Revisão para 1ª Prova

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica
MAT 147 - CA´LCULO II 2013/I
Professor: Luiz Henrique Couto.
Revisa˜o para a 1a prova
1 Regra de L’Hospital
Teorema 1 Sejam f e g func¸o˜es definidas em I = (a, b) que conte´m c e que sa˜o deriva´veis em I,
exceto possivelmente em c. Se
f(x)
g(x)
tem a forma indeterminada
0
0
ou
∞
∞ em x = c e se g
′(x) 6= 0
para x 6= c, enta˜o
lim
x−→c
f(x)
g(x)
= lim
x−→c
f ′(x)
g′(x)
desde que lim
x−→c
f ′(x)
g′(x)
exista.
2 Integrais Impro´prias
2.1 Definic¸o˜es
1. Seja f seja cont´ınua em [a,+∞), onde a ∈ R. Definimos∫ ∞
a
f(x)dx = lim
t−→+∞
∫ t
a
f(x)dx.
2. Seja f cont´ınua em um intervalo (−∞, a]. Definimos∫ a
−∞
f(x)dx = lim
t−→−∞
∫ a
t
f(x)dx.
3. Se f e´ cont´ınua em [a, b) e lim
x−→b−
f(x) = +∞, isto e´, f > 0; definimos∫ b
a
f(x)dx = lim
t−→b−
∫ t
a
f(x)dx.
4. Se f e´ cont´ınua em (a, b] e f tem descontinuidade infinita em a, por exemplo, lim
x−→a+
f(x) = +∞,
definimos ∫ b
a
f(x)dx = lim
t−→a+
∫ b
t
f(x)dx.
5. Se f possui uma descontinuidade infinita no interior do intervalo [a, b], digamos, em x = c,
enta˜o definimos∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx = lim
t−→c−
(∫ t
a
f(x)dx
)
+ lim
t−→c+
(∫ b
t
f(x)dx
)
.
1
2.2 Testes de convergeˆncia para Integrais Impro´prias:
Teorema 2 (Teste da Comparac¸a˜o) Sejam f , e g duas func¸o˜es integra´veis em [a, t], para todo
t > a, e tais que, para todo x ≥ a, 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Enta˜o
(a) Se
∫ ∞
0
g(x)dx e´ convergente, enta˜o
∫ ∞
0
f(x)dx tambe´m e´ convergente.
(b) Se
∫ ∞
0
f(x)dx e´ divergente, enta˜o
∫ ∞
0
g(x)dx tambe´m e´ divergente.
Teorema 3 Seja f : [a,∞)→ R uma func¸a˜o cont´ınua. Se
∫ ∞
a
|f(x)|dx converge, enta˜o
∫ ∞
a
f(x)dx
tambe´m converge.
Teorema 4 (Teste da Comparac¸a˜o no limite) Sejam f e g duas func¸o˜es cont´ınuas em [a,∞),
tais que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0, com
lim
x→∞
f(x)
g(x)
= L > 0.
Enta˜o as integrais impro´prias
∫ ∞
a
f(x)dx e
∫ ∞
a
g(x)dx comportam-se da mesma maneira. Isto e´,
ambas convergem ou ambas divergem.
3 Sequeˆncias
3.1 Definic¸o˜es
Uma sequeˆncia de nu´meros e´ uma correspondeˆncia que associa cada nu´mero natural n a um u´nico
nu´mero an, chamado de elemento da sequeˆncia
a : N → R
n 7→ an
1 7→ a1
2 7→ a2
...
...
Dizemos que um sequeˆncia (an) e´
(a) crescente se an ≤ an+1, para todo n ∈ N,
(b) decrescente se an ≤ an+1, para todo n ∈ N.
Uma sequeˆncia (an) e´ dita:
(a) limitada superiormente se existe uma constante real M tal que an ≤M , para todo n ∈ N,
(b) limitada inferiormente se existe uma constante real N tal que an ≥ N , para todo n ∈ N,
(c) limitada quando ela for limitada superiormente e inferiormente.
Seja (an) uma sequeˆncia. Dizemos que (bn) e´ uma subsequeˆncia de (an) se existirem nu´meros
naturais t1, t2, · · · , tn, · · · tais que
t1 < t2 < · · · < tn < · · ·
e bn = atn .
2
3.2 Teoremas sobre sequeˆncias
Teorema 5 Seja f uma func¸a˜o definida para todo inteiro positivo. Se lim
x→∞
f(x) = L, enta˜o lim
n→∞
f(n) =
L.
Teorema 6 Sejam (an) e (bn) duas sequeˆncias. Se lim
n→∞
an = L e lim
n→∞
bn = M , enta˜o
(i) lim
n→∞
c · an = c · L;
(ii) lim
n→∞
(an + bn) = L+M ;
(iii) lim
n→∞
(an · bn) = L ·M ;
(iv) lim
n→∞
an
bn
=
L
M
, desde que lim
n→∞
bn 6= 0 e todo bn 6= 0.
Teorema 7 (Teorema do Confronto para Sequeˆncias) Sejam as sequeˆncias (an), (bn) e (cn).
Se
lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn = L
e an ≤ cn ≤ bn, para todo n ∈ N, enta˜o
lim
n→∞
cn = L.
Teorema 8 (Teorema da Convergeˆncia Mono´tona) Toda sequeˆncia mono´tona limitada e´ con-
vergente.
Teorema 9 Toda sequeˆncia mono´tona convergente e´ limitada.
Teorema 10 Se lim
n→∞
xn = 0 e (yn) e´ uma sequeˆncia limitada, enta˜o lim
n→∞
(xn · yn) = 0 (mesmo que
na˜o exista lim
n→∞
yn).
Teorema 11 Sejam (an)n∈N uma sequeˆncia e (bn)n∈N uma subsequeˆncia de (an). Se limn→∞
an = L,
enta˜o lim
n→∞
bn = L.
4 Se´ries
4.1 Definic¸o˜es
Considere a sequeˆncia (an)n∈N. Vamos construir uma nova sequeˆncia formada por somas parciais da
seguinte maneira:
s1 = a1
s2 = a1 + a2 = s1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3 = s2 + a3
...
sn = a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an = sn−1 + an
A sequeˆncia (sn)n∈N obtida de (an)n∈N e´ chamada de se´rie infinita associada a` sequeˆncia (an)n∈N
e e´ representada por
a1 + a2 + · · ·+ an + · · ·
3
ou, simplesmente por
+∞∑
k=1
ak.
Se existe lim
n→+∞
sn = s, dizemos que a se´rie infinita
+∞∑
k=1
ak e´ convergente e tem soma s. Caso
contra´rio, dizemos que a se´rie e´ divergente.
4.2 Se´rie Geome´trica
A se´rie geome´trica e´ caracterizada por cada termo ser obtido multiplicando o termo precedente por
alguma constante fixada. Assim, se o termo inicial da se´rie e´ a e cada termo e´ obtido multiplicando-se
o termo precedente por r, que sera´ a raza˜o da se´rie, enta˜o a se´rie tem a forma
+∞∑
k=0
ark = a+ ar + ar2 + ar3 + · · · (6= 0).
Teorema 12 Uma se´rie geome´trica
+∞∑
k=0
ark = a+ ar + ar2 + ar3 + · · · onde a 6= 0
converge se |r| < 1 e diverge se |r| ≥ 1. Se a se´rie convergir, enta˜o a soma da se´rie e´
+∞∑
k=0
ark =
a
1− r .
4.3 Se´rie Telesco´pica
Definimos uma soma telesco´pica de ordem n com uma soma da seguinte forma:
(a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + . . .+ (an − an−1).
Reescrevendo a soma acima, temos:
(a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + . . .+ (an − an−1) = an − a1.
Naturalmente qualquer sequ¨eˆncia de termos bn pode ser escrita como uma soma telesco´pica:
bn = b1 + (b2 − b1) + (b3 − b2) + . . .+ (bn − bn−1).
Uma se´rie cuja a sequeˆncia das somas parciais tem o comportamento de uma soma telesco´pica e´
chamada se´rie telesco´pica.
4
4.4 Teoremas sobre Se´ries
Teorema 13 (Crite´rio do termo geral)
Seja
+∞∑
n=1
an uma se´rie infinita. Se lim
n→+∞
an 6= 0 enta˜o
+∞∑
n=1
an diverge.
Teorema 14 Se
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn sa˜o se´ries convergentes com
+∞∑
n=1
an = S e
+∞∑
n=1
bn = R, enta˜o
(a)
+∞∑
n=1
(an + bn) = S +R;
(b)
+∞∑
n=1
(an − bn) = S −R;
(c)
+∞∑
n=1
c · (an) = c · S, c ∈ R.
Teorema 15 Se a se´rie
+∞∑
n=1
an converge e
+∞∑
n=1
bn diverge, enta˜o
+∞∑
n=1
(an + bn) e
+∞∑
n=1
c · (bn) sa˜o diver-
gentes, caso c 6= 0.
Teorema 16 (Teste da Comparac¸a˜o) Sejam
+∞∑
n=0
an e
+∞∑
n=0
bn duas sequeˆncias de termos positivos.
(i) Se an ≤ bn, para todo n ∈ N e
+∞∑
n=0
bn converge, enta˜o
+∞∑
n=0
an tambe´m converge.
(ii) Se an ≥ bn, para todo n ∈ N e
+∞∑
n=0
bn diverge, enta˜o
+∞∑
n=0
an tambe´m diverge.
Teorema 17 (Teste da comparac¸a˜o por limite) Sejam
+∞∑
n=0
an e
+∞∑
n=0
bn se´ries de termos positivos.
(i) Se lim
n→+∞
an
bn
= c > 0, enta˜o ambas as se´ries convergem ou ambas divergem.
(ii) Se lim
n→+∞
an
bn
= 0 e
+∞∑
n=0
bn converge, enta˜o
+∞∑
n=0
an converge.
(iii) Se lim
n→+∞
an
bn
= +∞ e
+∞∑
n=0
bn diverge, enta˜o
+∞∑
n=0
an diverge.
Teorema 18 (Teste da Integral) Sejam
+∞∑
n=1
an uma se´rie de termos positivos e f uma func¸a˜o
cont´ınua decrescente tal que f(n) = an. A se´rie
+∞∑
n=1
an converge (diverge) se, e somente se,
∫ +∞
1
f(x)dx
for convergente (divergente).
5
5 Exerc´ıcios
1. Considerando a sequeˆncia (an)n∈N definida por
an =
3 · 5 · 7 . . . (2n+ 1)
4 · 8 · 12 . . . (4n) ,
responda os seguintes itens:
(a) Determine os treˆs primeiros termos desta sequeˆncia;
(b) Escreva an+1 em func¸a˜o de an.
(c) Mostre que a sequeˆncia (an) e´ mono´tona.
(d) A sequeˆncia (an) e´ convergente? Justifique!
2. Fac¸a o que sepede:
(a) Mostre que
+∞∑
n=1
√
n+ 1−√n√
n2 + n
= 1.
(b) Verifique se a se´rie
+∞∑
n=1
(
(−1)n4
n
7n
+
4n
9n
)
e´ convergente ou divergente. Caso seja conver-
gente, calcule sua soma.
(c) Mostre que
∫ 1
0
xln(x)dx = −1
4
.
3. Verifique se as se´ries abaixo convergem ou divergem:
(a)
+∞∑
n=1
n2e−n
3
.
(b)
+∞∑
n=1
n
3
√
n4 + 1
.
(c)
+∞∑
n=1
(
1
n
− 1
3n
)
.
4. Julgue os seguintes itens como verdadeiros ou falsos, justificando cada item com um argumento
lo´gico matema´tico ou com um contra-exemplo.
(a) ( ) A d´ızima 0, 363636 . . . pode ser escrita como
4
11
. Justifique usando se´ries!
(b) ( ) A sequeˆncia
(
3 + cos(npi)
n
)
n∈N
converge para 0.
6