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Universidade de Brasília UnB
Laboratório de Estrutura Eletrônica e Dinâmica Molecular LEEDMOL
Métodos Matemáticos para Química
Heibbe C. B. de Oliveira
10 de novembro de 2017
Monitor: Sandro F. de Brito
1 Exercício
Por séries de potência resolva a seguinte equação diferencial. Verifique se existe necessi-
dade de usar o método de Frobenius para resolver esta equação.
(1− 𝑥2)𝑦′′(𝑥) + 𝑥𝑦′(𝑥)− 𝑦(𝑥) = 0 (1.1)
2 Exercício
Considerando o método de Frobenius, resolva a seguinte equação diferencial.
𝑥2𝑦′′(𝑥) + 2𝑥𝑦′(𝑥) + (𝑥2 − 2)𝑦(𝑥) = 0 (2.1)
3 Exercício
Após uma separação de variáveis da equação de Schrödinger esférica, que descreve o
movimento de um partícula em um certo campo com um potencial, temos a equação
radial na forma:
1
𝑑2
𝑑𝑟2
𝑅(𝑟) + 2
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑅(𝑟) +
[︂
−𝛽𝑉 (𝑟) + 𝛽𝐸 − 𝑙(𝑙 + 1)
𝑟2
]︂
𝑅(𝑟) = 0, (3.1)
em que 𝛽 e 𝑙 são constantes, 𝑉 (𝑟) é o potencial do tipo Kepler, sendo 𝑉 (𝑅) = −𝛼/𝑟 e
𝐸 a energia da partícula no campo.
Dessa forma responda:
I) Considerando as constantes 𝜆2 = 𝛽𝐸 e 𝑏 = 𝛽𝛼 e a transformação de variável
𝑅(𝑟) = 1
𝑟
𝐹 (𝑟).
Obtenha a seguinte equação diferencial:
𝑑2
𝑑𝑟2
𝐹 (𝑟)
[︂
𝜆2 + 𝑏
𝑟
− 𝑙(𝑙 + 1)
𝑟2
]︂
𝑅(𝑟) = 0, (3.2)
II) Utilizando a seguinte mudança de variável 𝑥 = −2𝑖𝜆𝑟 na equação (3.2). Obtenha a
equação de Whittaker:
𝑑2
𝑑𝑥2
𝐹 (𝑥)
[︂
−14 +
𝑖𝑏/2𝜆
𝑥
− 𝑙(𝑙 + 1)
𝑥2
]︂
𝐹 (𝑥) = 0, (3.3)
III) Pelo método de Frobenius analise a solução da equação de Whittaker.
4 Exercício
Resolva a equação diferencial do oscilador harmônico por meio de séries de potência.
Verifique se existe necessidade de usar o métdo de Frobenius.
𝑦′′(𝑥) + 𝑤2𝑦(𝑥) = 0 (4.1)
5 Exercício
Demonstre a relação:
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 (5.1)
a partir das séries do 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥), 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) e da 𝑒𝑥.
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