CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
CCE1134_A3_201608216608_V1 Lupa 
 
 
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1. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
R: (-sent, cost,1) 
 
 
2. 
 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
R: 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. 
Considere a resposta em t=π4 
R: (-22,22,π2) 
 
7. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
(1-cost,sent,0) 
 
 
8. 
 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
R: a(t)=3i+8j-6k 
 
 
 
Seja a equação diferencial 2dydx+3y=e-x. Qual dentre as opções abaixo não é uma solução da equação 
diferencial proposta, sabendo que y=f(x) ? 
R: y=ex 
 
2. 
 
 
Marque dentre as opções abaixo a solução da equação diferencial dydx=(1+y2).ex para x 
pertencente a o inervalo [-π2,π2] 
R: y=tg(ex+C) 
 
3. 
 
 
Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: xy' + y = y² 
R: xy = c(1 - y) 
 
 
4. 
 
 
Resolva e indique a resposta correta: rsecθdr-2a²senθdθ=0 
R: r² - 2a²sen²θ = c 
 
 
5. 
 
Dada a ED xdydx=x2+3y; x>0, indique qual é o único fator de integração correto: 
 
R: 1x3 
 
 
6. 
 
 
Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: ey.(dydx+1)=1. 
R: lney-1=c-x 
 
 
7. 
 
 
Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: y'tgx - 2y = a. 
 
 
sen² x = c(2y + a) 
 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva 
então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado por:v(t)=dr(t)dt 
 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de sua 
velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
 
 2. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen
2
(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
R: -6sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 3. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
R: ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
4. 
 
 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2, et, tet). Indique 
a única resposta correta. 
R: (2t,et,(1+t)et) 
 
 5. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação 
polar r
2
 = 4r cosΘ 
R: (x - 2)
2
 + y
2
 = 4 
 
 
6. 
 
 
Determine o versor tangente à curva de função vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no 
ponto t=π4. 
R: (12)i -(12)j+(22)k 
 
 7. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular 
constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única 
resposta correta que determina a velocidade em um tempo t qualquer. 
Observação: a > 0. 
R: - awsenwt i + awcoswtj 
 
 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA 
CCE1133_A1_201608216608_V2 Lupa 
 
 
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1. 
 
 
Determinar o vetor unitário de u=(2,-1,3). 
R: (2/V14 , -1/V14 , 3/V14) 
 
2. 
 
 
Seja o vetor a→=5i→-3j→, encontre seu versor: 
R: 53434i→-33434j→ 
 
3. 
 
 
 Indique a única resposta correta. Um vetor é chamado de versor se tem 
comprimento: 
R: 1 
 
 
4. 
 
 
Determinar o valor de a para que o vetor u=ae1+2e2+3e3 seja combinação linear dos 
vetores v=e1+4e2+5e3 e w=2e1+e3. 
R: 3/2 
 
 
5. 
 
 
Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique 
determinado? 
R: Direção 
Intensidade 
e Sentido 
 
 
6. 
 
 
Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o 
ângulo formado pelos vetores u e -v. 
R: 120º 
 
7. 
 
 
Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o 
mesmo comprimento. Sendo os vetores u→ e v→ representados, respectivamente, 
pelos segmentaos orientados AB^ e CD^ , temos: 
R: u→ = v→ ⇔ AB^~CB^ 
 
 
8. 
 
 
Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o 
ângulo formado pelos vetores -u e v. 
R: 120º 
 
 
 
Dados os pontos A = (1,3), B = (-2, 3), C = (2, -4) e D = (5, -1), determine as coordenadas 
do vetor V, tal que V = 2.VAB+3.VAC - 5VAD. 
R: V = (-23,-1) 
 
 
2. 
 
 
Na soma de dois vetores de força, com módulos iguais a 2N e 3N, respectivamente, os 
módulos das forças podem variar no intervalo de: 
R: 1N a 5N 
 
 
3. 
 
 
Dados os vetores u=(2,-4) e v=(-5,1), determinar o vetor x tal que: 2(u-v)+1/3 x = 3u-
x. 
R: (-6,-3/2) 
 
 
4. 
 
 
Determine o ponto médio do segmento AB, sendo A = (3, 1, 0) e B = (1, 5, 2). 
R: (2,3,1) 
 
 
5. 
 
 
Dados os vetores no plano, u = 3i - 4j e v = 2i + 2j o vetor 2u + v é: 
R: 8i - 6j 
 
 
 
6. 
 
 
Dados os pontos A(-1,3), B(3,-1) e C(2,-4), determinar o ponto D de modo que o vetor 
CD seja igual a 1/4 do vetor AB. 
R: D(3,-5) 
 
 
7. 
 
 
Dados os vetores u=(5,x,-2) , v=(x,3,2) e os pontos A(-1,5,-2) e B(3,2,4), determinar o 
valor de x tal que u.(v+BA)=10. 
R: 2 
 
8. 
 
 
Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de 
coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos 
principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da 
cidade, representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto 
turístico diferente. Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do 
Império, que é representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). 
Já o outro turista foi para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa 
pelo ponto C de coordenadas cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, 
qual das alternativas abaixo representa, respectivamente os vetores AB e BC? 
R: AB = 3i + 2j e BC = 1i + 1j 
 
 
 
1. Os valores de x e y nas componentes dos vetores para que a igualdade x(1,0) + y(0,1) 
= (4,7) seja verdadeira são: 
2. R: x = 4 e y = 7 
 
 
 
3. 
 
 
 Indique a única resposta correta. Um vetor é chamado de versor se tem 
comprimento: 
R: 1 
 
 
4. 
 
 
Determinar o valor de a para que o vetor u=ae1+2e2+3e3 seja combinação linear dos 
vetores v=e1+4e2+5e3 e w=2e1+e3. 
R: 3/2 
 
5. 
 
 
Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado? 
R: Direção, intensidade e sentido. 
 
 
6. 
 
 
Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o 
ângulo formado pelos vetores u e -v. 
R: 120º 
 
 
7. 
 
 
Determinar o vetor unitário de u=(2,-1,3). 
R: (2/V14 , -1/V14 , 3/V14) 
 
 
8. 
 
 
Seja o 
vetor a→=5i→-
3j→, encontre seu 
versor: 
R: 53434i→-
33434j→ 
 
1. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma 
equação cartesiana para a equação 
polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
 
y = 2x - 4 
 
y = x - 4 
 
y = x 
 
y = x + 1 
 
y = x + 6 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t 
= 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 
1)j + 2tk 
 
 
 
2i 
 
2i + 2j 
 
2i+ j 
 
2j 
 
i/2 + j/2 
 
 
 
3. 
 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 
1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y 
 
 
fx=ey e fy=3xey 
 
fx=0 e fy=0 
 fx=e3y e fy=3xe3y 
 
fx=π3y e fy=3πe3y 
 
fx= -e3y e fy= -3xe3y 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta 
se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. 
 
 
r'(t)=v(t)=14i + j 
 r'(t)=v(t)=13i - 2j 
 
r'(t)=v(t)=32i - j 
 
r'(t)=v(t)=15i - 3j 
 r'(t)=v(t)=12i - j 
 
 
 
5. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
 
6. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
 
-cost j + t2 k + C 
 
sent i - t2 k + C 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
 
 
7. 
 
 
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas 
polares vamos obter: 
 
 
( 4, π/6) 
 
( 6, π/2) 
 
( 2, π/6) 
 
( 6, π/6) 
 
( 2, π/2) 
 
 
 
8. 
 
 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa 
função quando t → 2 é dado por: 
 
 
〈2,3,11〉 
 
〈2,4,12〉 
 
〈4,8,7〉 
 
〈6,8,12〉 
 
〈4,0,10〉 
1. 
 
 
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
 
 
 
(1, 1, -1) 
 
(-1, 0, 1) 
 
(2, 1, -1) 
 
(0, 2, -1) 
 
(0, -1, 1) 
 
 
 
2. 
 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso 
seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k em t = t0 é 
 uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) 
paralela ao vetor v(t) = x'(t0)i + y'(t0)j 
+ z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente 
são: 
x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva 
derivável r(t) é: 
T= v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa 
função quando t → 2 é dado por: 
 
 
〈4,8,7〉 
 
〈2,4,12〉 
 
〈2,3,11〉 
 
〈4,0,10〉 
 
〈6,8,12〉 
 
 
 
4. 
 
 
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas 
polares vamos obter: 
 
 
( 6, π/2) 
 
( 4, π/6) 
 
( 2, π/2) 
 
( 6, π/6) 
 
( 2, π/6) 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta 
se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. 
 
 
r'(t)=v(t)=14i + j 
 r'(t)=v(t)=13i - 2j 
 
r'(t)=v(t)=32i - j 
 
r'(t)=v(t)=15i - 3j 
 r'(t)=v(t)=12i - j 
 
 
 
6. 
 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 
1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y 
 
 fx=π3y e fy=3πe3y 
 
fx=e3y e fy=3xe3y 
 
fx=0 e fy=0 
 
fx= -e3y e fy= -3xe3y 
 
fx=ey e fy=3xey 
 
 
 
7. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
sent i - t2 k + C 
 
-cost j + t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
 
 
8. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 
1. 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule 
a aceleração em t=2s. 
 
 
i+j 
 
i-2j 
 
6i+j 
 
12i-2j 
 
12i+2j 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única 
resposta correta. 
 
 
(sent,-cost,0) 
 
(-sent, cost,1) 
 
(sent,-cost,2t) 
 
(sent,-cost,1) 
 
(sect,-cost,1) 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
(1-cost,sent,1) 
 
(1-cost,sent,0) 
 
(1-sent,sent,0) 
 
(1-cost,0,0) 
 
 
 
4. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de 
fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, 
respectivamente. 
 
 
36 e -60 
 
9 e 15 
 
18 e -30 
 
0 e 0 
 
36 e 60 
 
 
 
5. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
- i + j - k 
 
i - j - k 
 
i + j - k 
 
i + j + k 
 
j - k 
 
 
 
6. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
 
 
7. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor 
posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de 
uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
14 
 
1 
 
9 
 
2 
 
3 
 
 
 
8. 
 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
f ' (t) = e^3t 
 
f ' (t) = 3 j 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
1. 
 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = 
a^2 
 
 
 
3a 
 
2a 
 
a 
 
1/a 
 
sqrt (a) 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada 
por 
 
 
r=tg θ. cossec θ 
 
r =3 cotg θ. sec θ 
 
r=3 tg θ. cos θ 
 
=cotg θ. cossec θ 
 
r =3 tg θ . sec θ 
 
 
 
3. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor 
posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de 
uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
14 
 
2 
 
3 
 
9 
 
1 
 
 
 
4. 
 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) =e^3t 
 
f ' (t) = 3 j 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
(1-cost,sent,0) 
 
(1-sent,sent,0) 
 
(1-cost,sent,1) 
 
(1-cost,0,0) 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
 
 
6. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de 
fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, 
respectivamente. 
 
 
18 e -30 
 
0 e 0 
 
36 e 60 
 
9 e 15 
 
36 e -60 
 
 
 
7. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
- i + j - k 
 
i + j + k 
 
i + j - k 
 
j - k 
 
i - j - k 
2. 
 
 
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. 
 
 
 
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
(2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. 
 
 
 
 
cosxy + senxy 
 
xy.cosxy + senxy 
 
xy.cosxy - senxy 
 
y.cosxy + senxy 
 
x.cosxy + senxy 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + 
y. 
 
 
 
z / (yz + 1) 
 
z / (y - 1) 
 
z / (yz - 1) 
 
z / y 
 
z / ( z - 1) 
 
 
 
 
5. 
 
 
A circunferência \(x ^2+y ^2 = 9\) em coordenadas polares é dada por: 
 
 
 
 
r = 6 
 
r = 3 
 
r = 7 
 
r = 4 
 
r = 5 
 
 
 
6. 
 
 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + 
∂F/∂z é igual a 
 
 
0 
 
1 
 
-2 
 
2 
 
-1 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + 
y2. 
 
 
fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 
fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
1. 
 
 
Determine as derivadas de primeira ordem da função: 
 f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz. 
 
 
 
 
fx = 2x - 3y
2 , fy = x
2 - 3xy + 2y, fz = 2y 
 
fx = 2xy - 3y , fy = x
2 - 3xy + 2z, fz = 2z 
 
fx = xy - 3y , fy = x - 6xy + 2z, fz = 2y 
 
fx = 2xy - 3y
2 , fy = x
2 - 6xy + 2z, fz = 2y 
 
fx = 2xy - y
2 , fy = x
2 - 6x + 2z, fz = y 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a 
função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre
∂f∂z 
 
 cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z) 
 1xyz 
 cos(y+2z)-sen(x+2z) 
 (1x+1y+1z) 
 2(xz+yz-xy)xyz 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
 
12 
 
5 
 
- 11 
 
-12 
 
11 
 
 
 
4. 
 
 
Qual o gradiente da função f(x,y) = -x2 - y + 4 ? 
 
 
 
(-2x, -1) 
 
(-2, 1) 
 
(-2x, 1) 
 
(2x, 1) 
 
(2x, -1) 
 
 
 
5. 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o 
volume do sólido gerado pela 
expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos 
R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 
 
8(u.v.) 
 
17(u.v.) 
 
2(u.v.) 
 
21(u.v.) 
 
15(u.v.) 
 
 
 
6. 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser 
efetuado de seis maneiras diferentes. 
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser 
efetuado de quatro maneiras diferentes. 
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo 
se duas ( ou três ) integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o 
sistema de coordenadas considerado. 
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário. 
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo 
de duas ( ou três ) integrais simples, sempre da mesma forma. 
 As seguintes afirmações são verdadeiras: 
 
 
 
 
2,4,5 
 
1,3,5 
 
1,2,3 
 
2,3,4 
 
1,3,4 
 
 
 
7. 
 
 
O divergente de F(x, y) = 
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale: 
 
 
 
 
2y -3x 
 
6y + 2x 
 
3y - x 
 
9x -6y 
 
2y - x 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida 
pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1): 
 
 
 
4. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função 
f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no 
intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 
 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 8 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 6 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
 
203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24 
 
 
1 ua 
 
1/5 ua 
 
½ ua 
 
1/4 ua 
 
1/3 ua 
 
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise 
as afirmativas abaixo: 
 
I. A função f(t) é contínua para t = 0; 
II. A função g(t) é descontínua para t = 0; 
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; 
Encontramos afirmativas corretas somente em: 
 
 
 
I e II 
 
III 
 
II 
 
I 
 
I, II e III 
 
 
 
3. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
xy cos xy + sen xy 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
 
 
4. 
 
 
Marque a única resposta correta para a derivada parcial da 
função f(x,y) = x2 + y2 + x2y. 
 
 
fx = 2x(1 - y); fy = 2y - x
2 
 
fx = - 2x(1 + y); fy = 2y - x
2 
 
fx = 2x(1 + y); fy = 2y + x
2 
 
fx = x(1 + y); fy = y + x
2 
 
fx = 2(1 + y); fy = y
2 + x2 
 
 
 
5. 
 
 
Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-
z ∫02 dxdydz. 
 
 
 
3 
 
2.5 
 
1.5 
 
2 
 
1 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (5x4 - y)i 
+ (6x.y.z - 3y2)j no ponto (0,1,1). 
 
 
 
-2 
 
-1 
 
-6 
 
-4 
 
-5 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
 
 
π+senx 
 
π 
 
0 
 
2π 
 
cos(2π)-sen(π) 
 
 
 
8. 
 
 
O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 
 
 
 
 
188π 
 
144π 
 
36π 
 
244π 
 
288π 
 
1. 
 
 
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada 
direcional no ponto (0,π,π/2). 
 
 
5√(π^2+ 1) 
 
4√(π^2+ 1) 
 
2√(π^2+ 1) 
 
3√(π^2+ 1) 
 
√(π^2+ 1) 
 
 
 
2. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral 
tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no 
intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
 
35/6 
 
35/3 
 
7 
 
35/4 
 
35/2 
 
 
 
3. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
xy cos xy + sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
 
 
4. 
 
 
Marque a única resposta correta para a derivada parcial da 
função f(x,y) = x2 + y2 + x2y. 
 
 
fx = 2(1 + y); fy = y
2 + x2 
 
fx = 2x(1 - y); fy = 2y - x
2 
 
fx = 2x(1 + y); fy = 2y + x
2 
 
fx = - 2x(1 + y); fy = 2y - x
2 
 
fx = x(1 + y); fy = y +x
2 
 
 
 
5. 
 
 
Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-
z ∫02 dxdydz. 
 
 
 
1.5 
 
2.5 
 
2 
 
3 
 
1 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (5x4 - y)i 
+ (6x.y.z - 3y2)j no ponto (0,1,1). 
 
 
 
-6 
 
-5 
 
-4 
 
-1 
 
-2 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
 
 
π 
 
cos(2π)-sen(π) 
 
π+senx 
 
0 
 
2π 
 
 
 
8. 
 
 
O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 
 
 
 
 
36π 
 
288π 
 
144π 
 
188π 
 
244π 
1. 
 
 
A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V 
= 2i +3j - 6k será: 
 
 
 
-51/7 
 
40/7 
 
26/7 
 
-37/7 
 
12/7 
 
 
 
2. 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, 
 
z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
5/6 
 
2/3 
 
7/6 
 
1/6 
 
1/2 
 
 
 
3. 
 
 
Vamos supor que a função f(x,y) = 1000 - 2x2 + 15y represente o consumo semanal de 
feijão de um restaurante (em Kg), em função do preço x (em R$) do quilo de feijão e do 
preço y (em R$) do quilo de arroz. 
Analisando os resultados das derivadas parciais fx e fy no ponto P=(3,4), podemos 
concluir acertadamente que: 
 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, 
o consumo de feijão irá reduzir em, aproximadamente, 12 Kg. 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, 
o consumo de feijão irá aumentar em, aproximadamente, 15 Kg. 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, 
o consumo de feijão irá aumentar. 
 
Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, 
o consumo de feijão irá aumentar em 20 Kg. 
 
Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, 
o consumo de arroz irá aumentar. 
 
 
 
4. 
 
 
Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + 
y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 Determine fx e fy da função y
3.x +exy 
 
 
 
fx=3xy-ln(xy) 
fy=x-ln(xy) 
 
fx=3xy
2-yexy 
fy=y
3-xexy 
 
fx=3xy
2+yexy 
fy=y
3+xexy 
 
fx=3+ye
xy 
fy=xy
3+xexy 
 
fy=3xy
2+xexy 
fx=y
3+yexy 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y ) 
 
 
(3y^3-5x^(3 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-3xy) 
 
(y^2-x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-6xy) 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 
 
 
70/13 
 
70/9 
 
70/3 
 
70/15 
 
70/11 
1. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando 
a única resposta correta. 
 
 
(0,-1,-1) 
 
(0,-1,2) 
 
(0, 1,-2) 
 
(0,0,2) 
 
(0,0,0) 
 
 
 
2. 
 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
Integrando temos: 
 
 
 
(cost)i-(sent)j+3tk 
 
(cost)i-3tj 
 
(sent)i + t4j 
 
(cost)i+3tj 
 
-(sent)i-3tj 
 
 
 
3. 
 
 
Vamos supor que a função f(x,y) = 1000 - 2x2 + 15y represente o consumo semanal de 
feijão de um restaurante (em Kg), em função do preço x (em R$) do quilo de feijão e do 
preço y (em R$) do quilo de arroz. 
Analisando os resultados das derivadas parciais fx e fy no ponto P=(3,4), podemos 
concluir acertadamente que: 
 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, 
o consumo de feijão irá aumentar em, aproximadamente, 15 Kg. 
 
Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, 
o consumo de feijão irá aumentar em 20 Kg. 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, 
o consumo de feijão irá reduzir em, aproximadamente, 12 Kg. 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, 
o consumo de feijão irá aumentar. 
 
Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, 
o consumo de arroz irá aumentar. 
 
 
 
4. 
 
 
A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i 
+3j - 6k será: 
 
 
26/7 
 
-37/7 
 
40/7 
 
12/7 
 
-51/7 
 
 
 
5. 
 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, 
z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
2/3 
 
5/6 
 
7/6 
 
1/6 
 
1/2 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y ) 
 
 
(3y^3-5x^(3 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-6xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-3xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
(y^2-x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 
 
 
70/9 
 
70/11 
 
70/15 
 
70/3 
 
70/13 
 
 
 
8. 
 
 
Dadas as expressões paramétricas: x=e-2t e y=6e4t indique a única 
expressão correta na forma y=f(x): 
 
 
 
y=2x2 
 
y=1x, x>0 
 
y=- 6x2, x>0 
 
y=6x2 
 
y=6x2, x>0 
 
1. 
 
 
Seja F(x,y) = (x²-7, x.y, z). Então div F é igual a: 
 
 
3x+1 
 
x+y 
 
2x+y+1 
 
x+z 
 
y+z 
 
 
 
2. 
 
 
Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a 
 
 
- cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
 
cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
 
cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) - r.cos(φ) 
 
cos(θ).cos(φ) - r.cos(θ).cos(φ) - r.cos(φ) 
 
cos(θ).cos(φ) - r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre as derivadas parciais da função ln(xyz) 
 
 
df/dx = 1/x df/dy = 1/y df/dz = 2/z 
 
df/dx = 1/x df/dy = 1/y df/dz = 1/z 
 
df/dx = 1/x df/dy = 2/y df/dz = 1/z 
 
df/dx = 2/x df/dy = 1/y df/dz = 2/z 
 
df/dx = 2/x df/dy = 1/y df/dz = 1/z 
 
 
 
4. 
 
Uma partícula se move no espaço com uma aceleração dada 
 
por a(t)=4ti + 6tj + k. 
Determine a sua velocidade em um instante qualquer t. 
 
 v(t)=2t2i + 3t2j + tk + C 
 v(t)=2t2i + 3t2j - tk + C 
 
v(t)=2t2i + 3t2j - tk + C 
 
v(t)=2t2i - 3t2j + tk + C 
 
v(t)=-2t2i + 3t2j + tk + C 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a área da região limitada por 
 
 
 
96/3 
 
64/3 
 
31/3 
 
32 
 
32/3 
 
 
 
6. 
 
 
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = 
(x3 + y3) . sen(x) em relação a x 
 
 
3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x) 
 
- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x) 
 
x3.cos(x) +y3.sen(x) 
 
(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x) 
 
3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) 
 
 
 
7. 
 
 
Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto 
(1,2) e qual o valor máximo da derivada direcional neste ponto? 
 
 
-8i ⃗+5j ⃗ e √19 
 
-18i ⃗+5j ⃗ e √19 
 
2i ⃗+7j ⃗ e √85 
 
8i ⃗-5j ⃗ e √69 
 
8i ⃗+5j ⃗ e √89 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v= - i - j - k, no ponto (0, 0, π). 
 
 
√3/3 
 
√3/2 
 
3√3 
 
√3 
 
2√3 
 
 
 
8. 
 
 
Dadas as expressões paramétricas: x=e-2t e y=6e4t indique a única 
expressão correta na forma y=f(x): 
 
 
 
y=- 6x2, x>0 
 
y=2x2 
 
y=6x2, x>0 
 
y=1x, x>0 
 
y=6x2 
1. 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = 
( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). 
O divergente da função F(x,y,z) vale: 
 
 
6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 
6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a integral dupla de f(x,y) = xy^2, onde R = [−1, 0] × [0, 1]. 
 
 
-1/6 
 
25/6 
 
25/3 
 
1/6 
 
0 
 
 
 
3. 
 
 
O vetor gradiente da função f(x,y,z) = xy2z3 no ponto P = (3; -2; 1) terá módulo, 
aproximadamente: 
 
 
27,18 
 
7,21 
 
41,15 
 
38,16 
 
18,95 
 
 
 
4. 
 
 
Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto 
(1,2) e qual o valor máximo da derivada direcional neste ponto? 
 
 
-18i ⃗+5j ⃗ e √19 
 
8i ⃗+5j ⃗ e √89 
 
2i ⃗+7j ⃗ e √85 
 
-8i ⃗+5j ⃗ e √19 
 
8i ⃗-5j ⃗ e √69 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v 
= - i - j - k, no ponto (0, 0, π). 
 
 
√3/3 
 
2√3 
 
3√3 
 
√3/2 
 
√3 
 
 
 
6. 
 
 
Uma partícula se move no espaço com uma aceleração dada 
por a(t)=4ti + 6tj + k. 
Determine a sua velocidade em um instante qualquer t. 
 
 
v(t)=2t2i - 3t2j + tk + C 
 v(t)=2t2i + 3t2j + tk + C 
 
v(t)=2t2i + 3t2j - tk + C 
 
v(t)=2t2i + 3t2j - tk + C 
 
v(t)=-2t2i + 3t2j + tk + C 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a área da região limitada por 
 
 
 
32 
 
96/3 
 
31/3 
 
32/3 
 
64/3 
 
 
 
8. 
 
 
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = 
(x3 + y3) . sen(x) em relação a x 
 
 
3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x) 
 
3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) 
 
- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x) 
 
(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x) 
 
x3.cos(x) +y3.sen(x) 
1. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma 
equação polar equivalente. 
 
 
 
9((rcos(θ))2+16r2=0 
 
9((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
16((rcos(θ))2+9r2=400 
 
9((rcos(θ))2+r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=400 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = 
x + 2 
 
1. 
 
 
 
 
 
25, 33 
 
32,59 
 
53,52 
 
34,67 
 
33,19 
 
 
 
2. 
 
 
As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], 
em t0=2 são: 
 
 
 
v = (-1; 2) 
 
v = (-2; 3) 
 
v = (4; 16) 
 
v = (-3; 5) 
 
v = (3; -5) 
 
 
 
3. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) 
= t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
3t2 i + 2t j 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
 2t j 
 
0 
 
t2 i + 2 j 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
 
π2 
 
8π2 
 
2 
 
8π3 
 
82 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y -
 y2)j. 
 
 
- 3x + 2y 
 
3x - 2y 
 
2x - 3y 
 
3x + 2y 
 
- 3x - 2y 
 
 
 
6. 
 
 
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a 
curva representada pela fronteira . 
 
 
 
 
-3 
 
-6 
 
6 
 
-1 
 
3 
 
 
 
7. 
 
 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções 
harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,3,5 
 
1,2,3 
 
1,3,4 
 
1,2,4 
 
1,2,5 
 
 
 
8. 
 
 
Indique a única resposta correta como solução da integral: ∫0π∫0senxydydx 
 
 
π6 
 
π4 
 
 
5/6 
 
1/2 
 
1 
 
9/2 
 
3 
 
 
 
3. 
 
 
Calcular a integral tripla de F(x,y,z) = z sobre a região R limitada no primeiro octante 
pelos planos y=0, z=0, x+y=2, 2y+x=6 e pelo cilindro y^2 + z^2 = 4. 
 
 
2 
 
15/4 
 
26/3 
 
3 
 
13/26 
 
 
 
4. 
 
 
Qual a força necessária que atua num objeto 3 kg de massa e vetor posição r = t3i + t2j + t3k?Lembre das 
leis de newton F=MA 
 
 
F = 9t i + 6 j + 9t k 
 
F = 6t i + 6 j + 18t k 
 
F = 18t i + 6 j + 18t k 
 
F = 12t i + 6 j + 12t k 
 
F = 9t2 i + 6 j + 9t2 k 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os 
pontos (1,2) e (0,-1). 
 
 
0 
 
-7/2 
 
7/2 
 
1/2 
 
-1/2 
 
 
 
6. 
 
 
Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 
+ z^2 = 16 e abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2). 
 
 
128*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
32*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
16*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
 
 
7. 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(a) 
 
(e) 
 
(c) 
 
(d) 
 
(b) 
 
 
 
8. 
 
 
O valor da integral é 
 
 
0 
 
2/3 
 
-1/12 
 
1/12 
 
-2/3 
2. 
 
 
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se 
encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o 
deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 
 
 
 
80PI 
 
60PI 
 
100PI 
 
40PI 
 
20PI 
1. 
 
 
Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2 dada por 
x2+4y2=4 ligando os pontos (2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento 
 
 
28/9