pesquisa operacional

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PESQUISA OPERACIONAL 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Zanardini 
 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à nossa primeira aula de Pesquisa Operacional! Em 
nossa disciplina, iremos aprender o que é Pesquisa Operacional (PO) e como 
esse importante ramo da matemática é utilizado nas mais diversas áreas do 
conhecimento a fim de obtermos a solução ótima de problemas reais. 
A cada aula novos assuntos serão abordados, por isso as rotas de 
aprendizagem estão organizadas de modo a facilitar os estudos. Portanto é 
importante seguir as orientações de leitura, assistir aos vídeos, participar dos 
fóruns, resolver os exercícios propostos e realizar as avaliações. 
Sempre que possível, crie grupos de estudos com a participação de três 
ou quatro pessoas, afinal está cientificamente comprovado que quando há 
interação e ajuda mútua entre os estudantes o aprendizado de todos é muito 
maior. 
A leitura também tem um importante papel na aprendizagem, então 
busque sempre complementar os estudos recorrendo às referências indicadas 
no plano de ensino, pois o nosso principal objetivo é a aprendizagem. Saiba que 
faremos sempre o melhor, porque nosso sucesso depende da participação de 
todos. 
Nessa aula veremos o que é Pesquisa Operacional e dentro disto 
estudaremos: 
 Sua origem 
 Áreas de atuação 
 Modelo matemático 
 Formulação de um problema de programação linear 
Bons estudos! 
TEMA 1 - PESQUISA OPERACIONAL 
Para iniciarmos os nossos estudos, é importante conhecermos melhor o 
que é pesquisa operacional e qual a sua origem. 
 
 
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Agora que vimos quais assuntos serão abordados ao longo da nossa 
disciplina, vamos conhecer um pouco sobre a origem da PO e sobre um 
importante pesquisador chamado George B. Dantig. 
Clique nos botões abaixo e confira! 
 Origem da Pesquisa Operacional: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pesquisa_operacional 
Pesquisador George B. Dantig: 
ttp://pt.wikipedia.org/wiki/George_Dantzig 
Excelente! Já sabemos um pouco sobre a história da Pesquisa 
Operacional e sobre o pai da Pesquisa Operacional, George B. Dantzig. 
Precisamos também conhecer um pouco sobre as áreas de aplicação da 
PO, afinal um bom aproveitamento dos estudos ocorre quando entendemos as 
reais aplicações do que estamos aprendendo. O texto a seguir foi elaborado 
especialmente para você, leia com atenção! 
Muitos conceitos desenvolvidos na área da matemática surgiram da 
necessidade do ser humano de resolver problemas práticos. E nessa busca 
incessante, problemas de otimização sempre fizeram parte do rol de aplicações 
da matemática. No entanto, até a época da II Guerra Mundial, muitos problemas 
de otimização ainda estavam em aberto, ou seja, ainda estavam sem métodos 
para a sua resolução. E nessa época, a pedido do governo da Inglaterra, um 
grupo de cientistas começou a desenvolver um estudo cujo objetivo era utilizar, 
da melhor forma possível, os recursos militares disponíveis. Na mesma época 
os Estados Unidos também iniciaram estudos similares. E graças ao 
pesquisador norte americano George B. Dantzig, muitos avanços foram 
conseguidos. Em 1947 um excelente resultado dessas pesquisas foi conseguido: 
o método simplex, importante método destinado à resolução de problemas de 
programação linear (PL), uma área da pesquisa operacional (PO). O nome 
pesquisa operacional é oriundo da primeira aplicação dessas técnicas de 
otimização: a melhor forma de utilização de recursos militares. Com o passar do 
tempo, muitos desenvolvimentos ocorreram nessa importante área da 
 
 
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matemática e, atualmente, a pesquisa operacional é utilizada nas mais diversas 
situações onde existe a necessidade de tomada de decisão. 
A pesquisa operacional é uma ciência cujo principal objetivo é a 
otimização de problemas de caráter prático oriundos das mais diversas áreas do 
conhecimento. Atualmente, a PO está sendo cada vez mais utilizada dentro dos 
processos e dos métodos destinados à customização e à otimização dentro de 
contextos reais, como produção, armazenagem, distribuição e planejamento. 
Amplamente utilizada por diversas áreas tais como: agricultura, finanças, 
marketing, meio ambiente, serviços públicos e, em especial, engenharia da 
produção e logística, que utilizam muito esse recurso para determinar, por 
exemplo, a programação da produção de uma indústria ou as melhores formas 
de distribuição desses produtos, uma das principais características da PO é a 
busca pelo maior lucro possível ou pelo menor custo possível. 
É possível, então, afirmar que a PO é uma ferramenta matemática que 
auxilia no processo de tomadas de decisão em situações reais. Para isso, 
utilizamos modelos matemáticos estruturados em fases. É uma ciência 
extremamente útil para a tomada de decisões com base em dados concretos e 
o uso da tecnologia a favor da obtenção da solução de problemas de PO. 
Quando falamos em PO, automaticamente no referimos a uma solução 
ótima. No entanto, o que é uma solução ótima? Podemos dizer que é aquela que 
melhor serve aos objetivos das pessoas e das organizações. Nessa situação, 
podemos citar como exemplo o propósito de encontrar o lucro máximo ou o custo 
mínimo. 
A PO é bastante utilizada como ferramenta nos processos de tomada de 
decisões no enfrentamento de problemas dos ambientes de negócios. Por sua 
vez, os principais instrumentos que a PO utiliza são oriundos dos conhecimentos 
matemáticos, estatísticos e de informática. 
Você poderá perceber que se trata da utilização da modelagem 
matemática aplicada à área de realização de negócios e à área empresarial, 
considerando tanto o setor privado como o setor público. Dessa maneira temos 
 
 
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uma série de situações na qual a PO pode ajudar no processo de decisão. 
Algumas delas: 
• problemas de otimização de níveis de produção; 
• problemas de distribuição de mercadorias; 
• problemas de investimentos; 
• problemas de alocação de pessoas ou equipamentos; 
• problemas de conexão de pontos; 
• problemas de alocação de verbas. 
Os procedimentos de PO em uma organização abrangem, interligam e 
beneficiam todos os níveis, ou seja, auxiliam as decisões no âmbito estratégico, 
tático e operacional. 
Lembrando que esses três níveis de uma organização correspondem 
respectivamente à atuação daqueles que definem o rumo da empresa (diretores, 
assessores), às ações de quem atua na liderança e no comando da execução 
das atividades (coordenadores, supervisores) e, por fim, dos que executam 
propriamente as tarefas. 
Mas por que tomar decisões? Obviamente essa é uma condição da vida 
humana. Constantemente somos chamados a tomadas de decisões, desde a 
escolha do supermercado até a compra de um carro ou a cor de uma roupa, 
entre tantas outras. No entanto, a abordagem da PO, na maioria das vezes, é 
direcionada para questões do ambiente organizacional. 
Mas, afinal quais são esses problemas? Veremos, na continuidade, 
através dos exemplos, que os problemas são situações que a organização 
precisa resolver para dar seguimento aos seus propósitos ou para atingir seus 
objetivos. 
Diante desses problemas, encontramos fatores que irão interferir nos 
processos de tomada de decisão, fatores que, quando estamos na condição de 
gerenciar a situação, precisamos considerar. Veja no Quadro 1. 
 
 
 
 
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Muito bem! 
Com o que aprendemos até agora é possível identificarmos se a Pesquisa 
Operacional está sendo ou pode ser aplicada no nosso ambiente de trabalho. 
Que tal interagir um pouco? Convidamos você a participar do nosso fórum!Apresente a sua opinião ou o seu relato sobre o seu ambiente de trabalho e 
sobre a possibilidade de utilizar a PO para melhorar ou planejar processos. 
Se a sua empresa já utiliza conceitos de Pesquisa Operacional, como isto 
é feito? A sua participação é muito importante. 
Atualmente as empresas, além de redução de custos e melhor 
aproveitamento dos recursos, buscam também um maior cuidado com o meio 
ambiente e, mesmo depois de manufaturados, um acompanhamento do produto 
perante os consumidores para otimizar o processo de reciclagem. 
Um exemplo interessante pode ser visto a seguir: 
ttps://www.youtube.com/watch?v=Bnp1pXNlQrA 
 
 
 
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Vimos que a Pesquisa Operacional está presente em diversas áreas do 
conhecimento e que a sua utilização pode trazer melhorias significativas no 
aproveitamento dos recursos disponíveis, gerando redução de custos ou 
desperdícios e também aumentando os lucros. 
Como a Pesquisa Operacional é uma parte da matemática, a resolução 
dos problemas de PO está baseada, inicialmente, na construção de um modelo 
matemático. Mas o que é um modelo matemático? 
TEMA 2 - MODELOS MATEMÁTICOS 
Quando tratamos de um problema de PO, estamos diretamente 
relacionados com a modelagem matemática de um problema. A modelagem 
apresenta processos que são usados em várias situações. No entanto, vamos 
nos focar no estudo dos problemas que requerem uma solução, uma decisão. 
Nessa circunstância, você pode fazer a modelagem da situação para realizar 
várias simulações dos possíveis panoramas que irão se configurar diante de 
determinadas alternativas e, assim, visualizar as consequências de uma tomada 
de decisão. Portanto, podemos dizer que ela oferece diretrizes para as decisões 
nos vários âmbitos da organização. Ou seja, oferece informações para 
chegarmos à melhor decisão ou à melhor solução para o problema. 
Você deve estar se perguntando se não foi sempre assim. Não, a 
elaboração de modelos tornou-se viável a partir das inovações tecnológicas, ou 
seja, da disponibilidade de bancos de dados, microcomputadores, entre outros 
instrumentos atualmente disponíveis. 
Assim surgiu uma nova condição para o gerenciamento de problemas ou 
para a gestão das organizações. Muitas vezes deixamos de lado a intuição 
(instrumento anterior dos responsáveis pelas decisões) e passamos a utilizar 
somente os modelos de situações, criados a partir da seleção dos dados 
relevantes e da simulação das possíveis soluções. 
 
 
 
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Todavia, a postura de abandono da intuição não é a melhor escolha. O 
recomendável é unir as duas fontes de informações. Utilizarmos a intuição como 
ferramenta auxiliar nos processos de: 
• classificação da relevância da informação, a fim de utilizá-la ou 
não; 
• escolha dos cenários a serem estudados; 
• validação do modelo sugerido para a situação; 
• análise dos resultados dos estudos. 
É possível percebermos nessa descrição operacional (reveladora da 
interferência do aspecto subjetivo) que se de fato atribuirmos apenas aos 
dados da modelagem a responsabilidade pela decisão estamos negando a 
capacidade humana de análise e de ponderação sobre os fatos. Veja essa 
dinâmica de interação entre os modelos utilizados em PO e a intuição do 
decisor na Figura 1. 
 
Você pode acompanhar na figura, pela direção das setas, a concepção 
que reserva para a intuição a função de selecionar aspectos do modelo que 
considerar pertinentes, bem como a de validar perspectivas de resultados. 
Observe que, enquanto todo o processo ocorre no espaço do chamado “mundo 
real” (inclusive o “mundo simbólico”), a intuição situa-se fora de tal espaço. 
 
 
 
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No que se refere aos modelos, você irá encontrar na literatura e na prática 
de gestão três tipos: os físicos, os análogos e os matemáticos ou simbólicos. No 
entanto, neste estudo, quando nos referimos aos modelos, estamos tratando dos 
modelos matemáticos, que são os mais utilizados nas atividades gerenciais. 
As características fundamentais dos modelos matemáticos são: 
• as grandezas são representadas por variáveis de decisão; 
• as relações entre as variáveis são apresentadas por expressões 
matemáticas; 
• necessitam de informações quantificáveis. 
 
O que ocorre é o seguinte: no processo de enunciação do problema e 
resolução para encontrar a solução ótima, aplicamos a modelagem, ou seja, 
procuramos definir os aspectos que nos permitem delinear os passos para a 
obtenção da solução do problema. 
Mas, ao falarmos em modelos e modelagem, devemos destacar que as 
funções linear, mista e não linear, entre outras, são técnicas matemáticas de uso 
na PO. E, nesse contexto, a estruturação do modelo tem relação direta com o 
sistema representado, que é real. 
Prevalece no estudo de PO, como você irá observar, ao analisar os 
exemplos, a ideia de uma estrutura em que é observado um conjunto de 
elementos que se interligam estabelecendo uma situação específica, um 
contexto, ou seja, a realidade concreta dos fatos e fatores. Nesse sentido, a 
modelagem é um processo que utiliza ferramentas matemáticas para organizar 
os dados de uma circunstância de tal forma que crie modelos facilitadores para 
uma tomada de decisão. 
Para facilitar os procedimentos, ou seja, a aplicação dessa ferramenta, 
costumamos dizer que a PO é dividida em seis fases, na seguinte ordem: 
• formulação do problema; 
• construção ou alteração do modelo; 
• cálculo do modelo; 
 
 
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• teste do modelo e da solução; 
• estabelecimento e controle das soluções; 
• implantação e acompanhamento. 
Se você observar cada uma dessas fases, vai perceber que elas de fato 
são as etapas a serem transpostas, enfrentadas e executadas na solução do 
problema apresentado para encontrar a solução ótima. Vamos, portanto, fazer 
um resumo descritivo dos seis passos listados. Você irá perceber que o quinto e 
o sexto passo apresentam alguns aspectos interdependentes. 
Formulação do problema — Nessa fase, determinamos o que 
pretendemos fazer. É o momento de definições, no qual devemos desenvolver o 
problema cuidadosamente, com clareza e coerência, delimitando os objetivos a 
alcançar e identificando as limitações ou restrições do produto em estudo, 
inclusive esboçando e acolhendo críticas aos possíveis caminhos que 
desejamos alcançar. É o período adequado para fazermos as proposições 
possíveis, verificando os registros e coletando novas informações, com máxima 
precisão e veracidade das informações. 
E se a formulação for feita de modo equivocado? Você deve lembrar que, 
se a formulação for feita de modo equivocado, fugindo do objeto de estudo, todas 
as outras fases ficam comprometidas e podem levar ao erro. 
Construção ou alteração do modelo — Partimos para o enfrentamento 
dessa fase com a concepção de que o modelo é uma representação da realidade 
estudada, portanto, ele depende do estudo do problema já levantado na fase 
inicial. É importante lembrar que os elementos constitutivos do modelo são 
oriundos de dados da empresa ou do mercado, ou, ainda, do cenário que está 
sendo analisado. Aqui prevalece a modelagem matemática, definida por 
equações e inequações matemáticas, seja na função objetivo ou em suas 
restrições, como veremos mais adiante. Cabe lembrar que nessa fase é preciso 
separar as variáveis decisivas, também chamadas de variáveis controláveis, das 
variáveis não controláveis. Para exemplificar, podemos dizer que uma variável 
controlável é aquela que, em uma situação de produção, representa a 
quantidade produzida. Já o outro tipo de variável não controlada poderia ser a 
demanda dessa quantidade ou o preço de mercado praticado porcerto produto. 
 
 
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Cálculo do modelo — Também podemos chamá-la de resolução do 
modelo. É a fase na qual encontramos a solução ou as soluções do modelo por 
meio de diversas técnicas de resolução, desde as mais simples, nas quais os 
problemas também são simples, até técnicas de programação lineares mais 
sofisticadas. O método simplex é uma dessas técnicas que podemos utilizar 
quando se trata de problemas com mais de duas variáveis controladas. Existem 
também muitos recursos computacionais que permitem fazer o cálculo com 
extremo rigor, confiabilidade e rapidez. Podemos destacar alguns, como o Solver 
do Microsoft® Office Excel, Lindo, Lingo, OMP, Maple, PLM, WinQSB, etc. 
Teste do modelo e da solução — Nessa fase, verificamos se os resultados 
obtidos pelas soluções encontradas do modelo matemático servem para o 
modelo real do problema, após sua implantação, ou, ainda, se ele permite 
verificar se serão necessárias novas soluções para melhorar ainda mais. 
Estabelecimento e controle das soluções — Por que controle? Na 
construção do modelo, bem como na sua execução, devemos identificar alguns 
parâmetros ou valores fixos para a solução do problema. Esses parâmetros 
devem ser controlados, para que, caso sofram desvios durante o processo, o 
modelo possa ser corrigido. 
Implantação e acompanhamento — É quando verificamos com precisão 
o que conseguimos, ou seja, o que encontramos nas fases anteriores, desde que 
tenhamos feito todo o acompanhamento do processo. Podemos também, nessa 
etapa, fazer correções ou ajustes no modelo, caso sejam necessários. 
É interessante que você saiba que a pesquisa operacional atua em vários 
níveis do conhecimento, que podem ser formulados matematicamente, adotando 
uma técnica específica para cada situação, como, por exemplo: 
• em setores cujo objetivo é otimizar a quantidade produzida para 
alcançar o menor custo ou a maior receita (aumentar ou diminuir), 
situação na qual podemos citar a agricultura, a indústria química ou a 
produção industrial; 
 
 
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• na indústria moveleira e metalúrgica, a qual procura minimizar o 
desperdício com problemas de cortes de chapas ou madeiras, tendo 
assim um melhor aproveitamento; 
• em carteira de investimentos que possam trazer uma opção melhor 
para um determinado investimento, em função de obter uma melhor 
rentabilidade; 
• em situações de transporte para otimizar o tempo e custo tanto no que 
se refere a fluxo de transporte, como fluxo para obtenção do caminho 
mínimo. 
Para cada situação, como já dissemos, utilizamos uma ferramenta 
(procedimento) ou técnica, conforme particularidades que apresentam. Entre 
elas, podemos destacar: 
• a programação linear (PL) que consiste na programação matemática 
que procura otimizar situações-problema sujeitas a certas restrições— 
maximizando ou minimizando. Cabe ressaltar que existem outros tipos 
de programação linear, com características bem definidas, como as da 
Programação Inteira, Mista ou Dinâmica; 
• a teoria das filas, cuja finalidade é trabalhar com situações de 
congestionamentos de sistemas, tempo de espera em filas, entre 
outras; 
• a teoria dos grafos, técnica que é direcionada para os fluxos máximos, 
o caminho mais curto, a roteirização de caminhos para veículos, o 
planejamento e programação de projetos — PERT e CPM; 
• a simulação, que atua com modelos representativos analisando o 
comportamento de variáveis e abrangendo situações que favorecem à 
lei do acaso, sendo otimizadas. Como exemplo podemos falar sobre a 
simulação de Monte Carlo; 
• a teoria dos jogos, a qual se baseia em estratégias para persuasão e 
tomada de decisão. 
 
 
 
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Você pode usar todas essas técnicas para o estudo do problema e a 
obtenção de dados quantificados como subsídios para tomar decisões na 
empresa. 
TEMA 3 - PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Bom, vimos até aqui os principais fundamentos da Pesquisa Operacional. 
Podemos então iniciar os nossos estudos sobre os tópicos específicos 
relacionados não só à PO, mas aos temas que serão importantes para o nosso 
curso e para a nossa profissão. 
Inicialmente abordaremos a Programação Linear (PL), que consiste em 
uma das mais importantes áreas da PO. Estudaremos nesse momento a 
formulação de problemas de PL e exemplos e aplicações. 
Nesse momento você pode estar se perguntando: o que é Programação 
Linear? 
A programação linear consiste em uma das mais importantes técnicas de 
otimização pertencentes à pesquisa operacional. Muitos problemas de 
otimização estão sujeitos a restrições tais como limitações de investimentos, 
mão de obra, matéria-prima, entre outras. Matematicamente essas restrições, 
bem como a função objetivo podem ser lineares ou não lineares. A programação 
linear, como a própria nomenclatura diz, tem como objetivo abordar problemas 
de otimização dotados de uma função objetivo linear e de restrições também 
lineares. Mas o que é uma restrição ou uma função objetivo linear? 
Uma função objetivo ou uma restrição são ditas lineares quando cada 
aumento de uma unidade em uma das variáveis do problema corresponde a um 
aumento constante por unidade no recurso associado a essa variável. 
Graficamente, uma expressão linear com duas variáveis é representada 
por uma reta. No caso de três variáveis, a representação gráfica é um plano. 
Para quatro ou mais variáveis temos hiperplanos, mas que infelizmente não 
podem ser representados graficamente. No entanto, independente do número 
de variáveis do problema, as características lineares são preservadas. 
 
 
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Para ilustrarmos a característica linear de um problema, vamos imaginar 
a seguinte situação: em um determinado supermercado, uma caixa de leite custa 
R$ 2,00. Nesse caso, duas caixas custam R$ 4,00, três caixas custam R$ 6,00 
e assim por diante, ou seja, a cada aumento de uma unidade na quantidade de 
caixas de leite, temos um aumento de R$ 2,00 no preço total. Como o aumento 
é constante, independente do número de caixas de leite, a relação entre 
quantidade de caixas de leite e o preço total é dita linear. 
A forma geral de um problema de programação linear é 
 
Essa forma geral tem alguns elementos característicos que sempre 
aparecerão nos problemas de PL: 
A função objetivo pode ser escrita nas duas formas que apresentamos 
a seguir: 
 
 
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Em ambos os casos, onde são números reais e 
são as variáveis do problema. 
Nos problemas de PL, além da função objetivo, que consiste em uma 
expressão matemática que representa a meta a ser alcançada, temos também 
as restrições. 
Para você entender melhor, pode imaginar uma indústria de laticínios que 
deseja otimizar (maximizando) a sua produção. Nesse caso, as limitações de 
ordem prática encontradas para fazer a otimização da produção (função objetivo) 
serão as restrições do problema em PL. Entre outras: 
• quantidade disponível de matéria-prima; 
• capacidade do setor produtivo; 
• mão de obra; 
• limitações no preço. 
Em outros problemas de PL podem existir diferentes limitações, tais como 
limitações de localidade ou de espaço físico, distância entre localizações, além 
de outras. Nesse contexto, podemos encontrar, por exemplo: 
• um agricultor que deseja plantar diversas culturas, no entanto ele tem 
um limite de espaço a ser cultivado, ou seja, uma restrição espacial; 
• um investidor que deseja diversificar suas aplicações, mas ele possui 
apenas certa quantia a ser aplicada, portanto possui uma restrição de 
capital; 
 
 
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• uma transportadora que tem como objetivo otimizar as entregas, 
contudo ela deve considerar o fato de contarcom um determinado 
número de veículos, o que significa uma restrição de quantidade 
disponível (de veículos). 
No cenário das restrições, encontramos as restrições de igualdade ou as 
de desigualdade. Veja como são representadas nas equações a seguir. 
 ou 
 
Tanto a função objetivo quanto as restrições são facilmente encontradas 
a partir de uma análise cuidadosa do problema de PL a ser formulado. 
Por ser um importante momento pertinente à abordagem de problemas de 
PL, a formulação exige tempo e dedicação. Por isso, é importante resolver 
problemas que envolvem formulação. 
A prática é fundamental para que possamos formular corretamente 
problemas de Programação Linear. 
TEMA 4 - FORMULAÇÃO DE UM PROBLEMA DE PL 
Para que possamos resolver um problema de programação linear, é 
preciso, inicialmente, identificarmos os elementos fundamentais que sempre 
serão encontrados: 
Variáveis – São os fatores que você quer controlar e aqueles que você 
deseja saber quanto valem. São esses os elementos que irão representar as 
variáveis de decisão (incógnitas encontradas na solução do modelo). 
Função objetivo – É uma função matemática que expressa a meta do 
problema. No caso de um problema de PL, pode ser uma função para 
maximizarmos ou minimizarmos. 
 
 
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Restrições – São as limitações do problema às quais as variáveis estão 
sujeitas. 
Solução ótima – É a solução para o problema que, atendendo às 
restrições do problema, maximiza ou minimiza a função objetivo. 
Para ilustrarmos os principais componentes de um problema de Pesquisa 
Operacional, vamos observar um exemplo prático. 
 
Para formularmos um problema de PL, o primeiro passo é identificar 
corretamente as variáveis. Observe que a necessidade da indústria é de definir 
o número de bolsas e de carteiras a serem produzidas. 
 
 
 
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Logo, as variáveis do problema são: 
B = quantidade de bolsas a serem produzidas 
C = quantidade de carteiras a serem produzidas 
As variáveis, em qualquer problema de PL, são os elementos cujos 
valores são desconhecidos, mas que devem ser encontrados para que 
possamos determinar a solução do problema. 
O nosso próximo passo agora é determinar a função objetivo do problema. 
Nesse caso, a meta é obter o lucro máximo em relação à produção e venda de 
bolsas e de carteiras. 
 
Observe que o lucro referente a cada bolsa é de R$ 39,00 e que o lucro 
referente a cada carteira corresponde a R$ 17,00. 
 
 
19 
 
Para obtermos o lucro referente à produção das bolsas, é só 
multiplicarmos a quantidade de bolsas (B) pelo lucro de cada uma delas (39): 
39.B 
O lucro referente às carteiras é dado pela multiplicação das quantidades 
de carteiras (C) pelo lucro unitário (17): 
17.C 
E o lucro total é a soma do lucro das bolsas com o lucro das carteiras: 
L=39B+17C 
Como o objetivo da indústria é obter o maior lucro possível, temos um 
problema de maximização. Logo, a função objetivo corresponde a max 
L=39B+17C. 
O próximo passo nosso é determinarmos as restrições do problema. 
Agora é o momento de observarmos no enunciado do nosso exemplo quais são 
os fatores que limitam a produção. Repare que tanto para a fabricação de bolsas 
quanto para a fabricação de carteiras, as restrições são de couro e corte e 
costura. 
 
 
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Em relação à restrição do couro, cada bolsa utiliza 500 gramas e cada 
carteira utiliza 200 gramas de couro. O total de couro disponível é de 20.000 
gramas. 
 
 
 
21 
Dessa maneira, a restrição referente ao couro fica assim: 
500B+200C<=20000 
Pois o total de couro utilizado para a fabricação de couro pode ser menor 
ou igual a 20.000 gramas, mas nunca mais do que isso. O termo 500B 
corresponde ao total de couro necessário para a fabricação de B bolsas e o 
termo 200C se refere ao total de couro necessário para a fabricação de C 
carteiras. 
Em relação à restrição do tempo de corte e costura, o procedimento é 
muito parecido com o que já fizemos. Cada bolsa requer 1 hora de corte e 
costura. Cada carteira também requer 1 hora do mesmo setor que está 
disponível 44 horas por semana. 
 
 
 
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Logo, a restrição referente ao setor de corte e costura é igual a 
1B+1C<=44 
Nesse caso, multiplicamos as quantidades de bolsas (B) e de carteiras (C) 
por 1 que corresponde ao tempo necessário para cada um desses itens 
passarem pelo setor de corte e costura. Como o tempo disponível é de 44 horas, 
a restrição é de menor ou igual. 
Reunindo a função objetivo e as restrições, a formulação do nosso 
problema de PL é a seguinte: 
 
O termo S.A. significa que a função objetivo está sujeita às restrições do 
problema. Adicionamos também duas restrições implícitas do problema 
chamadas de restrições de não negatividade. Elas existem, pois não faz sentido 
prático produzir uma quantidade negativa de bolsas ou de carteiras. 
FINALIZANDO 
Nessa aula estudamos os conceitos iniciais de Programação Linear e 
aprendemos a formular esses tipos de problemas. 
Para que possamos fixar melhor o que aprendemos até aqui, é muito 
importante que você leia o capítulo 1 da obra Iniciação à pesquisa operacional 
no ambiente de gestão, 2. ed, dos professores Marcos Antônio Barbosa e 
Ricardo A. D. Zanardini, da editora Intersaberes. 
 
 
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Aproveite a oportunidade e resolva os exercícios propostos que estão no 
final do capítulo. Para saber se as suas respostas estão de acordo com o 
esperado, o gabarito se encontra no final do livro. 
Para saber mais, uma ótima sugestão de leitura é o capítulo 1 da obra 
Pesquisa Operacional, Hamdy A. Taha, editora Pearson, que pode ser 
facilmente encontrada na biblioteca virtual. 
Esperamos que você tenha aprendido da melhor forma possível os temas 
abordados. Se necessário, retome os conteúdos e refaça os exercícios 
propostos. 
Para que possamos avançar nos nossos estudos, é importante que os 
assuntos vistos até aqui estejam bem definidos e que as possíveis dúvidas 
tenham sido esclarecidas. 
 
REFERÊNCIAS 
BARBOSA, Marcos Antonio; ZANARDINI, Ricardo Alexandre D. Iniciação à 
Pesquisa Operacional no ambiente de gestão. 3 ed. rev. e atual. Curitiba. 
Intersaberes, 2015. 
BEZERRA, C. A. PPCP Aplicações em Planilhas Eletrônicas - Técnicas 
de Planejamento, Programação e Controle da Produção. Editora 
Intersaberes, Curitiba, 2013. 
TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8 ed. São Paulo, Pearson, 2007.