Estatística - UVA - Aula 08

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Variáveis Aleatórias e 
Distribuição de 
Probabilidade 
Profª Adriana Maria Balena Tostes 
Aula 8 
 Como já vimos, o conjunto de todos os possíveis 
resultados de um experimento aleatório é o espaço 
amostral. 
 Os elementos desse conjunto podem ser 
numéricos ou não. 
 Por exemplo, se o experimento for escolher um 
aluno de uma turma e registrar sua altura, teremos um 
conjunto numérico, porém se indagarmos o time de 
futebol preferido do aluno, teremos um conjunto não 
numérico. 
 Como em muitas situações experimentais 
precisamos atribuir um número real x a todo elemento do 
espaço amostral, vamos definir o conceito de variável 
aleatória. 
Introdução 
 Seja Ω o espaço amostral associado a um 
experimento aleatório. Uma função X que associa 
a cada elemento Ω um número real é 
denominada variável aleatória. 
 Observe que, apesar do nome, variável 
aleatória é uma função cujo domínio é o conjunto 
Ω, e a imagem o conjunto de todos os valores 
possíveis de X. 
 Variáveis aleatórias tem um componente 
que varia ao acaso, seus resultados são 
imprevisíveis, pois cada um resulta de fatores não 
controlados. 
Definição de Variável Aleatória 
Exemplo 
E: lançamento de duas moedas 
 
X: número de caras obtidas nas duas moedas, onde C=cara 
e K=coroa 
 
Ω={CC, CK, KC, KK} 
 
X=0 à corresponde ao evento (K,K) com probabilidade 
¼ 
X=1 à corresponde ao evento (C,K) ou (K,C) com 
probabilidade 2/4 
X=2 à corresponde ao evento (C,C) com probabilidade 
¼ 
 X={0,1,2} 
 
 
 Exemplos: 
1) X = número de acidentes com aviões de uma cia 
den t re se te ac iden tes aé reos se lec ionados 
aleatoriamente. X = {0, 1, 2 , 3 , 4, 5, 6, 7} 
 
2) X = número de mulheres entre 10 empregados recém-
admitidos. X = {0, 1, 2 , 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
 
3) X = número de alunos que não compareceram a aula 
de estatística hoje. X = {0, 1, 2 , 3 , ... , 60} 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas 
Uma variável aleatória X é dita discreta se assume 
valores num conjunto finito ou infinito enumerável. Seu 
valor pode originar de um processo de contagem. 
Variáveis Aleatórias Contínuas 
Uma variável aleatória X é dita contínua se assume 
valores num conjunto infinito não enumerável ou seja, se 
a imagem de X é um intervalo, ou uma coleção de 
intervalos. As variáveis aleatórias contínuas, resultam de 
um processo de medição. 
 
Exemplos: 
 
X = altura de um aluno do sexo masculino selecionado 
aleatoriamente. X = ]0, 2,5m[ 
 
X= tempo de vida das lâmpadas produzidas em uma 
indústria. X = [0, ∞[ 
 
 
 É o conjunto de todos os valores que podem ser 
assumidos por uma variável aleatória discreta, com as 
respectivas probabilidades. 
 A probabilidade de que cada variável aleatória X 
assuma o valor x é descrita em uma tabela ou por um 
modelo matemático e se chama distribuição de 
probabilidade de X, que podemos representar por P(X=x), 
ou simplesmente P(x) e apresenta as seguintes 
propriedades: 
 
 
Distribuição de Probabilidade 
E: lançamento de um dado 
 
X: ponto obtido no lançamento de um dado 
Exemplo: 
x P(X=x) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
Total 1 
E: lançamento de dois dados 
 
X: soma das faces dos dois dados 
x P(X=x) 
2 1/36 
3 2/36 
4 3/36 
5 4/36 
6 5/36 
7 6/36 
8 5/36 
9 4/36 
10 3/36 
11 2/36 
12 1/36 
Total 1 
Representação Gráfica 
 Se X for uma variável aleatória discreta, define-se 
Função de Distribuição Acumulada em um ponto x como 
a soma das probabilidades dos valores de xi menores ou 
iguais a x. Isto é: 
Função de Distribuição Acumulada de 
Probabilidade. 
Função Repartição de Probabilidades 
FDA da v.a. X = “máximo das faces de 2 
dados” é dada por: 
Exemplo: 
Esperança (Média), Variância e Desvio-padrão de variáveis 
aleatórias discretas 
Consideremos o experimento aleatório “lançamento de um dado”, mas agora um 
dado que sabemos não ser equilibrado. Como poderíamos proceder para calcular 
a probabilidade de cada face? 
Uma resposta, talvez intuitiva, seria lançar esse dado um grande número de vezes 
e observar o número de ocorrências de cada face. As frequências relativas nos 
dariam, então, o que poderíamos pensar como sendo a probabilidade de cada 
evento simples (face). É de se esperar que, quanto maior o número de repetições 
do experimento (lançamento do dado), mais próximas das “verdadeiras” 
probabilidades estariam essas frequências relativas. Esta é, assim, a definição de 
probabilidade de um evento através da frequência relativa: 
 
Pr(A) = número de ocorrências de A 
 número de repetições do experimento 
onde o número de repetições do experimento deve ser grande. 
Ao trabalharmos com variáveis aleatórias, podemos pensar também nas 
probabilidades dos diferentes valores da variável como sendo frequências relativas 
em um número sempre crescente de repetições do experimento, ou seja, 
podemos pensar as probabilidades como sendo limites das frequências relativas. 
Dessa forma, definiremos medidas de posição e dispersão para distribuições de 
probabilidades de variáveis aleatórias de maneira análoga à utilizada em 
distribuições de frequências 
Esperança matemática ou média de 
uma variável aleatória discreta 
 Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores 
x1, x2,... com probabilidades p1, p2,... respectivamente. 
 
 A média ou esperança de X é definida como sendo a soma 
de todos os produtos possíveis da variável aleatória pela 
respectiva probabilidade: 
Exemplos: 
1- As chamadas diárias do corpo de bombeiros 
apresentam a seguinte distribuição de probabilidades. 
Calcule o valor em torno do qual estão concentrados os 
resultados da variável aleatória. 
—  X= número de chamadas/dia 
x P(X=x) x. P(X=x) 
0 0,10 0 
1 0,15 0,15 
2 0,30 0,6 
3 0,25 0,75 
4 0,15 0,6 
5 0,05 0,25 
Total 1 2,35 
Logo, E(X)=2,35 
chamadas/dia 
2- Em determinado setor de uma lo ja de 
departamentos, o número de produtos vendidos em um 
dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a 
seguinte distribuição de probabilidades (esses números 
foram obtidos dos resultados de vários anos de 
estudo): 
Qual o número médio de produtos vendidos por 
funcionário? 
 0 0,4 0,4 0,3 0,4 0,25 0,3 =2,05 
A esperança de uma variável aleatória X é uma 
medida de posição. No entanto, é possível que 
duas variáveis bem diferentes tenham a mesma 
esperança, por isso é importante o conceito de 
variância. 
Variância e Desvio-padrão de 
uma variável aleatória 
 
Exemplo 
—  Calcular a variância e o desvio padrão da 
distribuição das chamadas diárias do 
corpo de bombeiros. 
x P(X=x) x. P(X=x) x2 . P(X=x) 
0 0,10 0 0 
1 0,15 0,15 0,15 
2 0,30 0,6 1,2 
3 0,25 0,75 2,25 
4 0,15 0,6 2,4 
5 0,05 0,25 1,25 
Total 1 2,35 7,25 
E(X)= 7,25-(2,35)2 = 1,73 
DP(X) = 1,31 
Exercícios 
1) Encontre a fdp e a FDA da v.a. X=número de caras no lançamento de três moedas. 
  
2) A demanda de certo produto pode ser vista como uma v.a. X cuja fdp é estimada por: 
Nº de 
unidades 
demandadas 
P(X=xi) 
a) Determine P(X=4) 
 
b) Obtenha FDA 
 
c) Calcule P(X≤3,5) 
 
1 0,25 
2 0,45 
3 0,15 
4 ? 
 
3) Faça X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. 
Determine: 
a) Tabela de distribuição de 
probabilidade de X 
b) p(3 ≤ x ≤ 10) 
c) p(x > 7) 
d) p(x ≤ 5) 
e) Probabilidade de soma 6 
f) Probabilidade de se obter pelo 
menos soma 3 
 
g) F(4) 
h) F(8) 
i) F(15) 
j) F(1) 
k) F(5,5) 
l) F(12) 
 
 
4) Em determinado setor de uma loja de departamentos, o númerode produtos vendidos em 
um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de 
probabilidades (esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo): 
 
 
Qual o número médio de produtos vendidos por funcionário? 
 
5) Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de um certo aparelho. O quadro a 
seguir dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma 
semana. Se é de R$500,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado em uma 
semana? 
 
 
6) A Transportadora Yuki possui uma frota de quatro caminhões de aluguel. Sabe-se que o 
aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número X de caminhões alugados é a 
seguinte: 
 
Pede-se calcular o número médio diário de caminhões alugados, bem como o desvio 
padrão. 
7- Um fabricante de pneus de automóveis conservou os 
registros da qualidade de seu produto e obteve o seguinte 
quadro de valores baseado nos últimos seis meses de 
produção. 
 
 Nº de 
defeitos 
0 1 2 3 4 5 ≥ 6 Total 
Percentagens 60 22 8 5 3 2 0 
x. P(X=x) 
 
0 0,22 0,16 0,15 0,12 0,1 0 0,75 
x2. P(X=x) 
 
0 0,22 0,32 0,45 0,48 0,5 0 1,97 
Calcular a média e o desvio-padrão do número de 
defeitos. 
Respostas: 
E(X) = 0,75 
DP (X) = 1,18 
8- As probabilidades de que haja em cada 
carro que vai a Juiz de Fora num sábado 1, 
2, 3, 4, 5 ou 6 pessoas são respectivamente: 
0,05; 0,20; 0,40; 0,15; 0,12; 0,08. Qual o 
número médio de pessoas por carro? 
Chega-se em Juiz de Fora 4000 carros por 
hora. Qual o número esperado de pessoas 
que chegam na cidade em 10 horas de 
contagem? 
E(X)=3,33 n=4000.10.3,33 = 133.200 
Respostas: 
1) fdp 
 
FDA 
 
 
2) a) 0,15 b) F(1) = 0,25 F(2)= 0,70 F(3) = 0,85 F(4)= 1 c) 0,85 
3) 
 
 
4) 2,05 5) E(x) = 2,7 L=1350,00 
 
6) 
 
7) E(X) = 0,75 DP (X) = 1,18 8) n=133.200