FUNCAO_DO_SEGUNDO_GRAU

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Função do Segundo Grau
Prof.o Ricardo Reis
Universidade Federal do Ceará
Campus de Quixadá
14 de março de 2014
1 Definição
A função do segundo grau possui equação ge-
ral,
f(x) = ax2 + bx+ c (1)
onde a, b e c são constantes, com a 6= 0, e x
é a variável independente. Toda função do se-
gundo grau representa uma parábola como a
do esquema a seguir,
x
y
2 Parábolas
Em geometria analítica uma parábola é o lu-
gar geométrico dos pontos equidistantes a uma
reta denominada geratriz e a um ponto fixo de-
nominado foco. A reta que passa pelo foco de
uma parábola e é perpendicular a sua geratriz
divide esta parábola em duas partes simétricas
entre si. Esta reta é denominada eixo de sime-
tria. O ponto de intersecção entre o eixo de si-
metria e a parábola é denominado vértice. A
medida entre o vértice e o foco é denominada
distância focal. Estes elementos são ilustrados
na figura a seguir,
parábola
geratriz
foco
vértice
eixo de simetria
dis
tân
cia
foc
al
Como cada valor no domínio de uma função
só permite um valor de imagem então apenas
algumas categorias de parábolas podem ser re-
presentadas por funções. Duas delas se desta-
cam. A primeira são daquelas cujas geratrizes
são paralelas ao eixo x, ou seja,
g(x) = p (2)
onde g(x) denota a função reta geratriz e p uma
constante real. Tais parábolas são obtidas das
funções de segundo grau abordadas neste ar-
tigo
A segunda categoria é formada por semi-
parábolas cujos eixos de simetria são parale-
los ao eixo x. Elas possuem forma geral f(x) =√
ax+ b+ c e serão abordadas em outro artigo.
Esquematicamente,
f(x) = ax2 + bx+ c f(x) =
√
ax+ b+ c
3 Concavidade
O sinal do coeficiente a da equação-(1) define
o sentido da concavidade conforme indica ta-
bela,
a > 0 a < 0
Quando a > 0 dizemos que a concavidade é
para cima e quando a < 0 dizemos que a conca-
vidade é para baixo. Se a = 0 a função não é de
segundo grau.
1
4 Raízes
Em uma função de segundo grau o total de
raízes e seus respectivos valores dependem do
parâmetro ∆ definido como,
∆ = b2 − 4ac (3)
onde a, b e c são os coeficientes da equação-(1).
Se ∆ > 0 então a parábola cruza o eixo x em
dois pontos e logo existem neste caso duas raí-
zes reais x1 e x2 dadas por,
x1 =
−b+√∆
2a
(4)
x2 =
−b−√∆
2a
(5)
Se ∆ = 0 a parábola apenas toca o eixo x num
ponto e logo existe apenas uma raiz real. Neste
caso pode-se utilizar qualquer uma das equa-
ções (4) ou (5) para obter a raiz da função,
x1 = x2 =
−b±√0
2a
= − b
2a
Por fim, se ∆ < 0 então a parábola não cruza
o eixo x e logo, neste caso, não existem raízes
reais (note que nas equações 4 e 5 o parâme-
tro ∆ fica dentro de uma raiz quadrada que, no
âmbito dos reais, não opera raízes de números
negativos).
Os esquemas a seguir relacionam sentido de
concavidade e total de raízes em funções do se-
gundo grau.
a > 0
∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0
a < 0
∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0
ILUSTRAÇÃO 1 Determinar raízes da função
f(x) = x2 − 8x− 33.
SOLUÇÃO
Da equação-(3),
∆ = (−8)2 − 4(1)(−33) = 64 + 132 = 196
Das equação-(4) e equação-(5),
x1 =
8 +
√
196
2
=
8 + 14
2
= 11
x2 =
8−√196
2
=
8− 14
2
= −3
ILUSTRAÇÃO 2 Determinar raízes da função
f(x) = 4− 4x+ x2.
SOLUÇÃO
Da equação-(3),
∆ = (−4)2 − 4(1)(4) = 0
Utilizando equação-(4) ou equação-(5),
x0 =
4±√0
2
=
4
2
= 2
ILUSTRAÇÃO 3 Determinar raízes da função
f(x) = 2x2 − 6x+ 5.
SOLUÇÃO
Da equação-(3),
∆ = (−6)2 − 4(2)(5) = 36− 40 = −4
Como ∆ < 0 então não existem raízes reais.
4.1 Soma e Produto de Raízes
Somando a equação-(4) com a equação-(5) ob-
temos,
x1 + x2 =
−b+√∆
2a
+
−b−√∆
2a
=
−b+√∆− b−√∆
2a
=
−2b
2a
x1 + x2 = − b
a
(6)
2
Multiplicando a equação-(4) pela equação-(5)
obtemos,
x1 · x2 = −b+
√
∆
2a
· −b−
√
∆
2a
=
(−b)2 − (√δ)2
4a2
=
b2 −∆
4a2
=
b2 − b2 + 4ac
4a2
=
4ac
4a2
x1 · x2 = c
a
(7)
ILUSTRAÇÃO 4 Determinar a função de segundo
grau cuja soma de raízes é 10, o produto 21 e
cuja parábola passe pelo ponto P (1, 3).
SOLUÇÃO
Substituindo as coordenadas de P na equação-
(1) obtemos,
f(x) = ax2 + bx+ c
3 = a(1)2 + b(1) + c
a+ b+ c = 3
Utilizando equação-(6) e equação-(7) obtemos,
−b
a
= 10
b = −10a
c
a
= 21
c = 21a
Substituindo estes últimos resultados no pri-
meiro obtemos,
a+ b+ c = 3
a+ (−10a) + (21a) = 3
12a = 3
a =
1
4
Consequentemente,
b = −10a
b = −10(1
4
)
b = −5
2
c = 21a
c = 21(
1
4
)
c =
21
4
Destes coeficiente tem-se que f(x) = x
2
4 − 5x2 +
21
4 =
x2 − 10x+ 21
4
5 Vértice
O vértice de uma função do segundo grau é o
ponto extremo da parábola que ela representa,
ou seja, se a < 0 o vértice equivale ao ponto
que possui maior valor de imagem e se a > 0 o
ponto com menor valor de imagem. Esquemati-
camente tem-se,
Vértices
As coordenadas do vértice de uma parábola,
xv e yv, são dadas pelas equações,
xv = − b
2a
(8)
yv = −∆
4a
(9)
onde a e b são coeficientes da equação-(1) e ∆ é
definido na equação-(3).
Quando ∆ = 0, ou seja, quando a parábola
toca o eixo x em um único ponto, este ponto é o
próprio vértice e logo,
x1 = x2 = xv ∆ = 0 (10)
onde x1 e x2 representam as raízes da função.
Quando ∆ > 0 a abcissa do vértice é a média
dos valores das raízes da função, ou seja,
3
xv =
x1 + x2
2
∆ > 0 (11)
ILUSTRAÇÃO 5 Determinar o vértice da parábola
referente a função f(x) = 3x2 − 15x+ 11.
SOLUÇÃO
Da equação-(8),
xv = −−15
2 · 3
= 5
Da equação-(3),
∆ = (−15)2 − 4(3)(11)
= 93
Da equação-(8),
yv = − 93
4 · 3
yv = −31
4
ILUSTRAÇÃO 6 Determinar a função de segundo
grau cujo vértice da parábola é (2, 1) e possui
uma raiz em x = 1.
SOLUÇÃO
Da abcissa do vértice, equação-8,
xv = − b
2a
2 = − b
2a
b = −4a
Da equação-11 podemos determinar a segunda
raiz de f ,
xv =
x1 + x2
2
2 =
1 + x2
2
x2 = 3
Do produto de raízes, equação-7,
x1 · x2 = c
a
(1)(3) =
c
a
c = 3a
Aplicando o vértice à equação-1 obtemos,
y = ax2 + bx+ c
1 = a(22) + b(2) + c
4a+ 2b+ c = 1
Substituindo b e c já isolados nesta última
equação temos,
4a+ 2b+ c = 1
4a+ 2(−4a) + (3a) = 1
a = −1
por fim,
b = −4a
= −4(−1)
= 4
c = 3a
= 3(−1)
= −3
Destes valores de coeficientes, f pode ser es-
crita como,
f(x) = −x2 + 4x− 3
6 Domínio e Imagem
O domínio de uma função de segundo grau é
formado por todos os reais, ou,
D(f) = R (12)
A imagem de uma função do segundo grau de-
pende do sinal de a e da ordenada yv de seu
vértice conforme ilustra tabela,
Im(f)
a > 0 {y ≥ yv | y ∈ R}
a < 0 {y ≤ yv | y ∈ R}
ILUSTRAÇÃO 7 Determinar imagem da função
f(x) = 3x2 − x− 4.
SOLUÇÃO
Da equação-9,
yv =
−∆
4a
=
−(b2 − 4ac)
4a
=
−((−1)2 − 4(3)(−4))
4(3)
= −49
12
Como a = 3 > 0 então a imagem é dada por,{
y ≥ −49
12
| y ∈ R
}
4
7 Estudo de Sinal
O estudo de sinal trata de determinar em que
intervalos do domínio de uma função sua ima-
gem é positiva, zero ou negativa. Este estudo
é feito nas proximidades das raízes da função
onde o valor de imagem é igual a zero.
A análise de sinal numa parábola depende
dos sinais de a e ∆ conforme descrito nos pa-
rágrafos seguintes.
Se a > 0 e ∆ < 0 toda imagem tem sinal posi-
tivo. Graficamente,
+ +
Se a > 0 e ∆ = 0 então a imagem é zero no
ponto onde a parábola toca o eixo x e positiva
do contrário. Graficamente,
+ +0
x1 = x2 = xv
Se a > 0 e ∆ > 0 então o sinal da imagem se
distribui conforme intervalos,
y < 0 x1 < x < x2
y = 0 x ∈ {x1, x2}
y > 0 {x < x1 ∪ x > x2}
onde x1 e x2 são as raízes da função e ainda
x1 < x2. Graficamente,
+ +
-
0 0
x1 x2
Se a < 0 e ∆ < 0 toda imagem tem sinal nega-
tivo.Graficamente,
- -
Se a < 0 e ∆ = 0 então a imagem é zero no
ponto onde a parábola toca o eixo x e negativa
do contrário. Graficamente,
- -0
x1 = x2 = xv
Por fim se a < 0 e ∆ > 0 então o sinal da
imagem se distribui conforme intervalos,
y < 0 {x < x1 ∪ x > x2}
y = 0 x ∈ {x1, x2}
y > 0 x1 < x < x2
onde x1 e x2 são as raízes da função e ainda
x1 < x2. Graficamente,
- -
+
0 0
x1 x2
ILUSTRAÇÃO 8 Efetuar estudo de sinal da fun-
ção f(x) = −x2 + 7x− 10.
SOLUÇÃO
Inicialmente determinamos as raízes de f ,
∆ = (7)2 − 4(−1)(−10)
= 49− 40
= 9
x =
−(7)±√9
2(−1)
=
−7± 3
−2
= {2, 5}
Como a < 0 e ∆ > 0 temos que o estudo de sinal
é,
y < 0 {x < 2 ∪ x > 5}
y = 0 x ∈ {2, 5}
y > 0 2 < x < 5
5
8 Interpolação Quadrática
Consideremos o problema da interpolação
quadrática dados três pontos de entrada, ou
seja, deseja-se determinar da função de se-
gundo grau que passa por três pontos (x1, y1),
(x2, y2) e (x3, y3). Aplicando a equação-(1) indi-
vidualmente a estes pontos encontramos o sis-
tema,

ax1
2 + bx1 + c = y1
ax2
2 + bx2 + c = y2
ax3
2 + bx3 + c = y3
cuja forma matricial é,
∣∣∣∣∣∣
x1
2 x1 1
x2
2 x2 1
x3
2 x3 1
∣∣∣∣∣∣ ·
∣∣∣∣∣∣
a
b
c
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
y1
y2
y3
∣∣∣∣∣∣ (13)
Denotaremos a primeira matriz da equação-(13)
por X,
X =
∣∣∣∣∣∣
x1
2 x1 1
x2
2 x2 1
x3
2 x3 1
∣∣∣∣∣∣ (14)
Pelo método de substituição de colunas os co-
eficientes a. b e c podem ser expressos pelas
equações,
a =
det
∣∣∣∣∣∣
y1 x1 1
y2 x2 1
y3 x3 1
∣∣∣∣∣∣
detX
(15)
b =
det
∣∣∣∣∣∣
x1
2 y1 1
x2
2 y2 1
x3
2 y3 1
∣∣∣∣∣∣
detX
(16)
c =
det
∣∣∣∣∣∣
x1
2 x1 y1
x2
2 x2 y2
x3
2 x3 y3
∣∣∣∣∣∣
detX
(17)
ILUSTRAÇÃO 9 Determinar a função de segundo
grau que passa pelos pontos (0, 5), (−1, 10) e
(1, 4).
Da equação-(14),
X =
∣∣∣∣∣∣
02 0 1
−12 −1 1
12 1 1
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
0 0 1
1 −1 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣
detX = 1− (−1)
= 2
Da equação-(15),
a =
det
∣∣∣∣∣∣
5 0 1
10 −1 1
4 1 1
∣∣∣∣∣∣
2
=
5(−1− 1) + (1)(10 + 4)
2
=
−10 + 14
2
a = 2
Da equação-(16),
b =
det
∣∣∣∣∣∣
0 5 1
1 10 1
1 4 1
∣∣∣∣∣∣
2
=
(−5)(1− 1) + (1)(4− 10)
2
=
0− 6
2
b = −3
Da equação-(17),
c =
det
∣∣∣∣∣∣
0 0 5
1 −1 10
1 1 4
∣∣∣∣∣∣
2
=
(5)(1− (−1))
2
=
10
2
c = 5
Por fim, da equação-(1),
f(x) = ax2 + bx+ c
= 2x2 − 3x+ 5
6
ILUSTRAÇÃO 10 Determinar função de segundo
grau que possui vértice V (3,−25) e contém o
ponto P (−1,−9).
SOLUÇÃO
Como o vértice de uma parábola está no eixo de
simetria então existe um ponto Q com mesma
ordenada de P e um valor de abcissa cuja me-
diana com a abcissa de P é a abcissa do vértice.
Veja esquema,
Q P
V
Determinemos Q,
Qy = Py
= −9
Qx + Px
2
= Vx
Qx + (−1)
2
= 3
Qx = 2(3)− (−1)
= 7
Logo os pontos de entrada ordenados por ab-
cissa ficam,
(−1,−9) (3,−25) (7,−9)
Da equação-(14),
X =
∣∣∣∣∣∣
−12 −1 1
32 3 1
72 7 1
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
9 3 1
49 7 1
∣∣∣∣∣∣
detX = (1)(3− 7)− (−1)(9− 49) + (1)(9 · 7− 3 · 49)
= −4− 40 + (63− 147)
= −128
Da equação-(15),
a =
det
∣∣∣∣∣∣
−9 −1 1
−25 3 1
−9 7 1
∣∣∣∣∣∣
−128
=
1
−128((−9)(3− 7)
− (−1)(−25 + 9)
+ (1)((−25)(7)− (−9)(3)))
=
36− 16 + (−175 + 27)
−128
=
−128
−128
a = 1
Da equação-(16),
b =
det
∣∣∣∣∣∣
1 −9 1
9 −25 1
49 −9 1
∣∣∣∣∣∣
−128
=
1
−128((1)(−25 + 9)
− (−9)(9− 49)
+ (1)((−9)(9)− (49)(−25)))
=
−16− 360 + 1144
−128
=
768
−128
b = −6
Da equação-(17),
c =
det
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −9
9 3 −25
49 7 −9
∣∣∣∣∣∣
−128
=
1
−128((1)((3)(−9)− (−25)(7))
− (−1)((9)(−9)− (−25)(49))
+ (−9)((9)(7)− (3)(49)))
=
148 + 1144 + 756
−128
=
2048
−128
c = −16
Por fim, da equação-(1),
f(x) = ax2 + bx+ c
= x2 − 6x− 16
7
ILUSTRAÇÃO 11 Determine a função de se-
gundo grau cujas raízes são 5 e 9 e cuja orde-
nada do vértice vale −12.
SOLUÇÃO
Como existem duas raízes reais distintas então
a abcissa do vértice, xv, poderá ser obtida pela
equação-(11),
xv =
x1 + x2
2
=
5 + 9
2
= 7
Logo os pontos de entrada ordenados por ab-
cissa ficam,
(5, 0) (7,−12) (9, 0)
Utilizando equações 14, 15, 16 e 17 calculamos,
X =
∣∣∣∣∣∣
25 5 1
49 7 1
81 9 1
∣∣∣∣∣∣
detX = −16
A =
∣∣∣∣∣∣
0 5 1
−12 7 1
0 9 1
∣∣∣∣∣∣
det(A) = −48
a =
−48
−16 = 3
B =
∣∣∣∣∣∣
25 0 1
49 −12 1
81 0 1
∣∣∣∣∣∣
detB = 872
b =
872
−16 = −42
C =
∣∣∣∣∣∣
25 5 0
49 7 −12
81 9 0
∣∣∣∣∣∣
detC = −2160
c = 135
Logo f(x) = 3x2 − 42x+ 135.
9 Exercícios
Determine para as funções de segundo grau a
seguir a orientação da concavidade da parábola,
as raízes (se existirem), o ponto de cruzamento
com o eixo y, a imagem, o estudo de sinal da
imagem, a coordenada do vértice e o esboço do
gráfico.
1. f(x) = x2
2. f(x) = x2 − 9
3. f(x) = x2 − 3x+ 11
4. f(x) = x2 − 9x+ 18
5. f(x) = −11 + 9x− 2x2
6. f(x) = 11− x2
7. f(x) = −3x2 + 18x− 27
8. f(x) =
(x− 5)(x+ 9)
8
9. f(x) = (x− 6)2 − 4
10. f(x) = (5− x)2 + 13
Determine as funções de segundo grau que pas-
sam pelos pontos A, B e C nos casos seguintes,
11. A(−2,−9) B(3, 1) C(5,−23)
12. A(6, 167) B(0, 11) C(4, 91)
13. A(3,−13) B(4,−21) C(5,−31)
14. A(−1, 16) B(0, 11) C(1, 16)
15. A(−11, 65) B(4, 80) C(5, 125)
16. A(1, 6) B(2, 11) C(3, 18)
17. A(0, 0) B(5, 25) C(3, 15)
Nos casos a seguir são dados dois pontos P e
Q pertencentes a uma função f(x) de segundo
grau bem como a abcissa do vértice. Determinar
f(x),
18. P (−2,−1) Q(5, 20) xv = 2
19. P (−7,−22) Q(2, 113) xv = −4
20. P (−2,−57) Q(3, 43) xv = −92
21. P (3,−96) Q(5,−152) xv = 2
22. P (−1, 0) Q(1, 0) xv = 0
Nos casos a seguir determine as funções de
segundo grau cujas parábolas correspondentes
possuem vértice V e passam pelo ponto P ,
8
23. V (−1, 8) P (−5, 56)
24. V (2, 29) P (4, 1)
25. V (4, 52) P (31,−677)
26. V (0, 13) P (1,−8)
27. V (0, 3) P (3, 0)
Resolva os problemas a seguir,
28. Na função de segundo grau, f(x), uma raiz
é o dobro da outra. Se f(1) = 20 e f(−1) = 56
então determinar a equação de f(x).
29. As parábolas das funções de segundo
grau, f(x) = ax2 + bx+ 11 e g(x) = −ax2 + 2bx− 13
se interceptam nos pontos de abcissas x = 1 e
x = 3. Determine a e b.
30. Para uma função do segundo grau, f(x) =
ax2+bx+c, deduzir a fórmula para determinação
da distância focal, d.
31. Deduzir as equações da reta geratriz,
g(x), e coordenadas do foco, (xf , yf ), de uma
parábola referente a função de segundo grau,
f(x) = ax2 + bx+ c.
Nas questões a seguir determinar as funções de
segundo grau cujas parábolas possuem foco F e
geratriz g(x),
32. F (1, 2) g(x) = 12
33. F (0,−4) g(x) = −1
34. F (−2,−3) g(x) = 2
35. F (5, 1) g(x) = −2
36. F (−7, 6) g(x) = 7
Problemas de máximos e mínimos consistem
numa categoria de problemas em que deseja de-
terminar para qual valor da variável indepen-
dente o valor da variável dependente é crítico
(ou seja, máximo ou mínimo). Se tais problemas
puderem ser modelados por uma função de se-
gundo grau então a solução desejada se resume
a determinação do vértice. Resolva os problemas
de de máximos e mínimos a seguir,
37. Mostre que entre todos os retângulos de
mesmo perímetro, o quadrado é o que possui
maior área
38. Uma empresa instala internet predial
e cobra 20 R$ por ponto se até 10 pontos de
acesso forem instalados. Para cada novo ponto
a mais é discontado 50 centavos do valor indi-
vidual cobrado por ponto. Para quantos pon-
tos de acesso a empresa maximiza seu fatura-
mento? De quanto vale este faturamento?
39. A reta f(x) passa pela origem e nas proxi-
midades dos pontos A(2, 3) e B(5, 1). Denotando
por a e b respectivamente as distâncias verticaisde A e B até f(x) então quanto deve ser o coefi-
ciente angular de f(x) de forma que a2+b2 tenha
o menor valor possível?
40. Sobre um triângulo retângulo, de cate-
tos b e c, é colocado um retângulo de forma que
um dos vértices posicione-se sobre o vértice do
ângulo reto e o outro sobre a hipotenusa, con-
forme indica figura,
b
c
Determinar a maior área que pode ser obtida
ao deslizar-se o vértice superior sobre a hipote-
nusa.
9
10 Respostas dos
Exercícios
1. f(x) = x2
Concavidade para cima, Raiz: {0}, Cruzamento com y: y = 0,
Imagem: {y ∈ R | y ≥ 0}, Vértice: (0, 0),
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 �
−2 −1 1 2
1
2
3
4
y = 0 x = 0
y > 0 ∀x ∈ R− {0}
2. f(x) = x2 − 9
Concavidade para cima, Raízes: {3,−3}, Cruzamento com y: y =
−9, Imagem: {y ∈ R | y ≥ −9}, Vértice: (0,−9),
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 3 < x < −3
−4 −2 2 4
−5
5
10
15
y = 0 x = {3,−3}
y > 0 x < 3 ∪ x > −3
3. f(x) = x2 − 3x+ 11
Concavidade para cima, Raízes: �, Cruzamento com y: y = 11,
Imagem: {y ∈ R | y ≥ 35
4
}, Vértice: ( 3
2
, 35
4
)
,
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 �
−4 −2 2 4
5
10
15
20
y = 0 �
y > 0 ∀x ∈ R
4. f(x) = x2 − 9x+ 18
Concavidade para cima, Raízes: {3, 6}, Cruzamento com y: y =
18, Imagem: {y ∈ R | y ≥ −9
4
}, Vértice: ( 9
2
, −9
4
)
,
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 3 < x < 6
2 4 6 8
−2
2
4
6
y = 0 x = {3, 6}
y > 0 x < 3 ∪ x > 6
5. f(x) = −2x2 + 9x− 11
Concavidade para baixo, Raízes: �, Cruzamento com y: y = −11,
Imagem: {y ∈ R | y ≤ −7
8
}, Vértice: ( 9
4
, −7
8
)
,
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 ∀x ∈ R
−1 1 2 3 4 5
−4
−2
y = 0 �
y > 0 �
6. f(x) = −x2 + 11
Concavidade para baixo, Raízes:
{
−√11,√11
}
, Cruzamento com
y: y = 11, Imagem: {y ∈ R | y ≤ 11}, Vértice: (0, 11),
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 x < −√11 ∪ x > √11
−4 −2 2 4
5
10
y = 0 x = {−√11,√11}
y > 0 −√11 < x < √11
7. f(x) = −3x2 + 18x− 275
Concavidade para baixo, Raízes: �, Cruzamento com y: y =
−275, Imagem: {y ∈ R | y ≤ −248}, Vértice: (3,−248),
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 ∀x ∈ R −20 −10 10 20
−500
−400
−300
−200
−100
y = 0 �
y > 0 �
8. f(x) = 1
8
x2 + 1
2
x− 45
8
Concavidade para cima, Raízes: {−9, 5}, Cruzamento com y: y =
−45
8
, Imagem: {y ∈ R | y ≥ −49
8
}, Vértice: (−2, −49
8
)
,
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 −9 < x < 5
−10 −5 5
−6
−4
−2
2
4
y = 0 x = {−9, 5}
y > 0 x < −9 ∪ x > 5
9. f(x) = x2 − 12x+ 32
Concavidade para cima, Raízes: {4, 8}, Cruzamento com y: y =
32, Imagem: {y ∈ R | y ≥ −4}, Vértice: (6,−4),
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 4 < x < 8
2 4 6 8 10
−4
−2
2
4
y = 0 x = {4, 8}
y > 0 x < 4 ∪ x > 8
10. f(x) = x2 − 10x+ 38
Concavidade para cima, Raízes: �, Cruzamento com y: y = 38,
Imagem: {y ∈ R | y ≥ 13}, Vértice: (5, 13),
Estudo de Sinal Gráfico
y < 0 �
2 4 6 8 10
5
10
15
20
25
y = 0 �
y > 0 ∀x ∈ R
11. f(x) = −2x2 + 4x+ 7
12. f(x) = 3x2 + 8x+ 11
13. f(x) = −x2 − x− 1
14. f(x) = 5x2 + 11
15. f(x) = 11
4
x2 + 81
4
x− 45
16. f(x) = x2 + 2x+ 3
17. Pontos colineares: não formam uma parábola
18. f(x) = −3x2 + 12x+ 35
19. f(x) = 5x2 + 40x+ 13
20. f(x) = 2x2 + 18x− 29
21. f(x) = −7x2 + 28x− 117
22. Há infinitas possibilidades
23. f(x) = 3x2 + 6x+ 11
24. f(x) = −7x2 + 28x+ 1
25. f(x) = −x2 + 8x+ 36
26. f(x) = −21x2 + 13
27. f(x) = − 1
3
x2 + 3
28. f(x) = 2x2 − 18x+ 36 ou f(x) = 36x2 − 18x+ 2
29. a = 4, b = 32
10
30. d =
1
4a
31. g(x) =
{
yv − d a > 0
yv + d a < 0
xf = xv
yf =
{
yv + d a > 0
yv − d a < 0
onde d denota distância focal, (xv , yv) as coordenadas do vértice
e (xf , yf ) as coordenadas do foco.
32. f(x) = 1
3
x2 − 2
3
x+ 19
12
33. f(x) = 1
22
x2 − 19
2
34. f(x) = 1
2
x2 + 2x− 1
2
35. f(x) = 1
6
x2 − 5
3
x+ 11
3
36. f(x) =
1
2
x2 + 7x+ 31
37. Se p denotar o perímetro de um retângulo e x um de seus
lados então o lado adjacente deverá ser p
2
− x. Assim a área,
A(x), poderá ser calculada por,
A(x) = x(
p
2
− x) = −x2 + p
2
x
Note que A(x) é uma função de segundo grau cuja a abcissa do
vértice vale,
xv =
−p/2
2(−2) =
p
4
Como a concavidade de A(x) é virada para baixo então o vértice
representa o ponto de maior área possível e ainda como xv = p4
implica que os demais lados também va;em valem p
4
que de fato
representa um quadrado.
38. 25 pontos de acesso; Máximo faturamento = 312.50 R$
39.
11
29
40.
bc
4
11