Física 1c Lista8

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Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica – Departamento de Fı´sica
FIS01181 – ´Area IV – Lista 2
1. Transforme a) 223o para radianos e b) 6 rad para graus. c) Calcule
cos(0.8 rad). d) Quanto vale sin θ, se cos θ = 0.75? e) Quanto vale
θ (em radianos) no caso do item anterior? f) Quais sa˜o os dois me-
nores aˆngulos positivos (em radianos) tais que cos θ e´ nulo e sin θ e´
negativo?
2. Considere um aˆngulo φ(t) que varia com o tempo segundo a
relac¸a˜o φ(t) = 8t + δ e uma func¸a˜o x(t) que depende desse aˆngulo
x(t) = 12 cosφ onde t e´ dado em segundos, δ e´ uma inco´gnita dada
em radianos, e x e´ dado em centı´metros. Suponha o intervalo de tempo
entre t = 0 e t = 10 s. a) Quais sa˜o as unidades das grandezas repre-
sentadas pelos fatores nume´ricos 8 e 12 nas relac¸o˜es acima? b) Quais
sa˜o os valores ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o x(t) nesse intervalo de
tempo? c) Calcule os possı´veis valores de δ sabendo que, no instante
inicial, x(t = 0) = 0. d) Determine o valor de δ sabendo que, nesse
instante (t = 0), sen φ e´ negativo.
3. Uma partı´cula move-se de acordo com a seguinte equac¸a˜o de movi-
mento: x(t) = 5 cos(3.5t+pi/3), onde a posic¸a˜o x(t) e´ dada em me-
tros e o tempo t, em segundos. a) Qual e´ a posic¸a˜o inicial da partı´cula?
Calcule os quatro primeiros instantes em que a partı´cula passa pelas
seguintes posic¸o˜es: b) x = 0, c) x = 5m, e d) x = −5m. e) Fac¸a
um gra´fico da func¸a˜o x(t).
4. Duas partı´culas movem-se de acordo com as seguintes equac¸o˜es de
movimento: x1(t) = 5 cos(3.5t+pi/3) e x2(t) = 5 cos(3.5t+2pi/3)
onde as posic¸o˜es x1(t) e x2(t) sa˜o dadas em metros e o tempo t, em
segundos. a) Quais sa˜o as posic¸o˜es iniciais das partı´culas? b) Qual
e´ a posic¸a˜o da partı´cula 2, quando a partı´cula 1 passa pela posic¸a˜o
x1 = 4m pela primeira vez? c) Determine o primeiro instante de
tempo em que as partı´culas se encontram, e a posic¸a˜o onde isso ocorre.
5. Quando um bloco de 4 kg e´ pendurado em uma certa mola, produz
um aumento de 16 cm no tamanho normal da mola. a) Qual e´ o va-
lor da constante ela´stica da mola? b) O bloco e´ removido e um outro
bloco de 0.5 kg e´ pendurado, verticalmente, na extremidade da mesma
mola. Depois que a mola for esticada e a seguir libertada, qual sera´ o
perı´odo da oscilac¸a˜o?
6. Um oscilador e´ constituı´do por um bloco de 0.5 kg conectado a
uma mola. Quando ele oscila com amplitude de 35 cm, verifica-se que
o seu movimento e´ repetido a cada 0.5 s. Calcule: a) o perı´odo; b) a
frequ¨eˆncia; c) a frequ¨eˆncia angular; d) a constante da mola; e) a velo-
cidade ma´xima, e f) a forc¸a ma´xima exercida sobre o bloco. g) Escreva
a equac¸a˜o de movimento do bloco, sabendo que ele passa pela origem,
com velocidade positiva, no instante inicial.
7. Um bloco de 50 g esta´ ligado na extremidade inferior de uma
mola vertical, e o sistema comec¸a a oscilar livremente. A velocidade
ma´xima do bloco e´ igual a 15 cm/s e o perı´odo e´ igual a 50 s. Calcule:
a) a constante da mola; b) a amplitude do movimento; c) a frequ¨eˆncia
das oscilac¸o˜es. d) Escreva a equac¸a˜o de movimento do bloco, sabendo
que, no instante inicial, sua velocidade ma´xima e positiva.
8. Um corpo oscila num movimento harmoˆnico simples (MHS) de
acordo a relac¸a˜o:
x(t) = (6m) cos [(3pi rad/s)t + pi/3 rad] .
Determine: a) o deslocamento; b) a velocidade; c) a acelerac¸a˜o e d)
a fase no instante t = 2 s. Calcule tambe´m, em relac¸a˜o a este movi-
mento, e) a frequ¨eˆncia e f) o perı´odo.
9. Uma partı´cula executa um movimento harmoˆnico linear em torno
do ponto x = 0. Em t = 0, ela apresenta um deslocamento
x = 0.37 cm e velocidade nula. A frequ¨eˆncia do movimento e´ igual
a 0.25 Hz. Determine: a) o perı´odo, b) a frequ¨eˆncia angular, c) a am-
plitude, d) o deslocamento no instante t, e) a velocidade no instante t,
f) a velocidade ma´xima, g) a acelerac¸a˜o ma´xima, h) o deslocamento
para t = 3 s e i) a velocidade para t = 3 s.
10. A extremidade de uma certa mola vibra com um perı´odo de 2 s
quando um bloco de massa m esta´ ligado a ela. Quando adicionamos
um bloco de massa igual a 2 kg a este bloco, verificamos que o novo
perı´odo e´ igual a 3 s. Calcule o valor de m.
11. Um oscilador e´ constituı´do por um bloco preso a uma certa mola
(k = 400 N/m). Num dado instante t, a posic¸a˜o (medida a partir da
configurac¸a˜o de equilı´brio), a velocidade, e a acelerac¸a˜o do bloco va-
lem: x = 0.1 m, v = −13.6 m/s, e a = −123 m/s2. Calcule a) a
frequ¨eˆncia, b) a massa do bloco, e c) a amplitude da oscilac¸a˜o.
12. Um pequeno objeto esta´ pendurado em uma mola presa ao teto.
No instante inicial, o objeto e´ mantido cuidadosamente numa posic¸a˜o
tal que na˜o existe deformac¸a˜o na mola. A seguir, o objeto e´ solto e
passa a oscilar, sendo de 10 cm o afastamento ma´ximo da posic¸a˜o ini-
cial. a) Mostre que a posic¸a˜o de equilı´brio do sistema encontra-se a
5 cm abaixo da posic¸a˜o inicial. (Dica: Use a Conservac¸a˜o da Energia.)
b) Calcule a frequ¨eˆncia de oscilac¸a˜o. c) Qual e´ a velocidade do objeto
quando alcanc¸a, pela primeira vez, um ponto a 8 cm posic¸a˜o inicial?
d) Adiciona-se um outro objeto de 300 g ao objeto inicial, e verifica-se
que a nova frequ¨eˆncia de oscilac¸a˜o e´ metade da frequ¨eˆncia original.
Qual e´ a massa do objeto inicial?
13. Um bloco de massa m e´ colocado a oscilar sob a ac¸a˜o das
associac¸o˜es de molas mostradas nas figuras. Para cada um dos sis-
temas, calcule o k efetivo (da mola, u´nica, que poderia substituir as
duas, sem alterar o perı´odo) e o perı´odos de oscilac¸a˜o.
a)
21
b)
21
14. Um bloco de m = 1kg, apoiado sobre um bloco de M = 10 kg,
esta´ preso a` extremidade de uma mola (k = 200 N/m). Na˜o existe
atrito entre a superfı´cie horizontal e o bloco de massa M . O coefici-
ente de atrito esta´tico entre os dois blocos e´ igual a 0.4. Determine
qual sera´ a amplitude ma´xima do movimento harmoˆnico do sistema
para que na˜o ocorra deslizamento relativo entre os dois blocos.
15. Um sistema oscilante bloco-massa possui uma energia mecaˆnica
de 1 J, uma amplitude de 0.1 m, e uma velocidade ma´xima igual a
1.2 m/s. Calcule a) a constante da mola, b) a massa do bloco, e c) a
frequ¨eˆncia da oscilac¸a˜o.
16. Um disco circular, uniforme e achatado, tem massa igual a 3 kg e
raio igual a 0.7 m. Ele esta´ suspenso num plano horizontal por meio
de um fio vertical ligado ao seu centro. Quando o disco sofre uma
torc¸a˜o de 2.5 rad em torno do fio, um torque de 0.06 N.m e´ necessa´rio
para manter o disco nesta posic¸a˜o. Calcule a) o momento de ine´rcia
do disco em torno do fio, b) a constante de torc¸a˜o κ do fio, e c) a
frequ¨eˆncia angular desse peˆndulo de torc¸a˜o.
17. Calcule o comprimento de um peˆndulo simples cujo perı´odo vale
1 s num ponto onde g = 9.82 m/s2.
18. Um peˆdulo simples tem comprimento igual a 2.1 m e executa 62
oscilac¸o˜es em 3 minutos. Qual e´ a acelerac¸a˜o local da gravidade?
19. Uma re´gua de um metro de comprimento e´ usada como um
peˆndulo fı´sico. O pivoˆ no qual ela e´ suspensa esta´ encaixado num pe-
queno orifı´cio situado a uma distaˆncia x da marca referente a 50 cm.
Sabendo que o perı´odo desse peˆndulo fı´sico e´ igual a 2 s, calcule a
distaˆncia x.
20. Um disco circular uniforme, de raio R=12.5 cm, esta´ suspenso,
como um peˆndulo fı´sico, por um ponto situado na sua periferia. a)
Calcule o perı´odo das oscilac¸o˜es. b) Mostre que, se estivesse sus-
penso de um ponto situado na metade da distaˆncia entre o centro e a
periferia, ele deveria ter o mesmo perı´odo.
21. Um peˆndulo e´ formado ao articular uma barra homogeˆnea, longa
e fina, de compromento L e massa m, em torno de um ponto que esta´
a uma distaˆncia d acima do centro da barra. a) Ache o perı´odo das
oscilac¸o˜es de pequena amplitude desse peˆndulo em termos de d, L, m
e g. b) Mostre que o perı´odo tem um valor mı´nimo quando d = 0.29L.
22. Um peˆndulo e´ constituı´do por umdisco uniforme com raio de
10 cm e massa igual a 500 g, tendo uma haste fina presa ao centro do
disco. A haste tem comprimento de 50 cm e 270 g de massa. a) Deter-
mine o momento de ine´rcia do peˆndulo em torno do pivoˆ. b) Qual e´
a distaˆncia entre o pivoˆ e o centro de massa do peˆndulo? c) Calcule o
perı´odo das pequenas oscilac¸o˜es deste peˆndulo.
23. Voceˆ deve construir treˆs sistemas que oscilem em ressonaˆncia, com
um perı´odo de 2 s: um sistema bloco-mola, um peˆndulo simples, e um
peˆndulo fı´sico. Para tanto, voceˆ dispo˜e de uma mola de k = 2 N/m e
massas de valores variados, um fio longo e uma esfera de m = 50 g,
e uma re´gua de 1 m de comprimento e 300 g de massa que pode ser
suspensa atrave´s de qualquer ponto. Considere que g = 9.8 m/s2, e
determine: a) a massa do bloco do sistema bloco-mola, b) o compri-
mento do fio do peˆndulo simples, e c) o ponto de suspensa˜o do peˆndulo
fı´sico.
RESPOSTAS: 1. 3.89 rad, 343o, 0.697, ±0.661, 0.23pi rad e −1.77pi rad, 3pi/2 rad e 7pi/2 rad 2. 8 rad/s e 12 cm, ±12 cm,
±pi/2 rad, −pi/2 rad 3. 2.5 m; 0.15 s, 1.05 s, 1.94 s, 2.84 s; 1.5 s, 3.29 s, 5.09 s, 6.88 s; 0.6 s, 2.39 s, 4.19 s, 5.98 s 4. ±2.5 m;
−4.3 m; pi/7 s,−4.3 m 5. 245 N/m; 0.284 s 6. 0.5 s; 2 Hz; 12.6 rad/s; 79 N/m; 4.4 m/s; 27.6 N; x(t) = 0.35 cos(4pit − pi/2) 7.
7.9 × 10−4 N/m; 1.19 m; 0.02 Hz; x(t) = 1.19 cos(pit/25 − pi/2) 8. 3 m; −49 m/s; −267.5 m/s2; 19.9 rad; 1.5 Hz; 0.67 s 9.
4 s; pi/2 rad/s; 0.37 cm; 0.37 cos(pit/2); −0.58sen (pit/2); 0.58 cm/s; 0.91 cm/s2; 0; 0.58 cm/s 10. 1.6 kg 11. 5.6 Hz; 0.33 kg;
0.4 m 12. 2.23 Hz; −0.56 m/s; 100 g 13. kef = k1 + k2; k−1ef = k−11 + k−12 14. 21.6 cm 15. 200 N/m; 1.39 kg; 1.91 Hz 16.
0.735 kg.m2; 0.024 N.m; 0.181 rad/s 17. 0.249 m 18. 9.84 m/s2 19. 9.3 cm 20. 0.869 s 21. 2pi
√
(L2 + 12d2)/12gd 22.
0.205 kg.m2; 0.477 m; 1.5 s 23. 203g; 99.3 cm; 40.7 m da extremidade