CONTEUDO MECANICA GERAL

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141
15. PRODUTO DE INÉRCIA
O produto de inércia de um elemento de área dA, localizado num ponto (x, y), é
definido como dAxydI xy = conforme ilustrado na Fig. (15.1). Logo, para toda a área o
produto de inércia é calculado por
∫=
A
xy dAxyI (15.1)
Figura 15.1 – Ilustração do cálculo do produto de inércia em relação aos eixos X e Y.
Pela equação (15.1) nota-se que o produto de inércia tem a mesma unidade [L4] que o
momento de inércia, mas o produto de inércia pode ser positivo, negativo ou nulo. Conforme
o quadrante em que se localiza o elemento dA, fica definido o sinal da integral, conforme
ilustra a Fig. (15.2).
C
x
y
( ) ( )−=−∫ dAyx
A
( )( ) ( )+=−−∫ dAyx
A ( ) ( )+=−∫ dAyx
A
( )+=∫ dAyx
A
Figura 15.2 – Descrição da variação do sinal do produto de inércia em relação aos eixos
centrais de uma figura.
dAx
y
X
Y
0
A
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Do resultado apresentado na Fig.(15.2) pode-se concluir que quando pelo menos um
dos eixos x ou y for eixo de simetria, então o produto de inércia em relação a estes eixos será
nulo. É importante ressaltar que não basta que o eixo seja central para que o produto de
inércia seja nulo, mas sim que este seja eixo de simetria. A Fig.(15.3) ilustra este resultado.
y
- y
dA
dA
X
Y
Figura 15.3 – Cálculo do produto de inércia em relação a um par de eixos, dos quais pelo
menos um é eixo de simetria.
14.1 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS (TEOREMA DE STEINER)
O teorema dos eixos paralelos também pode ser aplicado ao produto de inércia. O
processo de dedução da expressão resultante é semelhante ao apresentado no item 14.4. Para
ilustrar a dedução considera-se a Fig. (15.4), na qual C é o centróide da área, X’ e Y’ são
eixos centrais paralelos aos eixos X e Y respectivamente.
y c
y'
dA
X
X'
Y'Y
xc x'
C
O
Figura 15.4 – Teorema dos eixos paralelos aplicado ao produto de inércia.
A partir da Fig.(15.4) pode-se escrever 'xxx C += e 'yyy C += , que substituídas na (15.1)
resulta em
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( )( ) ∫∫∫∫∫ +++=++=
A
CC
A
C
AA
CC
A
Cxy dAyxdAxydAyxdAyxdAxxyyI ´´´´'' (15.2)
A integral ∫
A
dAyx ´´ , por analogia com a equação (15.1), representa o produto de
inércia da área A em relação aos eixos centrais X´e Y´, ou seja ∫=
A
yx dAyxI ´´´´ . A
coordenada xC do centróide é colocada fora da integral por ser constante. A integral ∫
A
dAy´ é
o momento estático de 1ª ordem em relação ao eixo central X´. Esta integral deve ser igual a
zero já que o eixo X´ é central, ou seja 0´ =xS . A coordenada yC do centróide é constante
podendo ser colocada fora da integral. A integral ∫
A
dAx´ é o momento estático de 1ª ordem
em relação ao eixo central Y´. Esta integral deve ser igual a zero já que o eixo Y´ é central, ou
seja 0´ =yS . A integral ∫
A
dA resulta na própria área A da figura. Logo a expressão final do
teorema de Steiner fica na forma
AyxII CCyxxy += ´´ (15.3)
15.2 CÁLCULO DO PRODUTO DE INÉRCIA POR INTEGRAÇÃO
Exemplo 1. Determinar o produto de inércia do triângulo retângulo ilustrado na
Fig.(15.5|).
Figura 15.5 – Cálculo do produto de inércia de um triângulo retângulo.
Solução: Para evitar a solução de uma integral dupla trabalha-se com uma faixa de integração vertical de largura
dx e altura y. Neste caso, o produto de inércia infinitezimal desta faixa é dado por .
2´
dAyxdIdI xýxy ⋅+= Como
a faixa de integração é simétrica, tem-se que 0´´ =yxdI . Considerando-se que o diferencial de área pode ser
escrito como dxydA = tem-se dxyyxdI xy 2
⋅= , e aplicando a relação x
b
hy = , a integral do produto de inércia
fica
X
Y
b
h
x
dx
y
y/ 2
X
Y
2b/3
h/
3
Xc
Yc
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84222
1 22
0
4
2
2
0
3
2
2
0
2 bhx
b
hdxx
b
hdxxyI
b
bb
xy =








=== ∫∫
Para obter o produto de inércia em relação aos eixos centrais do triângulo basta aplicar o teorema de Steiner
conforme expressão (15.3). Para tal deve-se considerar que 
3
2bxC = e 3
hyC = .
72983
2
328
22222222 bhbhbhbhhbbhI xy =−=





−⋅





−⋅−=
15.3 PRODUTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS
O processo para cálculo do produto de inércia de áreas compostas consiste em
decompor a área em figuras simples, cuja solução seja conhecida, tabelada ou de fácil
determinação. Para exemplificar, o produto de inércia em relação aos eixos X e Y de uma área
composta pode ser escrito como
( )∑∑
==
+==
n
i
iiiyx
n
i
xyxy yxAIII ii
1
´´
1
(15.4)
Nesta equação n indica o número de figuras simples, 
iyxI ´´ é o produto de inércia em relação
aos eixos centrais da figura simples, que são paralelos aos eixos X e Y, Ai é a área da figura
simples, xi é a distância ortogonal entre o eixo Y e o eixo central da figura paralelo a este, yi é
a distância ortogonal entre o eixo X. É importante salientar que sempre que a figura simples
tiver pelo menos um eixo de simetria (caso do retângulo, círculo, triângulo equilátero) o termo
iyxI ´´ correspondente será nulo.
Exemplo 2. Calcular o produto de inércia em relação aos eixos centrais do perfil
cantoneira de abas iguais.
yaux
xaux
y
x
C
xc
yc
a
a
t
Figura 15.6 – Cálculo do produto de inércia de um perfil cantoneira de abas iguais.
Solução: O 1º passo da solução é localizar o centróide do perfil cantoneira. Para tal considera-se os eixos de
referência adotados na Fig.(15.6). Como o perfil cantoneira tem abas iguais pode-se notar que as coordenadas x e
y do centróide devem ser iguais. Dividindo-se a área do perfil cantoneira em dois retângulos tem-se
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( )( )
( )
( )
( )taa
taa
ttaat
taatx
−+
−
=
−+
−
=
2222 ( )( )taa
taax
−+
−
=
22
Como a seção é formada apenas por retângulos, o termo 
iyxI ´´ é nulo para todos os elementos. Logo, a
expressão para o cálculo do produto de inércia fica
( ) ( ) ( ) ( ) 





−⋅−−+





−−⋅−⋅= yaxttaxtayatI CC yx 222
15.4 CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO A EIXOS
INCLINADOS
O produto de inércia que estudamos até aqui é útil para calcularmos os momentos de
inércia de uma área em relação a um par de eixos inclinados como ilustrado na Fig.(15.7).
O
y
x
x
y
u
v
θ
θ
dAA
v
y 
co
sθ
x cos
θ
y sen
θ
x 
se
nθ
θ
u
Figura 15.7 – Cálculo do momento de inércia em relação a eixos inclinados.
Para calcularmos o momento de inércia em relação aos eixos u e v, bem como o seu
respectivo produto de inércia, é necessário uma transformação de coordenadas, que está
ilustrada na Fig.(15.7), conforme expressão (15.5).
















−
=








y
x
v
u
θθ
θθ
cossen
sencos
(15.5)
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Aplicando-se as definições de momento de inércia e substituindo-se as relações obtidas em
(15.5) tem-se
( ) dAxxydAdAydAxydAvI
AAAAA
u ∫∫∫∫∫ +−=−==
222222 sensencos2cossencos θθθθθθ
( ) dAyxydAdAxdAyxdAuI
AAAAA
v ∫∫∫∫∫ +−=+==
222222 sensencos2cossencos θθθθθθ
que podem ser rescritas como
xxyyv
yxyxu
IIII
IIII
θθθθ
θθθθ
22
22
sensencos2cos
sensencos2cos
++=
+−=
(15.6)
Aplicando-se o mesmo procedimento para calcular o produto de inércia Iuv tem-se
( )( )
xyxyxy
AA
AAAA
uvIIIIdAxydAy
dAxdAxydAxyyxdAuvI
θθθθθθθθθ
θθθθθθθ
2222
22
sencossensencoscossencossen
sencoscossencossencos
−+−=−+
−=−+==
∫∫
∫∫∫∫
que pode ser rescrita como
( ) xyxyuv IIII θθθθθθ sencossencossencos 22 +−−= (15.7)
Aplicando-se na equações (15.6) e (15.7) as relações trigonométricas θθθ cossen22sen = e
θθθ 22 sencos2cos −= pode-se escrever
θθ
θθ
θθ
2cos2sen
2
2sen2cos
22
2sen2cos
22
xy
yx
uv
xy
yxyx
v
xy
yxyx
u
I
II
I
I
IIII
I
I
IIII
I
+
−
=
+
−
−
+
=
−
−
+
+
=
(15.8)
Com estas expressões pode-se determinar os momentos de inércia e o produto de inércia de
uma figura qualquer em relação a um par de eixos inclinados com relação à horizontal. É
interessante observar que a soma dos momentos de inércia Iu e Iv resulta num invariante de
inércia ou seja
vuyxzo IIIIII +=+==
o que mostra que o momento de inércia polar Io (ou momento de inércia Iz) é independente da
orientação dos eixos u e v.
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15.5 MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
As equações (15.8) determinam os momentos de inércia em função do ângulo de
inclinação θ. Do ponto de vista da Engenharia faz-se necessário determinar para que ângulos
θ os momentos de inércia Iu e Iv são extremos (máximo e mínimo). Este par de eixos são
denominados de eixos principais de inércia e os momentos de inércia calculados em relação a
estes eixos são chamados de momentos principais de inércia. De modo geral, para cada
origem O escolhida há um par de eixos principais.
Para se determinar os valores extremos de Iu e Iv deriva-se a 1ª das equações (15.8) em
relação a θ e iguala-se a zero.
02cos22sen
2
2 =−




 −
−= θθ
θ xy
yxu I
II
d
dI
Rescrevendo esta equação e chamando de θP o ângulo que localiza os eixos principais de
inércia tem-se
( ) yx
xy
yx
xy
II
I
II
I
−
−
=
−
−
=
2
2
2tan θ (15.9)
Esta equação fornece duas raízes, 
1Pθ e 2Pθ , defasadas de 90
o, que localizam os eixos
principais de inércia conforme ilustrado na Fig.(15.8). Substituindo-se estes ângulos nas
expressões (15.8) obtém-se os momentos de inércia Iu e Iv. A identificação do momento de
inércia máximo Imax e do momento de inércia mínimo Imin é feito por simples comparação
entre Iu e Iv. Além disso, pode-se também verificar que o produto de inércia Iuv em relação aos
eixos principais de inércia é nulo, ou seja ( ) ( ) 0
21
== PuvPuv II θθ .
O
θp1
θp2
y
x
v u
Figura 15.8 – Localização dos eixos principais de inércia.
A Fig.(15.9) apresenta as quatro situações possíveis para o ângulo θ que localiza os
eixos principais de inércia (no caso da figura são os eixos principais centrais de inércia).
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Figura 15.9 – Situações possíveis para o ângulo θ que localiza os eixos principais de inércia.
Os momentos de inércia Imax e Imin podem ser calculados através de uma expressão
mais simples, para tal deve-se determinar o seno e o cosseno de 
1Pθ e 2Pθ , o que pode ser
feito a partir dos triângulos apresentados na Fig.(15.10), os quais são obtidos através da
equação (15.9). Com este procedimento obtém-se as expressões (15.10) e (15.11).
I
Ixy
(Ix-Iy)/2
-(Ix-Iy)/2
- Ixy
Ixy
2θp1
2θp2
Figura 15.10 – Cálculo dos momentos principais de inércia.
2
2
2
2sen
1
xy
yx
xy
P
I
II
I
+






 −
−
=θ , 2
2
22
2cos
1 xy
yxyx
P I
IIII
+




 −





 −
=θ (15.10)
x
y
u
v
θ
x
y
u
v
θ
u
v
x
y
θ
u
v
x
y
θ
0
0
>
<
>
θ
xy
yx
I
II
0
0
<
>
>
θ
xy
yx
I
II
0
0
<
<
<
θ
xy
yx
I
II
0
0
>
>
<
θ
xy
yx
I
II
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2
2
2
2sen
2
xy
yx
xy
P
I
II
I
+




 −
=θ , 2
2
22
2cos
2 xy
yxyx
P I
IIII
+




 −





 −
−=θ (15.11)
Substituindo-se estes resultados na (15.8) tem-se
( )
















+




 −
−
−
+




 −
−
−
+
+
=
2
2
2
2
22
2
221
xy
yx
xy
xy
xy
yx
yx
yxyx
Pu
I
II
I
I
I
II
II
IIII
I θ (15.12)
que pode ser rescrita como
( ) 2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
22
2
2
21 







+




 −
+
+
=








+




 −
+




 −
+
+
= xy
yxyx
xy
yx
xy
yx
yx
Pu I
IIII
I
II
I
II
II
I θ (15.13)
Considerando-se o ângulo 
2Pθ e aplicando-se o mesmo procedimento tem-se
( ) 2
1
2
2
222 







+




 −
−
+
= xy
yxyx
Pu I
IIII
I θ (15.14)
Pode-se demonstrar ainda que ( ) ( ) 0
21
== PuvPuv II θθ fazendo-se
( ) 0
2
2
2
2
2
2
2
21
=
+




 −
−
+
















+




 −
−−
=
xy
yx
yx
xy
xy
yx
xyyx
Puv
I
II
II
I
I
II
III
I θ (15.15)
Os resultados obtidos podem ser resumidos na equação (15.16), que conforme o uso
do sinal (+) ou (-) fornece o momento de inércia máximo ou mínimo.
2
2
min
max 22 xy
yxyx I
IIII
I +




 −
±
+
= (15.16)
Uma pergunta comum que surge quando se aplica a equação (15.16) é como
identificar os eixos de máximo e mínimo. Para responder a esta questão vai-se considerar
hipoteticamente que yx II > . Lembrando a dedução anterior pode-se escrever
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150
2
2
22
2cos
1 xy
yxyx
P I
IIII
+




 −





 −
=θ (15.17)
Como yx II > , o resultado da expressão (15.17) é um número positivo; que lembrando o
funcionamento da função cosseno, indica que o ângulo 
1Pθ está no 1
º ou no 2º quadrantes.
Seguindo o raciocínio, pode-se demonstrar que
( ) ( ) 




 −
++=
1
2cos2
1
P
yx
yxu
IIIII θ (15.18)
( ) ( ) 




 −
−+=
1
2cos2
1
P
yx
yxv
IIIII θ (15.19)
Como 02cos
1
>Pθ , nota-se pelas expressões (15.18) e (15.19), que se yx II > tem-se
necessariamente vu II > . Logo, pode-se escrever
2
2
min
2
2
max
22
22
xy
yxyx
v
xy
yxyx
u
I
IIII
II
I
IIII
II
+




 −
−
+
==
+




 −
+
+
==
(15.20)
Quando xy II > tem-se uv II > e neste caso deve-se trocar os sinais do segundo membro da
(15.20) ou seja
2
2
max
2
2
min
22
22
xy
yxyx
v
xy
yxyx
u
I
IIII
II
I
IIII
II
+




 −
+
+
==
+




 −
−
+
==
(15.21)
|Do ponto de vista do projeto estrutural/mecânico, o ponto O adotado para a origem do
sistema de referência é o centróide da área. Neste caso, os eixos principais de inércia são
chamados de eixos principais centrais de inércia, e os momentos de inércia correspondentes à
estes eixos são chamados de momentos principais centrais de inércia. Como o produto de
inércia em relação a um par de eixos é nulo, sempre que pelo menos um dos eixos for eixo de
simetria, pode-se afirmar que um eixo de simetria é sempre um eixo principal central de
inércia para a área.
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15.6 ELIPSE DE INÉRCIA
Considerando-se os momentos de inércia maxI e minI , pode-se calcular os raios de
giração máximo e mínimo fazendo-se 
A
IR maxmax = e A
IR minmin = . Utilizando-se estes
valores pode-se marcar dois pontos ( )0,maxR e ( )0,maxR− , sobre o eixo principal de
mínimo e dois pontos ( )min,0 R e ( )min,0 R− , sobre o eixo principal de valor máximo. Com
estes 4 pontos pode-se traçar uma elipse que é chamada de elipse de inércia. A Fig.(15.11)
ilustra o traçado desta elipse. A equação, em coordenadas retangulares, que representa a elipse
de inércia é dada por 12
min
2
2
max
2
=+
R
y
R
x (considerando que o diâmetro maior da elipse é
paralelo ao eixo x) e em coordenadas polares por 
θθ 22min22max
2
min
2
max2
cossen RR
RRr
+
= . Pode-se
demonstrar que o momento de inércia da figura em relação a um eixo com inclinação θ em
relação a horizontal, pode ser calculado fazendo-se 2rAIu ⋅= . A Fig.(15.11) ilustra esta
operação.
O
y
x
eixo
de máximo
eixo
de mínimo
Rmax
 - Rmax
Rmin
 - Rmin
r θp1
θ
Figura 15.11 – Traçado da elipse de inércia.
15.7 CÍRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS DE INÉRCIA
Examinando-se as duas primeiras expressões apresentadas em (15.8), pode-se
demonstrar que estas representam a equação paramétrica de circunferência. Tomando-se a 1ª
expressão, transpondo-se o termo 
2
yx II + e elevando-se ambos os lados ao quadrado tem-se
22
2sen2cos
22 






−
−
=




 +
− θθ xy
yxyx
u I
IIII
I (15.22)
Elevando-se ambos os lados da 3ª expressão da (15.8) ao quadrado e somando-se com a
(15.22) obtém-se
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22
2
2
2cos2sen
2
2sen2cos
22 






−
−
+





−
−
=+




 +
− θθθθ xy
yx
xy
yx
uv
yx
u I
II
I
II
I
II
I
que pode ser rescrita como
2
2
2
2
22 xy
yx
uv
yx
u I
II
I
II
I +





 −
=+






 +
− (15.23)
Chamando-se 
2
yx
med
II
I
+
= e 2
2
2
2 xy
yx I
II
R +





 −
= pode-se escrever a (15.23) como
( ) 222 RIII uvmedu =+− (15.24)
que é a equação de uma circunferência de centro em (Imed , 0) e raio R.
Para traçar o círculo de Mohr deve-se
- Representar o momento de inércia no eixo x e o produto de inércia no eixo y;
- Marcar o centro do círculo, ponto C, nas coordenadas (Imed , 0);
- Marcar um ponto A de coordenadas (Ix , Ixy);
- Ligar o ponto C ao ponto A. Esta distância representa o raio R do círculo. Traçar a
circunferência. Os pontos de interseção da circunferência com o eixo x são os pontos de
momento de inércia máximo (Imax) e momento de inércia mínimo (Imin). Nota-se que
nestes pontos o produto de inércia é nulo.
- Para localizar os eixos principais de inércia deve-se calcular o ângulo 
1
2 Pθ , que é medido
a partir da reta CA no sentido x positivo.
A Fig. (15.12) ilustra o procedimento apresentado.
Imax
Imin
(Ix+Iy)/2
I
Ixy
C
Ix
I xy2θp1
A
Figura 15.12 – Traçado do círculo de Mohr.
ENG 01156 – Mecânica - Aula 15
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153
Exemplo 3. Determinar os eixos principais de inércia e os respectivos momentos de
inércia em relação ao ponto O. Represente também a elipse de inércia da figura em relação a
este ponto. Considere as cotas da figura em cm.
Solução: O primeiro passo é calcular os momentos de inércia
Ix e Iy , bem como o produto de inércia Ixy.
4
33
cm 67,86
3
52
3
110
=
⋅
+
⋅
=xI
4
333
cm 67,106
3
61
3
25
3
41
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=yI
( ) ( ) ( ) ( ) 4cm 305,212515,0110 −=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=xyI
Os eixos principais de inércia são localizados fazendo-se( ) 32tan
67,10667,86
3022tan −=→
−
−⋅−
= θθ
°− 78,35
1Pθ e °= 22,542Pθ
Os momento de inécia são obtidos fazendo-se
4cm 67,96
2
67,10667,86
2
=
+
=
+
=
yx
med
II
I
( ) 4xyyx cm IIIR 62,31302
67,10667,86
2
2
2
2
2
=−+




 −
=+







 −
=
4
max 29,12862,3167,9 cmRIII medV =+=+== 4min 05,6562,3167,96 cmRIII medu =−=−==
Os raios de giração máximo e mínimo são obtidos fazendo-se
cm 53,2
20
29,128max
max === A
IR cm 8,1
20
05,65min
min === A
IR
Pelos resultados obtidos , nota-se que yII >max e xII <min , como era de se esperar devido ao
processo para os valores extremos dos momentos de inércia para um ponto O fixado. A figura abaixo apresenta a
localização dos eixos principais de inércia para um ponto O fixado. A figura abaixo apresenta a localização dos
eixos principais de inércia e a representação da elipse de inércia.
θθ 22
2
cos24,3sen4,6
739,20
+
=r
x
y
O
2 2 6
1
5
(cm)
x
y
O
35,78°
eixo de máximo
eixo de mínimo
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154
ENG 1156 – MECÂNICA – TRABALHO 6 – SEGUNDA ÁREA
Os trabalhos devem ser desenvolvidos em folha A4 branca a caneta e sem rasuras, ou
podem ser desenvolvidos em editor de texto. Neste caso, o trabalho pode ser entregue em
arquivo (formato .rtf, pdf ou .doc) ou impresso em folha A4 branca. Trabalhos fora destas
condições não serão avaliados.
1) Calcular os momentos de inércia
Ix, Iy em relação aos eixos
centrais, bem como os seus
respectivos raios de giração.
2) Calcular por integração o produto de inércia da
figura ao lado em relação aos eixos x e y.
3) Para a peça ilustrada na figura abaixo,
calcule: os momentos de inércia
(retangular e polar) em relação aos
eixos baricêntricos, o produto de
inércia em relação à estes mesmos
eixos, os eixos principais centrais de
inércia e os momentos principais
centrais de inércia. Identifique os
eixos de momento de inércia máximo
e mínimo.
3 
m
1,73 m
x
dx
y
X
Y 23 xy −=
72
40
20
12
Ø13
(mm)
75
50
25
125
125
300
75
50
25
(mm)