Geometria Analítica e Álgebra Linear UNIVESP Semana 04

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Geometria analítica 
e álGebra linear
atividade para avaliação
exercício 1
Calcule a norma dos seguintes vetores:
a. A = 
 2 0 3
 -2 1 2
 
Em M2×3 (R) com o produto interno usual. (1,0 ponto)
b. f(x) = x2 em C([-1, 1]) com o produto interno usual. (1,0 
ponto)
exercício 2 (1,0 ponto)
Verifique se as funções f(x) = senx e g(x) = cosx são ortogo-
nais em C ([0, 
π
2
]), com o produto interno usual.
exercício 3 (1,0 pontos)
Verifique se as funções f(x) = senx e g(x) = cosx são ortogo-
nais em C ([-
π
2
, π
2
]), com o produto interno usual.
exercício 4
Dada a matriz A encontre, caso exista, uma matriz invertível 
M tal que M-1 .A.M seja uma matriz diagonal.
a. A = 3 -1
 0 -2
 (0,5 pontos)
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 2
b. A = 
 2 0 0
 -1 1 2
 2 2 4
 (1 ponto)
c. A = 3 -2
 4 3
 (0,5 pontos)
exercício 5
Em R3 , com o produto interno usual, considere o operador linear dado 
por T(x, y, z) = (x - 2y, -2x + y, -z).
a. Verifique que T é simétrico. (1 ponto)
b. Determine uma matriz ortogonal M, tal que M-1 [T]Can.M seja diagonal. 
(1 ponto)
exercício 6 (2,0 pontos)
Verifique se a matriz A = 
 1 2 0
 -1 -1 1
 0 1 1
 é ou não diagonalizável.
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 3
Gabarito
exercício 1
a. < A, A > = tr(At A) = 22 + 02 + 32 + (-2)2 + 12 + 22 = 22, logo �A� = 22
b. < x2, x2 > = ∫
1
-1 
x2. x2dx = ∫
1
-1
x4dx = 1
5
x5 �
 1
-1
 = 2
5
, logo, �x
2� = 
2
5
exercício 2
< f, g > = ∫0
π
2 senx.cosxdx
Fazendo a mudança u = senx → du = cosxdx, além disso,
x = 0 ⇒ u = 0
x = 
π
2
 ⇒ u = 1
a integral acima se transforma em:
∫
1
0
udu = u2
2
 �
1
0
 = 1
2
logo senx e cosx não são ortogonais em C ([0, 
π
2
])
exercício 3
< f, g > = ∫
π
2
- 
π
2
senx.cosxdx
Fazendo a mudança u = senx → du = cosxdx, além disso,
x = - π
2
 ⇒ u = -1
x = π
2
- ⇒ u = 1
a integral acima se transforma em:
∫
1
-1
udu = u2
2
 �
1
-1
 = 0
logo senx e cosx são ortogonais em C ([-
π
2
, π
2
])
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 4
exercício 4
a. 
A = 
 3 -1
 0 -2
 
det 
 3 - t -1
 0 -2 - t
 = (3 - t)(-2 - t) = 0 ⇒ t = 3
t = -2
V(3)
 3 -1
 0 -2
 x
 y
 = 3 
 x
 y
 ⇒ 3x - y = 3x
-2y = 3y
 ⇒ y = 0
logo
V(3) = [(1, 0)]
V(-2)
 3 -1
 0 -2
 x
 y
 = -2 
 x
 y
 ⇒ 3x - y = -2x
-2y = -2y
 ⇒ y = 5x
logo
V(-2) = [(1, 5)]
Assim,
M = 
 1 1
 0 5
 
b. 
A = 
 2 0 0
 -1 1 2
 2 2 4
 
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det 
 2 - t 0 0
 -1 1 - t 2
 2 2 4 - t
 = (2 - t)((1 - t) (4 - t) -4) = 
(2 - t)(t2 - 5t) = 0 ⇒ t = 2
t2 - 5t = 0 ⇒ t = 0
t = 5
V(2)
 
 2 0 0
 -1 1 2
 2 2 4
 
 x
 y
 z
 = 2 
 x
 y
 z
 
 ⇒ 
2x = 2x
-x + y + 2z = 2y
2x + 2y + 4z = 2z
 ⇒ 
-x - y + 2z = 0
2x + 2y + 2z = 0
 ⇒ y = -x
z = 0
logo
V(2) = [(1, -1, 0)]
V(0)
 
 2 0 0
 -1 1 2
 2 2 4
 
 x
 y
 z
 = 0 
 x
 y
 z
 ⇒ 
2x = 0
-x + y + 2z = 0
2x + 2y + 4z = 0
 ⇒ 
x = 0
y = -2z
y = -2z
logo
V(0) = [(0, -2, 1)]
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V(5)
 
 2 0 0
 -1 1 2
 2 2 4
 
 x
 y
 z
 = 5 
 x
 y
 z
 ⇒ 
2x = 5x
-x + y + 2z = 5y
2x + 2y + 4z = 5z
 ⇒ x = 0
z = 2y
logo
V(5) = [(0, 1, 2)]
seja
M = 
 1 0 0
 -1 -2 1
 0 1 2
 
c. 
A = 
 3 -2
 4 3
 
det 
 3 - t -2
 4 3 - t
 = (3 - t)2 + 8 ≠ 0
para todo t ∈ ℝ
Logo A não é diagonalizável e, portanto, não existe tala matriz M.
exercício 5
a. Vamos calcular a matriz de T na base canônica que é ortonormal.
T(1, 0, 0) = (1, -2, 0), T(0, 1, 0) = (-2, 1, 0) e T(0, 0, 1) = (0, 0, -1)
Assim,
[T]Can = 
 1 -2 0
 -2 1 0
 0 0 -2
 
 que é simétrica, logo T é simétrico.
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b. 
det 
 1 - t -2 0
 -2 1 - t 0
 0 0 -1 - t
 = (-1 - t)((1 - t)2 -4) = 0
 ⇒ t = -1
t2 - 2t - 3 = 0 ⇒ t = -1
t = 3
V(-1)
 
 1 -2 0
 -2 1 0
 0 0 -1
 
 x
 y
 z
 = -1 
 x
 y
 z
 ⇒ 
-x - 2y = -x
-2x + y = -y
-z = -z
 ⇒ y = x
z é qualquer
logo
V(-1) = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
V(3)
 
 1 -2 0
 -2 1 0
 0 0 -1
 
 x
 y
 z
 = 3 
 x
 y
 z
 ⇒ 
x - 2y = 3x
-2x + y = 3y
-z = 3z
 ⇒ y = -x
z = 0
logo
V(3) = [(1, -1, 0)]
�(1, 1, 0)� = �(1, -1, 0)� =  2 e �(0, 0, 1)� = 1
Uma possível matriz ortogonal que diagonaliza [T]Can é:
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M = 1
2
 
 1 0 1
 1 0 -1
 0 2 0
 
exercício 6
det 
 1 - t 2 0
 -1 -1 - t 1
 0 1 1 - t
 = (1 - t)((-1 - t) (1 - t) -1) + 2 (1 - t) = 
(1- t)(t2 - 2) + 2(1- t) = (1- t)t2 = 0 ⇒ t = 0t = 1
ma(1) = 1⇒mg(1) = 1, agora ma(0) = 2 ⇒ 
mg(0) = 1
ou
mg(0) = 2
mg(0) = dimV(0) = dimN(T)
 
 1 2 0
 -1 -1 1
 0 1 1
 
 x
 y
 z
 = 
 0
 0
 0
 ⇒ 
x + 2y = 0
-x - y + z = 0
y + z = 0
 ⇒ x = -2y
z = -y
Logo,
V(0) = {(-2y, y, -y), y ∈ ℝ} = [(-2, 1, -1)]
assim,
 mg(0) = dimV(0) = 1 ≠ ma(0) = 2
Logo A não é diagonalizável.