1 Materialderivexp

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Exemplos: deriv. exp. e log.
Cada exerc´ıcio tem um semelhante resolvido, como se fosse um exemplo feito em aula, fac¸a os demais.
1. Derivar as seguintes func¸o˜es envolvendo exponeciais:
a) f(x) = sen (ex)
Soluc¸a˜o: f ′(x) = ( d
dx
sen )(ex) d
dx
(ex) = [cos(ex)](ex) = ex cos(ex).
b) f(x) = cos(ex)
c) f(x) = ex
2
Soluc¸a˜o: f ′(x) = ex
2 d
dx
(x2) = ex
2
2x = 2xex
2
.
d) f(x) = ex
3
e) f(x) = 5− ex
Soluc¸a˜o: f ′(x) = d
dx
(5)− d
dx
(ex) = 0− ex = −ex.
f) f(x) = 2 + ex
g) f(x) = e
x+e−x
2
Soluc¸a˜o: f ′(x) = d
dx
( e
x+e−x
2
) = 1
2
[ d
dx
(ex) + d
dx
(e−x)] =
= 1
2
[ex + e−x d
dx
(−x)] = ex−e−x
2
.
h) f(x) = e
x−e−x
2
2. Derivar as seguintes func¸o˜es envolvendo logaritmo:
a) f(x) = ln(1 + x2)
Soluc¸a˜o: f ′(x) = ( d
dx
ln)(1 + x2) d
dx
(1 + x2) = [ 1
1+x2
](2x) = 2x
1+x2
.
b) f(x) = ln(x− x2)
c) f(x) = ln |x|
Soluc¸a˜o: Como ln |x| =
{
lnx, x > 0;
ln(−x), x < 0. temos
f ′(x) = d
dx
(lnx) = 1
x
para x > 0
e f ′(x) = ( d
dx
ln)(−x) d
dx
(−x) = [ 1−x ](−1) = 1x , para x < 0.
Portanto d
dx
ln |x| = 1
x
, para x 6= 0.
d) f(x) = ln |1− 2x|
e) f(x) = ln((1− x2)(x3 + x))
Soluc¸a˜o: f ′(x) = d
dx
ln((1− x2)(x3 + x)) = d
dx
(ln(1− x2)) + d
dx
(ln(x3 + x)) =
= 1
1−x2 (−2x) + 1x3+x(3x2 + 1) = −2x1−x2 + 3x
2+1
x3+x
.
f) f(x) = ln((x2 + x)(3x+ x4))
g) f(x) = ln 1−x
1+x2
Soluc¸a˜o: f ′(x) = d
dx
ln( 1−x
1+x2
) = d
dx
(ln(1− x))− d
dx
(ln(1 + x2)) =
= 1
1−x(−x)− 11+x2 (2x) = −x1−x − 2x1+x2 .
h) f(x) = ln x
3
1−x+x2