1ª Lista de Cálculo IV

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Universidade do Estado do Amazonas - UEA
Escola Superior de Tecnologia - EST
1a Lista de Ca´lculo IV 2014
Equac¸o˜es Diferenciais de 1a Ordem
1. Dadas as equac¸o˜es diferenciais ordina´rias, de-
termine se a equac¸a˜o e´ linear ou na˜o linear.
a) (1− x)y′′ − 4xy + 5y = cosx
b) x
d3y
dx3
−
(
dy
dx
)4
+ y = 0
c) t5y(4) − t3y′′ + 6y = 0
d)
d2u
dr2
+
du
dr
+ u = cos(r + u)
e)
d2y
dx2
=
√
1 +
(
dy
dx
)2
f)
d2R
dt2
= − k
R2
g) (sen θ)y′′′ − (cos θ)y′ = 2
h) x¨−
(
1− x˙
2
3
)
x˙+ x = 0
2. Sejam a, b, c ∈ R. Mostre que
a) y = ert, com ar + b = 0, e´ soluc¸a˜o da
equac¸a˜o ay′ + by = 0.
b) y = ert, com ar2 + br + c = 0 e´ soluc¸a˜o
da equac¸a˜o ay′′ + by′ + cy = 0.
c) y = xr, com r2+(b−1)r+c = 0, e´ soluc¸a˜o
da equac¸a˜o x2y′′ + bxy′ + cy = 0.
3. Nos problemas a seguir, verifique que a func¸a˜o
dada e´ soluc¸a˜o expl´ıcita da equac¸a˜o diferencial
dada. Admita um intervalo de soluc¸a˜o apro-
priado.
a) 2y′ + y = 0; y = e−x/2
b)
dy
dx
+ 20y = 24; y =
6
5
− 6
5
e−20t
c) y′′ − 6y′ + 13y = 0; y = e3x cos 2x
d) y′′+y = tg x; y = −(cosx) ln(secx+tg x)
4. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o dife-
rencial
ty′′ + (t− 1)y′ − y = 0
que sa˜o func¸o˜es do 1o grau, ou seja, da forma
y(t) = at+ b, para a, b constantes.
Equac¸o˜es Exatas
1. Resolva os problemas de valor inicial
a)
{
y′ + (1− 2x)y = xe−x
y(0) = 2
b)
{
y′ + 3t2y = e−t
3+t
y(0) = 2
c)
{
y′ − (cos t)y = tet2+sen t
y(0) = 2
d)
{
y′ + x4y = x4e
4x5
5
y(0) = 1
2. a) Resolva o problema de valor inicial:{
y′ + 5x4y = x4
y(0) = y0
.
b) Qual o intervalo de validade da soluc¸a˜o?
c) Qual o limite de y(x) quando x tende a
+∞? O limite depende de y0?
3. a) Resolva o problema de valor inicial:{
(x2 − 9)y′ + xy = 0
y(5) = y0
.
b) Qual o intervalo de validade da soluc¸a˜o?
c) Qual o limite de y(x) quando x tende a
+∞? O limite depende de y0?
4. Considere a equac¸a˜o
dy
dt
+ p(t)y = 0.
a) Mostre que se y1(t) e y2(t) sa˜o soluc¸o˜es
da equac¸a˜o, enta˜o y(t) = y1(t) + y2(t)
tambe´m e´ soluc¸a˜o.
b) Mostre que se y1(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o,
enta˜o, para qualquer constante c, y(t) =
cy1(t) tambe´m e´ soluc¸a˜o.
5. Considere as equac¸o˜es
dy
dx
+ p(t)y = 0 (1)
dy
dx
+ p(t)y = q(t) (2)
Mostre que se y1(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 1
e y2(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2, enta˜o y(t) =
cy1(t) + y2(t) e´ soluc¸a˜o de 2, para qualquer
constante c.
Varia´veis Separa´veis
1. Resolva, por separac¸a˜o de varia´veis, as
equac¸o˜es diferenciais dadas.
a)
dy
dx
= sen 5x
b)
dy
dx
= (x+ 1)2
c) dx+ e3xdy = 0
d) dy − (y − 1)2dx = 0
e)
dy
dx
= e3x+2y
f) exy
dy
dx
= e−y + e−2x−y
g) y lnx
dy
dx
=
(
y + 1
x
)2
h)
dS
dr
= kS
i)
dQ
dt
= k(Q− 70)
j)
dy
dx
=
xy + 3x− y − 3
xy − 2x+ 4y − 8
k)
dy
dx
= x
√
1− y2
2. a) Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor
inicial 
dy
dx
=
2x+ 1
3y2 − 3
y(0) = 0
b) Determine o intervalo de validade da
soluc¸a˜o.
c) Determine os pontos onde a soluc¸a˜o tem
um ma´ximo local.
d) fac¸a um esboc¸o do gra´fico da soluc¸a˜o.
3. Mostre que a equac¸a˜o linear y′ + p(t)y = q(t)
e´ equivalente a uma equac¸a˜o separa´vel se
a) p(t) = a e q(t) = b, para a, b ∈ R;
b) p(t) = q(t);
c) q(t) = 0.
4. Ache uma soluc¸a˜o de x
dy
dx
= y2 − y que passe
pelos pontos indicados: a) (0, 1), b) (0, 0), c)
(
1
2
,
1
2
), d) (2,
1
4
).
5. Resolva o Problema de Valor Inicial{
dy
dx
= y(100− y)
y(0) = 1
e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da soluc¸a˜o.
Equac¸o˜es Exatas
1. Determine se a equac¸a˜o e´ exata. Se for,
resolva-a.
a) (2x− 1)dx+ (3y + 7)dy = 0
b) (5x+ 4y)dx+ (4x− 8y3)dy = 0
c) (2xy2 − 3)dx+ (2x2y + 4)dy = 0
d) (x2 − y2)dx+ (x2 − 2xy)dy = 0
e) (x−y3+y2 senx)dx = (3xy2+2y cosx)dy
f) (y ln y − e−xy)dx+
(
1
y
+ x ln y
)
dy = 0
g) x
dy
dx
= 2xex − y + 6x2
h) (tg x− senx sen y)dx+ cosx cos ydy = 0
i) (5y − 2x)y′ − 2y − 0
2. a) Encontre um fatores de integrac¸a˜o µ1(y)
e µ2(y) para as equac¸o˜es
xy + (2x2 + 3y2 − 20)dy
dx
= 0
x+ (x2y + 4y)
dy
dx
= 0
de forma a transforma´-las em equac¸o˜es
exatas.
b) Verifique que as func¸o˜es µ1 e µ2 sa˜o real-
mente fatores integrantes.
3. Considere a equac¸a˜o diferencial
2y2 +
2y
x
+
(
2xy + 2 +
y
x
)
y′ = 0. (3)
a) Mostre que as equac¸a˜o diferencial (3) na˜o
e´ exata e que µ(x) = x e´ um fator inte-
grante da mesma.
b) Encontre a soluc¸a˜o geral de (3).
c) Encontre a soluc¸a˜o de (3) que satisfaz
y(1) = 1.
4. Considere a equac¸a˜o diferencial
−2y +
(
x+
y3
x
)
y′ = 0. (4)
a) Mostre que as equac¸a˜o diferencial (4) na˜o
e´ exata e que µ(x, y) =
x
y2
e´ um fator
integrante da mesma.
b) Encontre a soluc¸a˜o geral de (4).
c) Encontre a soluc¸a˜o de (4) que satisfaz
y(1) = 1.
5. Mostre que toda equac¸a˜o diferencial separa´vel
g(y)
dy
dx
= f(x) e´ tambe´m exata.
Substituic¸o˜es em Eq. de 1a Ordem
1. Resolva as equac¸o˜es seguintes fazendo a mu-
danc¸a de varia´veis v = y/x:
a)
dy
dx
=
3y + x
3x+ y
b)
dy
dx
=
2x2 + 5y2
2xy
c) (x+
√
xy)
dy
dx
+ x− y = x−1/2y3/2
2. resolva as equac¸o˜es fazendo as mudanc¸as de
varia´veis sugeridas:
a) y′ +
2
x
y =
y3
x3
, v = y−2.
b) y′ +
4
x
y = −x5exy2, v = y−1.
c) y′ = − 4
x2
− 1
x
y + y2, y = 2x−1 + u.
d) y′ = (y − x)2, v = y − x.
e) xy′ = e−xy − y, v = xy.
f)
√
yy′ +
√
y3 = 1, v = y3/2.
g) y′ = (9x+ 16y)2, v = 9x+ 16y.
3. Nos problemas a seguir, resolva a equac¸a˜o dife-
rencial por meio de uma substituic¸a˜o apropri-
ada:
a) (x− y)dx+ xdy = 0
b) (x+ y)dx+ xdy = 0
c) xdx+ (y − 2x)dy = 0
d) ydx = 2(x+ y)dy
e) (y2 + yx)dx− x2dy = 0
f) (y2 + yx)dx+ x2dy = 0
g)
dy
dx
=
y − x
y + x
f)
dy
dx
=
x+ 3y
3x+ y
Equac¸o˜es Redut´ıveis
1. Resolver as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
a) (2x− y + 4)dy + (x− 2y + 5)dx = 0
b)
dy
dx
=
x+ 2y + 1
2x+ 4y + 3
c) (x− 4y − 3)dx− (x− 6y − 5)dy = 0
d) (3x− y + 2)dx+ (9x− 3y + 1)dy = 0
Aplicac¸o˜es
1. Um tanque conte´m 100 litros de uma soluc¸a˜o a
uma concentrac¸a˜o de 1 grama por litro. Uma
soluc¸a˜o com uma concentrac¸a˜o de 2te−
1
100 t gra-
mas por litro entra no tanque a uma taxa cons-
tante de 1 litro por minuto, enquanto que a
soluc¸a˜o bem misturada sai a` mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque
em cada instante t, onde t e´ contado a
partir do in´ıcio do processo.
b) Calcule a concentrac¸a˜o de sal no tanque
t = 10 minutos apo´s o in´ıcio do processo.
2. Uma populac¸a˜o de bacte´rias cresce a uma taxa
proporcional a` populac¸a˜o presente. sabendo-se
apo´s uma hora a populac¸a˜o e´ 2 vezes a po-
pulac¸a˜o inicial, determine a populac¸a˜o como
func¸a˜o do tempo e o tempo necessa´rio para
que a populac¸a˜o triplique. fac¸a um esboc¸o do
gra´fico da populac¸a˜o em func¸a˜o do tempo.
3. Um termoˆmetro e´ levado de uma sala onde
a temperatura e´ de 20o C para fora, onde a
temperatura e´ de 5o C. Apo´s 1/2 minuto o
termoˆmetro marca 15o C.
a) Determine a temperatura marcada no
termoˆmetro como func¸a˜o do tempo.
b) Qual sera´ a leitura do termoˆmetro apo´s 1
minuto?
c) Em quanto tempo o termoˆmetro ira´ mar-
car 10o C?
4. Considere o circuito ele´trico abaixo formado
por um resistor, um indutor e uma fonte de
tensa˜o externa ligados em se´rie.
A bateria gera uma diferenc¸a de potencial de
V (t) = 10 volts, enquanto a resisteˆncia R e´ de
100 ohms e a indutaˆncia L e´ de 0,5 henrys. Sa-
bendo que a queda de potencial em um indutor
e´ igual a L
dI
dt
, encontre a corrente I(t) em cada
instante t, se I(0) = 0.