Vetores para Fisica

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Vetores
	Um vetor nada mais é que um ente matemático que, na física e nas engenharias, é o meio mais adequado para expressar grandezas que possuem 3 características, a saber:
				Módulo		Direção		e	 Sentido
Algumas grandezas físicas vetoriais: posição, velocidade, aceleração, deslocamento, forças, campo elétrico, etc.
	Grandezas físicas que não tem estas 3 características são chamadas de grandezas escalares. Exemplo destas são o tempo t, a massa m, a carga elétrica q, etc.
Precisamos aprender a manipular os vetores das seguinte s formas:
* expressá-los graficamente (desenhar)
* escrevê-los algebricamente (em função de vetores de base padronizados)
* realizar operações com eles. (somar, subtrair, multiplicar, etc.)
Expressão geométrica ou gráfica de um vetor
Expressão geométrica de um vetor. 
Um vetor é expresso graficamente por uma flecha. 
* O módulo (também chamado tamanho ou comprimento) é proporcional ao tamanho da flecha.
* A direção do vetor pode ser dada pela identificação de qualquer linha paralela ao vetor, ou o valor do ângulo que tal linha faz com o eixo OX. 
* O sentido de um vetor é a orientação que ele tem dentro da direção. Cada direção possui 2 sentidos. 
Por exemplo, o vetor a abaixo possui módulo 3, direção paralela ao eixo X e sentido de crescimento do eixo X. 
Eixo X 
Operações
a) Multiplicação por um número real ka: provoca uma variação no módulo do vetor. Se K for negativo, muda também o sentido do vetor. 	
b) Inversão de um vetor. Faz-se mudando apenas seu sentido. Na escrita o sinal do vetor é trocado. 
c) Soma : o vetor V abaixo é a soma de v1 e v2. A soma é obtida via regra do paralelogramo. Traça-se, a partir da ponta de cada vetor a ser somado, uma linha paralela ao outro vetor. O ponto de encontro destas linhas dá a ponta da flecha do vetor soma. 
d) Subtração. Faz-se através da soma de um vetor com o inverso do outro a ser subtraído.
Ou seja, se quisermos C= A-B, faremos A + (-B). A operação da soma já está explicada no item (c) acima. 
Expressão algébrica de um vetor
	Há uma escrita para vetores que nos permite saber tudo sobre o vetor, ou seja, seu módulo, direção e sentido. Isso mesmo sem precisar desenhá-lo. É a escrita algébrica do vetor.
Para isso, precisamos entender um teorema importante , que é o seguinte: 
Todo vetor (no plano) pode ser sempre escrito como sendo a soma de 2 outros vetores. 
Sendo assim, criou-se 2 vetores a partir da qual serão escritos todo vetor que possa existir num plano. Esses dois vetores são chamados vetores de base ortonormal e são os vetores i e j tais que:
* O vetor i é um vetor de módulo 1, na direção x e no sentido de crescimento do eixo x. 
* O vetor j é um vetor de módulo 1, na direção y e no sentido de crescimento do eixo y.
Da figura podemos ver que 
Ou seja, um vetor no plano pode ser escrito como sendo a soma de "uma parte i" e "outra parte j", podendo uma delas ser nula. 
	Assim todo vetor geral V do plano pode ser escrito como a soma de uma projeção deste vetor sobre o eixo x com outra projeção sobre o eixo y. 
O módulo das projeções 
Vx
 e 
Vy
 podem ser determinadas se 
temos 
o módulo de V e o ângulo entre a direção deste e o eixo X. 
A saber 
cosθ
 = 
Vx
 / V ---> 
Vx
 = V 
cosθ
 e 
senθ
 = 
Vy
/V ---> 
Vy
 = V 
senθ
O ângulo entre o vetor V e o eixo x pode ser determinado pela relação: 
tag
 (
θ
)
 = 
Vy
 / 
Vx
 ----> 
θ = 
arc
 
tag
 (
Vy
 / 
Vx
 )
Na
 calculadora científica básica 
θ
 
é encontrado
 "apertando-se" 
Shif
 + 
tan
 + (valor de 
Vy
/ 
Vx
)	Dizemos que o vetor V é construído a partir da SOMA DE DOIS VETORES PROJEÇÃO. A projeção de V sobre o eixo OX, chamado de Vx e a projeção de V sobre o eixo OY, chamado de Vy. 
 
	
	No esquema abaixo o vetor S é escrito como sendo S = 3i + 4j. Temos que Sx (a projeção de S sobre o eixo x) é o vetor 3i e Sy (a projeção de S sobre o eixo y) é o vetor 4j. 
	Pelo Teoria de Pitágoras, o módulo de S é igual a raiz(32 + 42), ou seja, 5. 
Veja alguns exemplos.
Ex1) Um dado vetor M possui módulo 10 e está numa direção que faz um ângulo de 20o com relação ao eixo x. 
Escreva algebricamente M.
Temos Mx = 10cos(20o) = 4,1	e 	My = 10sen(20o) =9,1		
Daí M = 4,1 i + 9,1 j
Ex2) Considere V = 8i - 6j. Determine seu módulo, direção e sentido.
Temos Módulo de V = raiz [ 8^2 + (-6)^2 ] = 10
Direção: é definida pelo valor de θ. Daí θ = arc tag (Vy / Vx ) = arc tag (-6/8) θ = -36,9o
Conhecendo a direção θ da linha que passa pelo vetor, obtemos o sentido observando os sinais das componentes x e y do vetor
Sentido: Apontando para o 4o quadrante (pois x é 8 e y é -6).
Visualizemos o resultado acima:
			y	 
	
			 -36,8o x
 
Exemplo 1) Um corpo parte do repouso do ponto (10,5) metros (sua posição inicial Si) e vai, com velocidade constante, até o ponto (30,50) m (sua posição final Sf). Tal deslocamento dura 5s. Determine
a) seu vetor deslocamento d = Sf - Si e seu módulo. 
b) seu vetor velocidade V. 	V é definida como sendo V = ∆S/∆t.
c) o módulo, a direção e o sentido desta velocidade.
a) d= (30,50)-(10,5) =(20,45) --> d = 20i +45 j
b) V= (20i +45j) / 5	V = 4i + 9j
c) Módulo de V = raiz(42 + 92) = raiz (97)
 Direção θ=arc tag (9/4) = 66,03o 
 Sentido: 1o Quadrante 
Exemplo 2) Considere os pontos no sistema cartesiano abaixo. Lembre-se que um vetor que comece num ponto A e termina num ponto B, pode ser chamado de vetor AB, e é calculado AB = B - A. 
Se o ponto de início tiver coordenadas A =(10,40) e o de término B= (90,30), então o vetor AB será 
AB=(90,30)-(10,40) AB =(80,-10). O módulo de AB é |AB| = raiz( 802+(-10)2 )= 80,62.
Exercícios
1) Use os pontos no sistema cartesiano abaixo e fabrique os vetores AF, AD, DE e EC.
2) Calcule V = AF + AD. Desenhe V e determine sua direção e sentido.
3) Calcule W= EC - DE. Desenhe W e determine sua direção e sentido.