Física I UNIVESP Semana 04

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física i
exercícios de portfólio
EXERCÍCIO 1
Dois corpos A e B, de massas MA e MB respectivamen-
te, são interligados por um fio de massa desprezível, de 
acordo com a figura a seguir. Considere a massa de rol-
dana igualmente desprezível.
θ
B
A
MA
O corpo A se encontra sobre um plano inclinado. Seja θ 
o ângulo formado pelo plano inclinado e a horizontal, e 
seja μ o coeficiente de atrito cinético entre o corpo A e a 
superfície do plano inclinado.
A partir dos dados, determine:
a. O DCL de cada corpo (utilize dois referenciais apro-
priados, sendo um referencial para cada corpo). 
Admita que o corpo A suba o plano inclinado.
b. Escreva as equações de Newton em termos de 
componentes.
Física I / Aulas 13–16 Exercícios de Portfólio 2
c. Qual é a aceleração do sistema?
d. Determine a tensão sobre a corda.
e. Determine a aceleração e a tensão para os seguintes valores das 
grandezas físicas relevantes:
	 µ	 =	 1	
2			2
	 θ	 =	 450	 =	 π
4
	rad
	 MB	 =	 2	kg	 MA	 =	 1	kg	 g	 =	 10	m/s
2
EXERCÍCIO 2
Ann (50 kg) e Peter (70 kg) estão numa pista de patinação de gelo com 
seus respectivos patins. 
Os dois se empurram mutuamente de modo que a interação ocorra duran-
te um exíguo intervalo de tempo ∆t = dt. Desprezar atritos. Após a intera-
ção, os dois se afastam, distanciando-se um do outro. Adotar g = 10 m/s² = 
= 10 N/kg e nulo o atrito entre os patins e a pista de gelo.
a. Indicar as forças de ação e reação na interação entre as mãos. 
b. Determinar o peso de Ann e o de Peter e expressá-los em N e kgf.
c. Esquematizar os DCL’s de Ann e de Peter.
d. Quem recua com velocidade maior? Ann ou Peter? Explicar.
Física I / Aulas 13–16 Exercícios de Portfólio 3
gabarito
EXERCÍCIO 1
a. O DCL de cada corpo e os referenciais são escolhidos como segue:
P
→
a
θ
Fat
→
T
→
N
→
X
y
 PB
→
 = MBg
→
B
T
→
b. Sendo a aceleração igual para cada corpo, temos:
Corpo A
componente x:
MAa	 =	 T	-	Fat	-	MAgsenθ	 =	 T	-	µN	-	MA 	gsenθ	 (1)
componente y:
N	-	MA	gcosθ	 =	 0	 (2)
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Corpo B
componente y:
MBa	 =	 PB	-	T	 =	 MB	g	-	T	 (3)
c. Utilizando (2) em (3), obtemos:
MBa	 =	 T	-	µMA	gcosθ	-	MA	gsenθ	 =	 T	-	MA	g(µcosθ	+	senθ)	 (4)
De (3) temos:
MBa	-	MB	g	 =	 T	 (5)
Somando as equações (4) e (5), encontramos:
(MA	+	MB)a	 =	 g	[MB	-	MA(µcosθ	+	senθ)]
Ou seja,
a	 =	 g	
MB	-	MA(µcosθ	+	senθ)
MA	+	MB
	 (6)
d. De (5) segue que:
T	 =	 MB	g	-	MBa
Portanto:
T	 =	 MB	g	-	MB	g	
MB	-	MA(µcosθ	+	senθ)
MA	+	MB
	 =	
MB	g	
MB	-	MA(µcosθ	+	senθ)
MA	+	MB
1	-	
Logo:
T	 =	
MB	g
MA	+	MB
	[MA	+	MA(µcosθ	+	senθ)]
Física I / Aulas 13–16 Exercícios de Portfólio 5
ou seja:
T	 =	
MA	MB
MA	+	MB
	g	(1	+	µcosθ	+	senθ)]	 (7)
e. De (6) segue que:
a	 =	 10	
1	
2			2
cos450	+	sen4502	-	1					
2	+	1
	m/s2
a	 =	
10
3
	
1	
2			2
 			2 	
2
 + 			2 	
2
2	-		 	m/s2
a	 =	 10
3
	 2	-	
1
4
	-	
			2 	
2
	 ≅	
10
3
	
7
4
	-	0,7 	 =	
10
3
	
4,2
4
	 =	
10,5
3
	m/s2
Ou seja,
a	 =	 3,5	m/s2
De (5) segue que:
T	 =	 MB	g	-	MB	a	 =	 MB	(g	-	a)
Portanto,
T	 =	 2(10	-	3,5)	 =	 2(6,5)	 =	 13	Newtons
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EXERCÍCIO 2
a. As forças de ação e reação surgem simultaneamente a partir do ins-
tante em que as palmas das mãos entram em contato. 
ação
fim da 
interação
início da 
interação
tempo de interação
força de interação
∆t
reação
No início elas têm baixas intensidades, crescem, atingem um valor 
máximo e depois se anulam no fim da interação. Conforme o gráfico 
ilustra, elas não são constantes. Este tipo de força pode ser carac-
terizado como forças impulsivas se o “tempo de interação ∆t” for 
muito pequeno.
F1
→ F2
→
As forças de ação e reação são F1 e F2 donde:
 → F1 = força com que a palma da mão de Peter empurra a palma da 
mão de Ann; portanto, F1 é uma força aplicada na mão de Ann.
 → F2 = força com que a palma da mão de Ann empurra a palma da 
mão de Peter; portanto, F2 é uma força aplicada na mão de Peter.
De acordo com a 3ª Lei de Newton, elas têm módulos iguais, mesma 
direção, sentidos opostos, mas aplicadas em corpos diferentes.
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b. O peso ou força peso ou força de atração gravitacional da Terra so-
bre um objeto é uma “força de campo” (ação a distância). A soma dos 
pesos das partículas (possuidoras do atributo massa) constituintes de 
um objeto constitui o peso do objeto e para fins práticos, o considera-
mos como uma força concentrada no Centro de Gravidade do objeto.
O peso é representado por um vetor vertical e para baixo e o seu 
módulo é p = m.g onde m = massa do objeto e g = intensidade do 
campo gravitacional local. Se o local for próximo da superfície da 
Terra, o campo gravitacional é g = 9,8 m/s² = 9,8 N/kg. Em muitas si-
tuações, aproxima-se o campo gravitacional para g = 10 N/kg. Assim:
 → Peso de Ann = PAnn = (50 kg)(10 N/kg) = 500 N ou 50 kgf
 → Peso de Peter = PPeter = (70 kg)(10 N/kg) = 700 N ou 70 kgf
c. DCL de Ann e de Peter
F1
→
PAnn
→
NB
→
NA
→
F2
→
PPeter
→
N'
→
N
→
As forças de interação entre as palmas da mão:
 → F1 = - (F1). i - força da mão de Peter na de Ann.
 → F2 = +(F2). i - força da mão de Ann na de Peter.
Forças de contato entre os pés e a pista:
 → NAnn = NA + NB = (NAnn). j - reação normal total em Ann.
 → NPeter = N + N
' = (NPeter). j - reação normal total em Peter.
Força de campo: força peso em Ann e de Peter.
 → PAnn = - (500). j (N)
 → PPeter = - (700). j (N)
Força de atrito:
Força de atrito = 0 (conforme enunciado)
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Observação importante
Pode-se esquematizar o DCL de forma pictórica ou de forma sim-
plificada. Na forma simplificada, considera-se Ann e Peter como se 
fossem partículas. Veja a seguir.
F1
→
PAnn
→
NAnn
→
x
mAnn
y
F2
→
PPeter
→
NPeter
→
x
mPeter
y
Adota-se um referencial cartesiano, com a massa de cada um, e es-
quematizam-se a forças externas sobre cada partícula.
d. Da cinemática vetorial sabemos que (I) dv /dt = a e da 2ª Lei de 
Newton que (II) F = m.a ou a = F/m . Comparando as duas relações: 
(III) dv /dt = F/m.
A relação III pode ser escrita em termos de componentes ao lon-
go dos eixos 0x e 0y. 
partícula eixo x (em unidades SI) eixo y (em unidades SI)
Ann
dvx
dt
	Ann	 =	
FX
m
	 =	 -	
F1
50
(IV)
dvy
dt
	Ann	 =	
Fy
50
	 =	
NAnn	-	500
50
(VI)
Peter
dvx
dt
	Peter	 =	
FX
m
	 =	
F2
70
(V)
dvy
dt
	Peter	 =	
Fy
70
	 =	
NPeter	-	700
70
(VII)
O que conhecemos?
1. Ann e Peter movem-se ao longo do eixo 0x. Portanto, dvy /dt = 0. 
Logo da relação (VI) e (VII) extraímos que:
 →
dvy
dt
 Ann = 
Fy
50
 = 
NAnn	-	500
50
 = 0 e portanto: NAnn = 500 N.
 →
dvy
dt
 Peter = 
Fy
70
 = 
NPeter	-	700
70
 = 0 e portanto: NPeter = 700 N.
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2. Considerando um tempo de interação ∆t = dt = infinitesimal, po-
demos aproximar as forças de interação como se constantes fos-
sem. Assim sendo, pela Lei da ação e reação: F1 = F2 = F. Logo, as 
relações IV e V se reduzem a:
 →
dvx
dt
 Ann = – 
F
50
 (VIII)
 →
dvx
dt
 Peter = 
F
70
 (IX)
Isolando F de IX e substituindo em VIII, temos:
dvx
dt
	Ann	 =	 -	
70	.	
dvx
dt
	Peter
50
	 =	 -	(1,4).
dvx
dt
	Peter
Como a aceleração está relacionada com a variação de velocidade, 
ax = dvx/dt e sendo |axAnn| = (1,4) |axPeter| a variação de velocidade 
de Ann será 1,4 vezes maior do que a Peter. Osinal negativo in-
dica que Peter e Ann adquirem velocidades em sentidos opostos.
Como ambos partiram do repouso, a velocidade de recuo de 
Ann ao final da interação será 1,4 vezes maior do que a velocidade 
de recuo de Peter.