2ª lista de Exercicios Calculo IV

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST
2
a
Lista de Exercícios de Cálculo IV - Engenharia Naval
QUESTÕES
Equações Lineares e Homogêneas de Coeficientes Constantes.
Questão 1. Resolver as seguintes equações diferenciais:
(a)
d2y
dx2
− 6dy
dx
+ 8y = 0.
(b)
d2y
dx2
+ 8
dy
dx
+ 41y = 0.
(c)
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ y = 0.
(d) 4
d2y
dx2
+ y = 0.
(e)
d8y
dx8
− d
4y
dx4
− 2y = 0.
Questão 2. Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) 2
d2y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 3y = 0, y(0) = 3,
dy
dx
(0) = −4.
(b) 2
d2y
dx2
+ 3y = 0, y(0) = 1,
dy
dx
(0) = 3.
(c) 2
d2y
dx2
+ 5
dy
dx
− 3y = 0, y(0) = 1, dy
dx
(0) = 4.
Método dos Coeficientes a Determinar.
Questão 3. Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1o Caso):
(a)
d2y
dx2
− 4y = 8x2 − x+ 12.
(b)
d3y
dx3
− d
2y
dx2
− 2dy
dx
= x− 2.
(c)
d4y
dx4
− 4d
2y
dx2
= 3x3 − x+ 1.
Questão 4. Determinar a solução geral das seguintes equações (do 2o Caso):
(a)
d2y
dx2
− 3dy
dx
+ 2y = e−x.
(b)
d2y
dx2
− 4y = 4e2x.
(c)
d2y
dx2
− 4dy
dx
+ 4y = 3e2x.
(d)
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ y = 2ex.
Questão 5. Resolver as seguintes equações (3o caso):
(a)
d2y
dx2
− 3dy
dx
+ 2y = 2 senx.
(b)
d2y
dx2
+ 4
dy
dx
= 3 cosx.
(c)
d4y
dx4
− 16y = 3 sen 2x.
1
(d)
d2y
dx2
− 4y = 5 cos 2x.
Questão 6. Resolver as seguintes equações mistas (4o caso):
(a)
d2y
dx2
− 2dy
dx
= e2x + 5.
(b)
d2y
dx2
− 4dy
dx
+ 4y = xe2x.
(c)
d2y
dx2
− 2dy
dx
− 8y = ex − 8 cos 2x.
(d)
d2y
dx2
− 4dy
dx
+ 4y = 2e2x +
x
2
.
(e)
d3y
dx3
+
d2y
dx2
+
dy
dx
+ y = xex.
(f)
d3y
dx3
− y = x3 − 1.
Método da Variação dos Parâmetros.
Questão 7. Resolver as seguintes equações diferenciais:
(a)
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ y =
ex
x
.
(b)
d2y
dx2
+ y =
1
cosx
.
(c)
d2y
dx2
+ y =
1
senx
.
(d)
d2y
dx2
− 2y = 4x2ex2 .
(e)
d3y
dx3
+ 2
dy
dx
= tanx.
Aplicações.
Questão 8. Uma mola com massa de 3Kg é mantida esticada 0, 6m além de seu comprimento natural por
uma força de 20N. Se a mola começar em sua posição de equilíbrio, mas um empurrão der sua velocidade
inicial de 1, 2m/s, determine a posição da massa depois de t segundos.
Questão 9. Uma mola com massa de 2Kg tem uma constante de amortecimento 14, e uma força de 6N é
necessária para manter a mola esticada 0, 5m além de seu comprimento natural. A mola é esticada 1m além
de seu comprimento natural e então solta com velocidade zero. Determine a posição da massa em qualquer
instante t.
Questão 10. Um circuito em série consiste em um resistor com resistência 20Ω, um indutor com induntância
L = 1H, um capacitor com capacitância 0, 002F e uma bateria de E(t) volts. Se a carga inicial e a corrente
forem iguais a 0, encontre a carga e a corrente no instante t quando:
(a) E(t) = 12 volts.
(b) E(t) = 12 sen 10t volts.
O que acontece quando t→∞? Explique.
Problemas Teóricos.
Questão 11. Considere a equação diferencial
ty′′ − (2 + t2)y′ + 3ty = 0.
Mostre que y1(t) = t
3
e y2(t) = t
2|t| são soluções linearmente independentes desta equação, qualquer que
seja t ∈ R. No entanto, W (y1, y2)(t) = 0, para todo t ∈ R.
Questão 12. Suponha que y1(t) = e
t
e y2(t) = e
−t
sejam duas soluções de uma equação diferencial linear
homogênea. Explique por que y3(t) = cosh t e y4(t) = sinh t são também soluções da equação.
Questão 13. Suponha que y1, y2, . . . , yk sejam k soluções não-triviais de uma equação diferencial linear
2
homogênea de ordem n com coeficientes constantes e que k = n+ 1. O conjunto de soluções y1, y2, . . . , yk é
linearmente dependente ou linearmente independente em (−∞,∞)? Justifique.
Questão 14. Considere o operador linear T : C4[(−∞,∞)]→ C0[(−∞,∞)] definido por
T (y) = y(4) + y(2).
Determinar o núcleo de T . O operador T é invertível?
Questão 15. (Fórmula de Abel-Liouville). Sejam Φ1,Φ2 : (a, b)→ R duas soluções da equação
x¨+ px˙+ qx = 0.
Mostrar que
W (t) = W (t0)e
− ∫ t
t0
p(s)ds
,
onde t0 ∈ (a, b) e W (t) = W [Φ1,Φ2](t).
Questão 16. Sejam Φ1,Φ2 : (a, b)→ R duas soluções linearmente independentes da equação
x¨+ px˙+ qx = 0,
com Φ1(t) 6= 0, t ∈ (a, b). Mostre (por derivação direta) que
d
dt
(
Φ2
Φ1
)
=
W [Φ1,Φ2]
Φ21
.
Use a fórmula de Abel-Liouville para obter uma expressão para Φ2 e a compare com
Φ2(t) = Φ1(t)
∫
1
Φ21(t)
e−P (t)dt.
Questões de provas anteriores.
Questão 17. Considere a equação
ty′′ − (2 + t2)y′ + 3ty = 0.
Mostre que y1(t) = t
3
e y2(t) = t
2|t| são soluções linearmente independentes desta equação, qualquer que
seja t ∈ R. No entanto, W (y1, y2)(t) = 0, para todo t ∈ R.
Questão 18. Resolver as seguintes equações diferenciais:
(a) y′′ − 6y′ + 8y = 0;
(b) y′′ + 8y′ + 41y = 0;
(c) y′′ − 2y′ + y = 0.
Questão 19. Determinar a solução da seguinte equação diferencial:
d5y
dx5
+
dy
dx
= x4 − x3 + x2 − 2x+ 1.
Questão 20. Resolver, pelo método da variação dos parâmetros, a seguinte equação:
y′′ − 2y′ + y = x−1ex.
Questão 21. Um circuito em série consiste em um resistor com resistência 20Ω, um indutor com induntância
L = 1H, um capacitor com capacitância 0, 002F e uma bateria de E(t) = 12 sin 10tV volts. Se a carga inicial
e a corrente forem iguais a 0, encontre a carga no instante t.
Questão 22. Faça o que se pede nos seguintes itens:
(a) Determinar a solução geral y(t) da equação diferencial y′′+6y′+8y = 0. O que acontece com a solução
geral quando t→∞?
(b) Determinar a solução geral da equação diferencial
d8y
dt8
+
d4y
dt4
− 2d
2y
dt2
= 0.
(c) Resolver o problema de valor inicial
2y′′ + 5y′ − 3y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 4.
3
(d) Encontrar a solução geral da equação diferencial
y′′ − 2y′ − 8y = et − 8 cos 2t.
(e) Verifique y1(t) = t é uma solução particular de t
2y′′+ ty′− y = 0. Em seguida, determine uma função
u = u(t) de modo que y2(t) = u(t)y1(t) seja solução particular da equação dada. Qual é a solução
geral da equação?
Questão 23. Mostre que a EDO linear não-homogênea de coeficientes não-constantes
t2y′′ + ty′ +
(
t2 − 1
4
)
y = t
3
2 f(t), para t > 0,
pode ser reduzida a uma EDO linear não-homogênea de coeficientes constantes
v′′ + v = f(t)
mediante a substituicão y(t) = t−
1
2 v(t). Em seguida, determine a solução geral da EDO original.
Questão 24. Seja u = u(t). A equação que descreve o sistema massa-mola é dada por
mu¨+ cu˙+ ku = F (t), para t > 0,
onde m designa a massa, c o coeficiente de amortecimento e k o coeficiente de estiramento da mola, e F (t)
a força externa aplicada ao sistema. Suponha que m e k sejam constantes positivas, c uma constante não
negativa. Determine a solução da EDO quando c > 0 e o sistema está sujeito a uma força externa, de
crescimento quadrático, da forma F (t) = F0t
2
, em que F0 é uma constante.
Questão 25. Faça o que se pede nos seguintes itens:
(a) Resolva o problema de valor de contorno
y′′ + 8y′ + 41y = 0; y
(pi
2
)
= −1, y
( pi
20
)
= 1.
(b) Resolva o problema de valor inicial
2y′′ + 5y′ + 3y = 0; y(0) = 3, y′(0) = −4.
(c) Determinar a solução geral da equação diferencial
d7y
dt7
− d
3y
dt3
= 0.
(d) Obter a solução geral da equação diferencial
y′′ − αy′ = at; com α > 0 e a 6= 0.
(e) Obter a solução geral da equação diferencial
y′′ − αy = eαtat; com α > 0 e a 6= 0.
Questão 26. Considere a EDO linear não-homogênea de coeficientes não-constantes
(?) t2y′′ + ty′ − y = t.
(a) Verifique que y1(t) = t é solução particular da equação homogênea associada a (?), isto é, y1 é solução
de
(??) t2y′′ + ty′ − y =0.
(b) Determine uma função u = u(t), duas vezes diferenciável, tal que y2(t) = tu(t) também seja uma
solução particular de (??).
(c) OMétodo de Variação de Parâmetros resolve qualquer tipo de equação diferencial linear não-homogênea,
mesmo que os coeficientes não sejam constantes. Se conhecermos as soluções particulares da equação
homogênea associada, basta determinar a solução particular yp de maneira análoga ao que é feito
quando os coeficientes da equação são constantes. Sabendo disto, use o método de variação de parâ-
metros para determinar a solução de (?).
4
Questão 27. O chamado circuito RLC (resistência R, indutância L e capacitância C) é descrito pela
equação
LQ¨+RQ˙+
1
C
Q = E(t), para t > 0,
sendo Q(t) a carga no capacitor e E(t) a voltagem externa imposta ao sistema. Supondo que L = 1H,
C = 0, 002F e R = 20Ω, calcule a quantidade de carga presente no capacitor no instante t, sabendo que
E(t) = 12V e que Q(0) = 0 e Q˙(0) = 0.
Questão 28.
(a) Determinar a solução da seguinte equação diferencial
d4y
dx4
+
dy
dx
= x4 − x3 + x2 − 2x+ 1.
(b) Considere a equação diferencial ty′′ − (2 + t2)y′ + 3ty = 0. Mostre que y1(t) = t3 e y2(t) = t2|t| são
soluções linearmente independentes desta equação, qualquer que seja t ∈ R. No entanto,W (y1, y2)(t) =
0, para todo t ∈ R.
(c) Verifique y1(t) = t é uma solução particular da EDO: t
2y′′ + ty′ − y = 0. Em seguida, determine uma
função u = u(t) de modo que y2(t) = u(t)y1(t) seja solução particular da equação dada. Qual é a
solução geral da equação?
5