513
312
C
 e 
2542
0123
1210
0385
D , 
 
calcule: 
 
a. 
T
T ABC
2
3
1
 
b. 
BDABA T
T
 
c. 
3CCAB TT
 
d. 
CBAT
2
1
 
e. 
TTT DBA3
 
 
3) Dadas as matrizes, 
011
111
121
A
, 
121
111
011
B
, 
112
111
121
C
 e 
112
313
121
D
, 
encontre a matriz elementar que satisfaça a equação dada: 
 
a. 
BEA
 
b. 
AEB
 
c. 
CEA
 
d. 
AEC
 
e. 
DEC
 
f. 
CED
 
g. 
DEA
 
 
4) Calcule a inversa das matrizes abaixo utilizando o método indicado em cada item. 
a. 
622
442
1004
A
, por Gauss-Jordan. 
 
 
ATIVIDADE I – ALGEBRA LINEAR 
Professor: Cleveland Lima Soares Data: 19/08/2013 
Aluno: 
 
b. 
2496
330
1263
B
, por Gauss-Jordan. 
 
5) Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e classifique-os como compatível 
determinado, compatível indeterminado ou incompatível. Informe também a característica das 
matrizes e o grau de liberdade do sistema. 
 
a. 
10842
24
5735
zyx
zyx
zyx
 
 
b. 
10323
23643
1032
zyx
zyx
zyx
 
 
c. 
64
642
0
zyx
zy
yx
 
 
6) Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que seja 
compatível o sistema abaixo. Caso seja compatível, qual o grau de liberdade do sistema? 
 
czy
bzyx
azyx
44
352
8124
 
 
7) Um comerciante de café vende três misturas de grãos. Um pacote com a “mistura da casa” 
contém 300 gramas de café colombiano e 200 gramas de café tostado tipo francês. Um pacote com 
a “mistura especial” contém 200 gramas de café colombiano, 200 gramas de café queimado e 100 
gramas de café tostado tipo francês. Um pacote com “mistura gourmet” contém 100 gramas de café 
colombiano, 200 gramas de café queimado e 200 gramas de café tostado tipo francês. O 
comerciante tem 30 quilos de café colombiano, 15 de café queimado e 25 de café tostado tipo 
francês. Se ele deseja utilizar todos os grãos de café, quantos pacotes de cada mistura deve 
preparar? 
 
8) Uma fábrica produz três produtos: banheiras, pias e tanques, e os envia para armazenamento 
em dois depósitos. O número de unidades enviadas de cada produto para cada depósito é dado 
 
 
ATIVIDADE I – ALGEBRA LINEAR 
Professor: Cleveland Lima Soares Data: 19/08/2013 
Aluno: 
 
pela matriz 
125100
100150
75200
A
, em que 
ija
é o número de unidades enviadas do produto i para o 
depósito j, e os produtos são colocados em ordem alfabética. O custo de remessa de uma unidade 
de cada produto, por caminhão, é R$ 1,50 por banheira, R$ 1,00 por pia e R$ 2,00 por tanque. Os 
custos unitários correspondentes ao envio por trem são: R$ 1,75, R$ 1,50, e R$ 1,00. Organize 
esses custos em uma matriz B e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os 
custos de remessa – por caminhão e por trem – de seus produtos para cada um dos dois 
depósitos. 
 
9) Em relação ao exercício anterior, suponha que o custo unitário de distribuição dos produtos para 
as lojas seja o mesmo para todos os produtos, mas que varie dependendo do depósito por causa 
das distâncias envolvidas. Custa R$ 0,75 para distribuir uma unidade do depósito 1 e R$ 1,00 para 
distribuir uma unidade do depósito 2. Organize esses custos em uma matriz C e use a multiplicação 
de matrizes para calcular o custo total de distribuição de cada produto. 
 
 
27) Classificar e resolver os sistemas de equações lineares: 
 
a) 2x – 3y = 4 c) x – y = 0 e) x + 2y +3z =10 
 6x – 9y = 15 2y + = 6 3x + 4y + 6z = 23 
 x + y + 4z = 6 3x + 2y + 3z = 10 
 
 
b) 2x + 4y + 6z = -6 d) a1 + 2a2 = -4 f) 5x – 3y – 7y = -5 
 3x – 2y – 4z = -38 -3a1 + 4a2 = -18 4x – y – z = 2 
 x + 2y + 3z = -3 2a1 – a2 = 7 -2x + 4y + 8z = 10 
 
 
 
28)Para que o sistema 
 
 
admita solução única, deve-se ter: 
 
29) Para qual valor de K o sistema não admite uma única solução?