Estática dos Pontos Materiais

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ESTÁTICA DOS PONTOS 
MATERIAIS
Profª Angélica da Silva Nunes
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INTRODUÇÃO
• Mecânica
– Ciência que descreve e prediz as condições de 
repouso ou movimento dos corpos sob a ação de 
forças
• Aplicações
– Cálculo Estrutural
– Projeto de Máquinas
– Escoamento de Fluídos
– Instrumentação Elétrica
– etc.
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CONCEITOS ÚTEIS
• Espaço
– Região geométrica ocupada por corpos cujas posições são 
descritas por medidas lineares e angulares em relação a um 
sistema de coordenadas. Um ponto é definido no espaço por 3 
coordenadas (x, y, z)
• Tempo
– Medida da sucessão de eventos. Além da posição no espaço, 
o instante em que ocorre cada evento deve ser conhecido
• Massa
– Medida da inércia de um corpo
• Força
– Representa a ação de um corpo sobre o outro. Esta ação pode 
ser por contato ou a distância (forças gravitacionais, forças 
eletromagnéticas). A força é uma grandeza vetorial sendo, 
então, representada por seu módulo, direção e sentido
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CONCEITOS ÚTEIS
• Partícula (ponto material)
– Porção da matéria que pode ser considerada 
como ocupando um único ponto no espaço (a sua 
forma e dimensão não são consideradas)
• Corpo Rígido
– É uma combinação de um grande número de 
partículas que ocupam posições fixas 
relativamente umas às outras. O corpo se desloca 
como um todo, não há movimento relativo entre 
as partículas, portanto não há deformação.
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PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA
• Lei do paralelogramo para a adição de forças
– Duas forças atuantes sobre uma partícula podem 
ser substituídas por uma única força resultante 
obtida pela diagonal do paralelogramo 
– Este princípio não pode ser demonstrado 
matematicamente, mas é verificado 
experimentalmente
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PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA
• Princípio da transmissibilidade
– A condição de repouso ou movimento de um 
corpo rígido não se altera, caso se modifique o 
ponto de aplicação da força sobre a mesma linha 
de ação
• Ex: em primeiro momento tem-se a força aplicada no 
ponto A da reta s e num segundo momento a força está 
aplicada no ponto B pertencente a mesma reta
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PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA
• Princípio da transmissibilidade 
– Pode ser aplicado sem restrições na Mecânica 
dos Corpos Rígidos, mas o mesmo não ocorre 
com os corpos deformáveis
– Ex:um cabo submetido à tração. No caso A tem-
se tração no cabo e no caso B tem-se 
compressão no cabo.
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PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
MECÂNICA
• Primeira Lei de Newton
– Se a força resultante que atua sobre uma partícula em repouso é nula, então 
ela permanecerá em repouso. Se a força resultante que atua sobre uma 
partícula em movimento retilíneo uniforme (MRU) é nula, então ela 
permanecerá em MRU.
• Segunda Lei de Newton
– Se a força resultante que atua sobre um ponto material não é nula, este terá 
uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na mesma direção 
e sentido desta. Logo pode-se escrever:
F = m · a
• Terceira Lei de Newton
– As forças de ação e reação entre corpos em contato têm o mesmo módulo, 
direção e sentidos opostos
• Lei da atração gravitacional de Newton
– Duas partículas de massa m1 e m2 são mutuamente atraídas por forças 
iguais e opostas de módulo F, dadas pela equação abaixo, em que G é 
Constante Universal de Gravitação (G = 6,673x10-11 m3/kg s2) e r é a 
distância entre os centros das partículas
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CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS
• Forças Externas
– São as forças que atuam num corpo devido à ação de outros corpos sobre 
este. Estas forças podem ser divididas em Ativas e Reativas. As forças Ativas 
causam uma tendência de movimento no corpo, enquanto as forças Reativas 
tendem a evitar o movimento do corpo
• Forças Internas
– São as forças responsáveis por manter unidas as partículas que formam o 
corpo rígido
• Forças Concentradas
– São forças que atuam num único ponto. Estas forças são uma idealização da 
realidade, que tem a função de facilitar os processos de cálculo. Não existe 
constatação prática da sua existência
• Forças Distribuídas
– São forças que atuam numa determinada região do corpo. Por exemplo 
pressão atuando sobre uma superfície
• Forças Estáticas
– São forças que podem ser consideradas constantes no tempo. Estas forças 
são aplicadas de modo bastante lento
• Forças Dinâmicas
– São forças variáveis no tempo.
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FORÇAS NO PLANO
• Intensidade
• Direção 
• Sentido
A 300
30 N
A 300
30 N
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FORÇA RESULTANTE
• Vetores
– Entes matemáticos que possuem intensidade, direção e 
sentido
– Atual em um dado ponto material e não podem ser 
deslocados sem modificar as condições do problema
– São somados de acordo com a Lei do Paralelogramo
– Ex: duas forças A (3 N) e B (4 N) perpendiculares tem 
resultante igual a 5 N e não 7 N
3 N
4 N
5 N
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VETORES
• Dois vetores de mesma intensidade, 
direção e sentido são ditos iguais, quer 
tenham ou não o mesmo ponto de 
aplicação – vetores livres
• Podem ser identificados pela mesma 
letra P
P
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VETORES
• O vetor oposto de um dado vetor P é 
definido como sendo um vetor que tem 
a mesma intensidade e direção e 
sentido oposto ao de P
P = - P
P
- P
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ADIÇÃO DE VETORES
P + Q = Q + P
P
Q
P + Q
Lei do Paralelogramo
P
Q
P + Q
Regra do Triângulo
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SUBTRAÇÃO DE VETORES
P
Q
P – Q = P + (– Q) 
– Q 
P
P – Q
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SOMA DE 3 OU MAIS VETORES
• Caso os vetores sejam coplanares, é mais fácil 
aplicar a Regra do Triângulo do que a Lei do 
Paralelogramo
Q
S
P
P + Q
P + Q + S
P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S)
P Q + S
P + Q + S
Q
S
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PRODUTO ESCALAR 
DE UM VETOR
• P + P = 2P 
• P + P + P = 3P
• Soma de n vezes o vetor P = nP
• Produto escalar
– Produto de um escalar k (positivo ou negativo) por um vetor P = 
kP
– Tem a mesma direção
– Tem o mesmo sentido, se k for positivo
– Tem sentido oposto se k for negativo
– Intensidade é igual ao produto da intensidade de P pelo valor k
P
1,5P
-2P
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RESULTANTE DE VÁRIAS 
FORÇAS CONCORRENTES
• Forças concorrentes
– É um conjunto de forças coplanares que 
atuam sobre o mesmo ponto
A
S
P
Q
A
S
P
Q
R
Força Resultante
R = P + Q + RForças concorrente no ponto A
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DECOMPOSIÇÃO DE UMA 
FORÇA EM COMPONENTES
• Da mesma forma que as forças atuantes em um ponto material 
pode ser substituída por uma única força F, uma força F pode 
ser substituída por 2 ou mais forças que, juntas, tem o mesmo 
efeito sobre o ponto material
• Essas forças são chamadas de componentes da força original 
F
• O processo de substituiçãoé chamado de decomposição da 
força F em componentes
• Para força F existe um número infinito de conjuntos possíveis 
de componentes
P
Q
F P
Q
F
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EXERCÍCIO 1
As forças P e Q agem sobre um 
parafuso A. Determinar a sua 
resultante.
Lei dos cossenos
R2 = P2 + Q2 - 2PQcos1550
R2 = 402 + 602 – 2.40.60.cos1550
R = 97,7 N
Lei dos senos
Q = R Æ A = 150
senA sen1550
α = 150 + 200 = 350
R = 97,7N ∡ 350
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EXERCÍCIO 2
Uma barcaça é puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das 
forças exercidas pelos rebocadores é de 5kN e tem a direção do 
eixo da barcaça, determine:
a) a tração em cada corda, sabendo-se que α=450
b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima
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EXERCÍCIO 2 – SOLUÇÃO (a)
Lei dos Senos
T1 = T2 = 5
sen450 sen300 sen1050
T1 = 3,66 kN
T2 = 2,59 kN
5 kN
5 kN
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EXERCÍCIO 2 – SOLUÇÃO (b)
Para que T2 seja mínimo, T1 e T2
devem ser ortogonais, isto é, 
devem formar um ângulo de 
900.
sen300 = T2 / 5 Æ T2 = 5 sen300
T2 = 2,5 kN
cos300 = T1 / 5 Æ T1 = 5 cos300
T1 = 4,33 kN
α = 900 – 300 = 600
5 kN
5 kN
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COMPONENTES 
CARTESIANAS DE UMA FORÇA
• Decomposição da força F 
em componentes 
perpendiculares entre si
– Paralelogramo desenhado 
para obtenção das 
componentes é um 
retângulo
– Fx e Fy: componentes cartesianas
• Eixos x e y
– Perpendiculares 
– Geralmente nas direções 
horizontal e vertical
– Podem ser inclinados
• Ângulo θ
– Medido a partir de Fx até a força F no sentido anti-
horário
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VETORES i E j
• Vetores de intensidade igual a 1
– Vetor i: na direção do eixo x
– Vetor j: na direção do eixo y
• Decomposição de F
Fx = Fx i
Fy = Fy j
F = Fx i + Fy j
onde:
Fx e Fy: componentes vetoriais de F
Fx e Fy: componentes escalares de F
(intensidade dos vetores Fx e Fy)
• Relação entre F, Fx, Fy e θ
Fx = F cosθ
Fy = F senθ
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EXERCÍCIO
Uma força de 800 N é exercida 
sobre um parafuso A. Determine as 
componentes horizontal e vertical 
da força F
Fx = - F cosα = - 800.cos350
Fx = - 655 N
Fy = + F senα = - 800.sen350
Fy = + 459 N
Componentes vetoriais de F:
Fx = - (655 N)i
Fx = + (459 N)j
F = - (655 N)i + (459 N)j
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EXERCÍCIO
Um homem puxa, com uma força de 300 N, 
uma corda fixada a uma construção. Quais 
as componentes horizontal e vertical da 
força exercida pela corda no ponto A?
tgα = (6/8) Æ α = 36,870
Fx = +(300)cosα = 240 N
Fy = -(300)senα = -180 N
F = (240 N) i – (180N) j
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EXERCÍCIO
A força F=(3,5kN)i + (7,5kN)j é aplicada 
a um parafuso A. Determine a 
intensidade da força e o ângulo que ela 
forma com a horizontal.
tgθ = (Fy / Fx) = (7,5 / 3,5)
θ = 350
F2 = Fy2 + Fx2 = 7,52 + 3,52
F = 8,28 kN
Fx = 3,5 kN
F y
= 
7,
5 
kN
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ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA 
DAS COMPONENTES
• Soma de 2 forças
– Lei do paralelogramo ou regra do triângulo
• Soma de mais de 2 forças
– Solução analítica pode ser obtida pela decomposição de cada uma 
das forças em suas componentes cartesianas
• Ex: 3 forças P, Q e S
R = P + Q + S P = Pxi + Pyj
Q = Qxi + Qyj
S = Sxi + Syj
R = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj
R = (Px + Qx + Sx)i + (Py + Qy + Sy)j
Rx Ry
Rx = Px + Qx + Sx e Ry = Py + Qy + Sy ou Rx = Σ Fx e Ry = Σ Fy
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ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA 
DAS COMPONENTES
Forças P, Q, S Decomposição Componentes Resultante 
nos eixos x e y x e y de R R
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EXERCÍCIO
Quatro forças atuam no parafuso A. 
Determine a resultante das forças que 
agem no parafuso.
3450
2700
1100
300
θ
14,30 N199,13 NResultante
-25,88 N96,59 N100 NF4
-110,00 N0,00 N110 NF3
75,18 N-27,36 N80 NF2
75,00 N129,90 N150 NF1
Fy (Fsenθ)Fx (Fcosθ)
Intensi
dade
Força
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EQUILÍBRIO DE 
UM PONTO MATERIAL
• Quando a resultante de todas as forças que atuam 
sobre um ponto material é zero, este ponto está em 
equilíbrio
Σ F = 0
Σ (Fxi + Fyj) = 0
(Σ Fx)i + (Σ Fy)j = 0
então: Σ Fx = 0 Σ Fy = 0
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EQUILÍBRIO DE 
UM PONTO MATERIAL
• Primeira Lei de Newton
– Se a força resultante que atua sobre um ponto 
material tem intensidade igual a zero, esse ponto 
permanece em repouso ou se move em 
movimento retilíneo uniforme
• Diagrama do Corpo Livre
– Resolução de problemas da vida real reduzindo-
se o problema do equilíbrio do ponto material, 
esquematizando-se em um diagrama separado 
todas as forças que sobre ele são exercidas
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EXEMPLO DE EQUILÍBRIO 
DE UM PONTO MATERIAL
Tem-se um caixote de 
75kg que estava em 2 
prédios e está agora 
sendo colocado sobre um 
caminhão. O caixote é 
suportado por um cabo 
vertical, unido no ponto A 
a duas cordas que 
passam por roldanas 
fixadas nos prédios em B 
e C.
Deseja-se determinar a 
tração nas 2 cordas AB e 
AC. 
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EXEMPLO DE EQUILÍBRIO 
DE UM PONTO MATERIAL
• Desenha-se o Diagrama do Corpo Livre 
mostrando o ponto material em 
equilíbrio, que nesse caso é o ponto A
• Condição de equilíbrio do ponto A
Σ F = 0
P = mg = 75kg.9,81m/s² = 735,75 N
sen400 = TAC / P
TAC = Psen400 = 472,93 N
cos400 = TAB / P 
TAB = Pcos400 = 563,62 N
Diagrama do Corpo Livre
Triângulo de Forças
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Forças no Espaço
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Componentes Cartesianas de 
uma Força no Espaço
Fy=Fcosθy
Fh=Fsenθy
Fx=Fhcosφ=F senθy cosφ
Fz=Fhsenφ=F senθy senφ
Triângulo OAB: F2=Fy2+Fh2
Triângulo OCD: Fh2=Fx2+Fz2
Î F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2 Î F = √ Fx2 + Fy2 + Fz2
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Componentes Cartesianas de 
uma Força no Espaço
Fx=Fcosθx Fy=Fcosθy Fz=Fcosθz
Ângulos θx, θy e θz definem a direção da força F
cos θx, cos θy e cos θz são chamados de cossenos diretores
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Componentes Cartesianas de 
uma Força no Espaço
Sejam i, j e k os vetores unitários 
orientados segundo os eixos x, y e z 
respectivamente, então:
F = Fx i + Fy j + Fz k
e
F = F(cosθx i + cosθy j + cosθz k)
Seja λ um vetor de módulo unitário na 
mesma direção de F:
λ = cosθx i + cosθy j + cosθz kλx λy λz
Como o módulo de λ é igual a 1, tem-se 
que:
λ2 + λy 2 + λz 2 = 1
cosθx2 + cosθy2 + cosθz2 = 1
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Força Definida Por Seu Módulo e 
Dois Pontos de Sua Linha de Ação
Sejam 2 pontos: M(x1, y1, z1) e N(x2, y2, z2) 
e o vetor MN que liga os pontos M e N e 
que tem a mesma direção da força F. 
Então:
MN = dx i + dy j + dz k
Vetor λ = vetor unitário na direção de F
λ = MN / MN = (1 / d) (dx i + dy j + dz k)
Lembrando que F = F λ, então:
F = (F / d) (dx i + dy j + dz k)
Assim:
Fx = Fdx Fy = Fdy Fz = Fdz
d d d
e
cosθx = (dx / d)cosθy = (dy / d) cosθz = (dz / d)
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Adição de Forças 
Concorrentes no Espaço
R = Σ F, então:
R = Rx i + Ry j + Rz k = Σ (Fx i + Fy j + Fz k)
R = (ΣFx) i + (ΣFy) j + (ΣFz) k
Daí, decorre-se:
Rx = Σ Fx Ry = Σ Fy Rz = Σ Fz
Módulo de R:
R = √ Rx2 + Ry2 + Rz2
Cossenos diretores de R:
cos θx = (Rx / R) cos θy = (Ry / R) cos θz = (Rz / R)