Geometria Analítica e Álgebra Linear UNIVESP Semana 03

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3
Geometria analítica 
e álGebra linear
atividade para avaliação
exercício 1 (1,0 ponto cada item)
Determine as posições relativas das seguintes retas
a. r: X = (1,2,1) + α(1,0,2) e s: X = (3,2,5) + β(3,0,6)
b. r: X = (1,2,0) + α(2,1,1) e s: X = (5,4,2) + β(2,2,1)
exercício 2 (1,0 ponto)
Verifique se as seguintes retas são ortogonais. Em caso 
afirmativo, verifique se são perpendiculares e, neste 
caso, encontre o ponto de interseção das retas.
r: X = (2,2,1) + γ(1,1,-2), γ ∈ � e 
s: X = (1,3,-2) + α(4,-2,1), α ∈ �
exercício 3 (0,5 ponto cada item)
Determine as posições relativas entre as seguintes retas 
e planos:
a. r: X = (3,2,1) + α(2,1,2) e π: 2x - 2y - z + 2 = 0
b. r: X = (2,2,1) + α(3,-1,2) e π: 3x - 2y - z + 4 = 0
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 9–12 Atividade para Avaliação 2
exercício 4 (1,0 ponto)
Determine uma equação para a reta r, paralela ao plano π: 2x + y - z + 4 = 0, 
concorrente com a reta s: (1,1,0) + α(2,1,1) e que contém o ponto P = (2,1,3).
exercício 5 (1,0 ponto)
Determine uma equação para a reta r, paralela à reta
s: x - 2y + z - 2 = 0
2x + 2y + 2z + 1 = 0
e que passa por P = (1,2,2).
exercício 6 (1,0 ponto)
Encontre uma equação para a reta r, perpendicular à reta
s: X = (1,2,1) + α(2,1,-2), α ∈ �
e que contém o ponto P = (1,0,3).
exercício 7 (1,0 ponto)
Encontre o plano π que contem o ponto P = (1,2,2) e é ortogonal à reta
r: X = (0,2,1) + α(2,-1,4)
exercício 8 (1,0 ponto)
Calcule a distância do ponto P = (2,3,1) à reta determinada pelos pontos 
A = (1,0,1) e B = (1,1,0).
exercício 9 (1,0 ponto)
Determine a distância entra as retas 
r: X = (1,1,0) + α(2,1,2) e s: X = (1,2,2) + β(2,0,3)
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 9–12 Atividade para Avaliação 3
Gabarito
exercício 1
a. r: X = (1,2,1) + α(1,0,2) e s: X = (3,2,5) + β(3,0,6)
Sejam r
→
 = (1,0,2) e s
→
 = (3,0,6), como s
→
 = 3r
→
, temos que {r
→
, s
→
} é 
LD, logo as retas são paralelas, precisamos verificar se coincidem 
ou não.
Seja A = (1,2,1) ∈ r, vamos verificar se A também pertence à reta s.
A ∈ s ⇔ (1,2,1) = (3,2,5) + β(3,0,6), para algum β ∈ �
(1,2,1) = (3,2,5) + β(3,0,6) ⇔ 
3 + 3β = 1
2 = 2
5 + 6β = 1
 ⇒ β = - 2
3
Logo A ∈ s e, portanto, r = s.
b. r: X = (1,2,0) + α(2,1,1) e s: X = (5,4,2) + β(2,2,1)
Sejam r
→
 = (2,1,1) e s
→
 = (2,2,1), como s
→
 ≠ k r
→
, para qualquer k ∈ �, te-
mos que {r
→
, s
→
} é LI, logo as retas não são paralelas, vamos verificar 
se elas pertencem a um mesmo plano.
Sejam A = (1,2,0) ∈ r e B = (5,4,2) ∈ s, AB
→
 = (4,2,2)
Vamos verificar se {r
→
, s
→
, AB
→
} é LI ou LD. 
det 
 2 1 1
 2 2 1
 4 2 2
 = 0
Logo {r
→
, s
→
,AB
→
} é LD e as retas são concorrentes.
exercício 2
r: X = (2,2,1) + γ(1,1,-2), γ ∈ � e s: X = (1,3,-2) + α(4,-2,1), α ∈ �
Temos, r
→
 = (1,1,-2) e s
→
 = (4,-2,1), assim r
→
 ⋅ s
→
 = 0, logo r e s são ortogonais.
Vamos verificar se são perpendiculares.
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 9–12 Atividade para Avaliação 4
Se P ∈ r ∩ s, então P ∈ r e P ∈ s.
P ∈ r ⇒ P = (2 + γ, 2 + γ, 1 - 2γ), para algum γ ∈ �
P ∈ s ⇒ P = (1 + 4α, 3 - 2α, -2 + α), para algum α ∈ �
Dessa forma temos:
 
2 + γ = 1 + 4α
2 + γ = 3 - 2α
1 - 2γ = -2 + α
⇔ 
γ - 4α = -1
γ + 2α = 1
-2γ - α = -3
Na 1ª equação temos que γ = 4 α - 1, substituindo na 2ª equação temos 
6α = 2 ⇒ α = 1
3
 , logo γ = 1
3
.
Substituindo na 3ª equação,
-2 1
3
 - 1
3
 = -1 ≠ 1
Logo r ∩ s = Ø e, portanto, não são perpendiculares.
exercício 3
a. r: X = (3,2,1) + α(2,1,2) e π: 2x - 2y - z + 2 = 0
Sejam r
→
 = (2,1,2) e n
→
 = (2,-2,-1), como r
→
 ⋅ n
→
 = 0, a reta é paralela ao 
plano, vamos verificar se ela está contida ou não no plano. 
Seja A = (3,2,1) ∈ r, 2 × 3 - 2 × 2 - 1 × 1 + 2 = 3 ≠ 0, logo A não per-
tence ao plano π, assim r não está contida no plano π.
b. r: X = (2,2,1) + α(3,-1,2) e π: 3x - 2y - z + 4 = 0
Sejam r
→
 = (3,-1,2) e n
→
 = (3,-2,-1), como r
→
 ⋅ n
→
 ≠ 0, a reta é transversal 
ao plano π. 
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 9–12 Atividade para Avaliação 5
exercício 4
Q ∈ s ⇒ Q = (1 + 2α,1 + α,α)
Quero encontrar Q ∈ s tal que PQ
→
 seja paralelo a π, ou seja, tal PQ
→
 ⋅ n
→
 = 0, 
onde n
→
 é um vetor normal ao plano π. 
Tome n
→
 = (2,1,-1), temos PQ
→
 = (2α - 1,α,α - 3), logo,
PQ
→
 ⋅ n
→
 = 2(2α - 1) + α - (α - 3) = 0 ⇔ 4α = -1, logo α = - 1
4
PQ
→
 = - 3
2
, - 1
4
, - 13
4
 , r: X = (2,1,3) + β(6,1,13), β ∈ �
exercício 5
A direção da reta r é a mesma direção do vetor n
→
 ∧ m
→
, com n
→
 e m
→
 normais 
aos planos que definem a reta s.
Tome
r
→
 = n
→
 ∧ m
→
 = det 
 i
→
 j
→
 k
→
 1 -2 1
 2 2 2
 = (-6,0,6),
logo, 
r: X = (1,2,2) + α(-6,0,6), α ∈ �
exercício 6
Vamos encontrar as coordenadas do ponto Q ∈ s, de tal forma que PQ
→
 ⊥ s
→
, 
onde s
→
 = (2,1,-2), assim a reta procurada é a reta por P com direção do 
vetor PQ
→
.
Se 
Q ∈ s ⇒ Q = (1 + 2α,2 + α,1 - 2α)
logo
PQ
→
 = (2α,2 + α,- 2α - 2),
PQ
→
 ⊥ s
→
 ⇒ 4α + 2 + α - 2(-2α - 2) = 0 ⇔ 9α + 6 = 0 ⇒ α = - 2
3
Logo
PQ
→
 = - 4
3
, 4
3
, - 2
3
 , r: X = (1,0,3) + γ - 4
3
, 4
3
, - 2
3
 , γ ∈ �
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 9–12 Atividade para Avaliação 6
Também podemos escrever 
r: X = (1,0,3) + β(4,-4,2), β ∈ �
exercício 7
Como queremos r ortogonal a π, o vetor r
→
 = (2,-1,4) é um vetor normal ao 
plano π, logo π tem uma equação geral da forma:
π: 2x - y + 4z + d = 0
Como
P ∈ π ⇒ 2 × 1 - 1 × 2 + 4 × 2 + d = 0 ⇔ d = -8, logo
π: 2x - y + 4z - 8 = 0
exercício 8
d(P,r) = ||AP
→
 ∧ r
→
||
||r
→
||
, AP
→
 = (-1,-3,0), r
→
 = AB
→
 = (0,1,-1)
AP
→
 ∧ r
→
 = det 
 i
→
 j
→
 k
→
 -1 -3 0
 0 1 -1
 = (3,-1,-1) ⇒ ||AP
→
 ∧ r
→
|| = 11
||r
→
|| = 2 ⇒ d(P,r) = 11
2
 = 11
2
exercício 9
Sejam r
→
 = (2,1,2) e s
→
 = (2,0,3), como s
→
 ≠ k r
→
, temos que {r
→
, s
→
} é LI, logo as 
retas não são paralelas.
Sejam A = (1,1,0) e B = (1,2,2), temos AB
→
 = (0,1,2).
d(r,s) = |[AB
→
, r
→
, s
→
]|
||r
→ 
∧ s
→
||
[AB
→
, r
→
, s
→
] = det 
 0 1 2
 2 1 2
 2 0 3
 = -2 - 4 = -6
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 9–12 Atividade para Avaliação 7
r
→
 ∧ s
→
 = det 
 i
→
 j
→
 k
→
 2 1 2
 2 0 3
 = (3,-2,-2), || r
→
 ∧ s
→
|| = 17
d(A,s) = |[AB
→
, r
→
, s
→
]|
||r
→ 
∧ s
→
||
 = |-6|
17
 = 6 17
17