Cálculo 1 - Formulário

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I – TRIGONOMETRIA
1. Identidades Fundamentais: 
 1.1. cotg x = tgx
1 ; sec x = xcos
1 ; cossec x = xsen
1
 1.2. tg x = x
x
cos
sen ; cotg x = x
x
sen
cos 
 1.3. sen2x + cos2x = 1 
 1+ tg2x = sec2x 
 1+ cotg2x = cossec2x 
2. Fórmulas de Redução:
 2.1. sen(pi /2 ± x) = cos x
 cos(pi /2 ± x) =  sen x
 tg(pi /2 ± x) =  cotg x
 2.2. sen( ±pi x) =  sen x
 cos( ±pi x) = xcos−
 tg( ±pi x) = ± tg x
 2.3. sen(2 ±pi x) = ± sen x
 cos(2 ±pi x) = cos x
 tg(2 ±pi x) = ± tg x
3. Função da Soma e Diferença de 2 Ângulos:
3.1. sen(x ± y) = sen x . cos y ± sen y . cos x
 3.2. cos(x ± y) = cos x . cos y  sen x . sen y
 3.3 tg(x ± y) = tgytgx
tgytgx
.1
±
4. Fórmulas de Fatoração: 
4.1. sen x + sen y = 2 . sen 2
yx+ . cos 2
yx−
 4.2. sen x – sen y = 2 . cos 2
yx+ . sen 2
yx−
 4.3. cos x + cos y = 2 . cos 2
yx+ . cos 2
yx−
 4.4. cos x – cos y = ⋅− 2 sen 2
yx+ . sen 2
yx−
 4.5. ±tgx tg y = 
yx
yx
cos.cos
)sen( ±
5. Relação entre as funções de x e 2x 
5.1. sen 2x = 2 . sen x . cos x
 5.2. cos 2x = cos2x – sen2x = 2.cos2x – 1= 1 – 2.sen2x
 5.3. sen2x = ½ . (1 – cos 2x)
 5.4. cos2x = ½ . (1 + cos 2x)
 5.5. tg 2x = 
xtg
tgx
21
.2
−
6. Expressões para qualquer Triângulo 
 6.1. Lei do cosseno: a2 = b2 + c2 – 2bc.cos Â
 6.2. Lei do seno: C
c
B
b
A
a
sensensen ==
 6.3. Área: ½ bc . sen  
Rad 0
6
pi
4
pi
3
pi
2
pi pi
2
3pi
Grau 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o
Sen 0
2
1
2
2
2
3 1 0 -1
Cos 1
2
3
2
2
2
1 0 -1 0
Tg 0
3
3 1 3 ∞ 0 ∞
Cotg ∞ 3 1 3
3 0 ∞ 0
Sec 1
3
32 2 2 ∞ -1 ∞
Cosec ∞ 2 2 3
32 1 ∞ -1
 II – ÁLGEBRA
1. Fórmula Binomial: 
 (x + y)n = xn + n . xn – 1. y + 22!2
)1( yx nnn ⋅⋅ −−⋅ + 
33
!3
)2()1( yx nnnn ⋅⋅ −−⋅−⋅ +  + 1−⋅ nxyn + ny
 onde n é um nº positivo e n! (n fatorial) é 
 n! = n . (n – 1) . (n – 2) . . . 2 . 1
2. Produtos Especiais: 
2.1 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 
2.2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 
 2.3 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
 2.4 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
 2.5 x2 – y2 = (x – y) (x + y) 
 2.6 x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) 
 2.7 x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) 
 2.8. )).(.( 21
2 xxxxacbxax −−=++ 
3. Equação do 2º Grau: 
 As raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0,
 são determinadas por:
 
a
acbbx
2
42 −±−
= onde acb 42 −=∆
 Se ∆ < 0 → raízes imaginárias
 Se ∆ = 0 → raízes iguais
 Se ∆ > 0 → raízes reais e diferentes
 Se x1 e x2 são raízes então: x1+x2 = a
b
− e x1.x2 = a
c
 Abscissa do vértice da parábola: 2)(
21 xx
vx
+
= ou a
b
vx 2)( −=
4. Propriedades da Potenciação e Radiciação: 
 4.1. ap.aq = ap + q 4.2. q
p
a
a = ap – q 
 4.3. (ap)q = ap . q 4.4. a0 = 1, a ≠ 0
 4.5. a – p = pa
1 4.6. (a . b)p = ap . bp
 4.7. nmn m aa /= 4.8. n
n
b
an
b
a
= 
 4.9. nnn baba .. = 4.10. pnn p aa .=
 4.11. ( ) n mmn aa = 4.12. pn pmn m aa . .=
5. Logarítmo: 
 Se N = ax, onde a é um número positivo diferente 
de 1, então x = logaN, é chamado logarítmo de N 
na base a, onde N > 0.
6. Propriedades dos Logarítmos:
6.1. logaM.N = logaM + logaN
6.2. loga N
M
= logaM – logaN
6.3. logaa = 1 
6.4. logaNn = n . logaN
6.5. loga N
1
= – logaN
6.6. loga1 = 0
6.7. NN an
n
a loglog 1 ⋅=
6.8. logba = balog
1
6.9. logbN = logaN . logba = b
N
a
a
log
log
6.10. logaaN = N . logaa = N
6.11. ln eN = eln N = N
1
Organizado por: Profº Maria Helena S. Xavier e Sara Regina de Oliveira. Bibliografia: Cálculo: Anton, Boyce, Leithold,, Stewart, Swokowski
III – DERIVADAS
Seja u, v, w → funções de uma variável x.
Seja a, k, m, n → constantes.
As derivadas de u, v, w em relação a x serão:
 1. D(u ± v ± w) = Du ± Dv ± Dw 
 2. D(k) = 0 
 3. D(x) = 1 
 4. D(kx) = k 
 5. D(k.xn) = n.k.xn-1 
 6. D(k.u) = k.Du 
 7. D(u.v) = u.Dv + v.Du 
 8. D(u.v.w) = v.w.Du + u.w.Dv + u.v.Dw 
 9. D ( ) 2v DvuDuvvu ⋅−⋅= 
10. D ( ) 21 vDvv −=
11. D ( ) 2. vDvvk k−= 
12. D(um) = m.um-1.Du
13. D ( ) m mum Dum u 1−⋅=
14. D(au) = au.ln a. Du 
15. D(eu) = eu. Du 
16. D(vu) = vu. ln v. Du + u.vu-1. Dv (exponencial geral) 
17. D(logau) = au
Du
ln⋅ 
18. D(ln u) = u
Du 
19. dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
⋅⋅= (Regra da Cadeia)
20. 
dy
dxdx
dy 1
= (Derivada da Função Inversa) 
21. D(sen u) = (cos u). Du 
22. D(cos u) = ( – sen u). Du 
23. D(tg u) = (sec2 u). Du 
24. D(cotg u) = ( – cossec2 u). Du
25. D(sec u) = (sec u . tg u). Du 
26. D(cossec u) = ( – cossec u . cotg u). Du 
27. D(arc sen u ) = 21 u
Du
−
 ou D(sen– 1 u) 
28. D(arc cos u) = 21 u
Du
−
− ou D(cos– 1 u) 
29. D(arc tg u) = 21 u
Du
+ ou D(tg
– 1 u) 
30. D(arc cotg u) = 21 u
Du
+
− ou D(cotg– 1 u) 
31. D(arc sec u) = 12 −uu
Du
 ou D(sec– 1 u) 
32. D(arc cossec u) = 12 −− uu
Du
 ou D(cossec– 1 u) 
33. D(senh u) = (cosh u). Du
34. D(cosh u) = (senh u). Du
35. D(tgh u) = (sech² u). Du
36. D(cotgh u) = ( – cosech² u). Du
37. D(sech u) = ( – sech u. tgh u). Du
38. D(cosech u) = ( – cosech u. cotgh u). Du 
IV – DIFERENCIAIS
As regras para diferenciais são análogas às das 
derivadas, já que “diferencial de uma função y = f(x) 
é igual à derivada da função multiplicada pela 
diferencial da variável independente”, e obtemos:
dy = Df(x).dx ou dy = f ’(x).dx
V – INTEGRAIS IMEDIATAS 
 1. ∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dwdvdudwdvdu )( 
 2. ∫ ∫=⋅ duadua 
 3. ∫ += Cudu 
 4. ∫ ++=⋅
+
C
n
uduu
n
n
1
1
 )1( −≠n 
 5. ∫ += Cuudu ln 
 6. C
a
adua
u
u +=⋅∫ ln 
 7. Cedue uu +=⋅∫ 
 8. Cuduu +−=⋅∫ cossen 
 9. Cuduu +=⋅∫ sencos 
10. Ctguduu +=⋅∫ 2sec 
11. Cguduu +−=⋅∫ cotseccos 2 
12. Cudutguu +=⋅⋅∫ secsec 
13. Cuduguu +−=⋅⋅∫ seccoscotseccos 
14. Cudutgu +=⋅∫ secln 
15. Cudugu +=⋅∫ senlncot 
16. Ctguuduu ++=⋅∫ )ln(secsec 
17. Cguuduu +−=⋅∫ )cotsecln(cosseccos 
18. C
a
uarctg
aau
du
+⋅=
+∫ 122 ou = Cautga +⋅ −11 
19. C
au
au
aau
du
+
+
−
⋅=
−
∫ ln2122 
20. C
ua
ua
aua
du
+
−
+
⋅=
−
∫ ln2122
21. ∫ +=
−
C
a
u
ua
du arcsen
22
 ou = C
a
u
+−1sen 
22. ( )∫ +±+=± Cauuaudu 2222 ln 23.
∫ ++−=⋅− Cauauauduua arcsen22
2
2222
 ou = C
a
uauau ++− −1
2
22 sen
22
 
24. ( ) Cauuaauuduau +±+±±=±∫ 2222222 ln22
25. Integração por partes ∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu
 
2
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