2ª lista de Exercicios Complemento Calculo IV

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST
2
a
Lista de Exercícios de Cálculo IV (Complemento) - Engenharia Naval
QUESTÕES
Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Não Constantes.
Questão 1. Verifique que ψ1(x) = x é solução da equação
x2y′′ + 2xy′ − 2x = 0, t > 0,
e determine uma segunda solução dessa equação.
Questão 2. Verifique que ψ1(x) = x
− 1
2 senx é solução da equação de Bessel de ordem
1
2
:
x2y′′ + xy′ +
(
x2 − 1
4
)
y = 0, x > 0.
Determine uma segunda solução ψ2, tal que ψ1 e ψ2 sejam linearmente independentes.
Questão 3. Sabendo que y1(x) é uma solução da EDO dada, determine uma solução geral de:
a) x2y′′ − xy′ + 2y = 0, y1(x) = x sen(lnx)
b) (1− 2x− x2)y′′ + 2(1 + x)y′ − 2y = 0, y1(x) = x+ 1.
Questão 4. Mostre que, se y1 é uma solução de
y′′′ + p1(x)y′′ + p2(x)y′ + p3(x)y = 0
então a substituição y = v(x)y1(x) nos leva à seguinte equação de segunda ordem para p = v
′
:
y1p
′′ + (3y′1 + p1y1)p
′ + (3y′′1 + 2p1y
′
1 + p2y1)p = 0.
Questão 5. Sabendo que y1(x) é uma solução da EDO dada, determine uma solução geral de:
a) y′′′ + 6y′′ + y′ − 34y = 0, y1(x) = e−4x cosx;
b) (2− t)y′′′ + (2t− 3)y′′ − ty′ + y = 0, t < 2; y1(t) = et;
c) t2(t+ 3)y′′′ − 3t(t+ 2)y′′ + 6(1 + t)y′ − 6y = 0, y1(t) = t2.
Questão 6. Suponha que m1 = 3,m2 = −5 e m3 = 1 sejam raízes de multiplicidade 1, 2 e 3,
respectivamente, de um polinômio de grau seis. Escreva a solução geral da EDO linear homogênea
correspondente, se ela for:
a) uma equação com coeficientes constantes;
b) uma equação de Euler-Cauchy.
Questão 7. Obter a solução da equação de Euler-Cauchy:
a) x2y′′ + 3xy′ + y = 0, x > 0;
b) x2y′′ + 2xy′ + 2y = 0, x > 0;
c) x2y′′ + 5xy′ − 5y = 0, x > 0.
1
Questão 8. Mostre que a mudança de variável v =
x˙
x
transforma a equação
x¨+ p(t)x˙+ q(t)x = 0
numa equação de Riccati
v˙ + α0(t) + α1(t)v + α2(t)v
2 = 0.
Use isto para transformar a equação linear
tx¨− x˙− t3x = 0
em uma equação de Riccati. Encontre uma solução dessa equação de Riccati e a seguir obtenha
uma solução geral da equação original.
Questão 9. Suponha que o Wronskiano de duas soluções da equação diferencial
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
é igual a 1, e que ψ1(x) = x
3
é uma solução. Determine a solução geral de
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = x.
Questão 10. Considere a equação tx¨ − (t + N)x˙ + Nx = 0 onde N é uma número inteiro não
negativo. Mostre que ψ1(t) = e
t
é uma solução e que uma segunda solução pode ser expressa na
forma
ψ2(t) = e
t
∫
tNe−tdt.
2