APRESENTACAO DA AULA 4

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 4: Aplicações de Derivadas 
Unidade II: Aplicações de Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 4: Aplicações de Derivadas 
TAXAS 
RELACIONADAS 
1 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
2 
TRAÇADO DE 
CURVAS 
3 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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Aplicação das derivadas de vasta utilização em Física, Química, 
nas Engenharias e em outras áreas do conhecimento. 
 
Taxa Relacionada: taxa criada a partir das variações individuais 
de dois fenômenos e que relaciona um com o outro. 
Taxas Relacionadas 
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O móvel A se desloca sobre o eixo X e o 
móvel B sobre o eixo Y. Os dois móveis 
partem do ponto O e, após 1 s, encontram-
se, respectivamente, nos pontos X=4 e Y=3. 
Dado que A desloca-se a 4m/s e B a 3m/s, 
deseja-se conhecer a variação da distância 
entre os móveis. 
Taxas Relacionadas 
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m/s 4: 
dt
dx
A m/s 3: 
dt
dy
B
D 
D: distância entre os móveis 
?
dt
dD
Pelo teorema de Pitágoras, 
222 yxD 
Taxas Relacionadas 
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D 
Derivando a expressão em relação a t: dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dD
D 222 
Dividindo os membros da equação por 2: dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dD
D 
Substituindo as taxas de A e B (m/s): 
 m/s 34 yx
dt
dD
D 4
dt
dx
3
dt
dy
Taxas Relacionadas 
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D 
Substituindo um ponto conhecido: 
 m/s 34 yx
dt
dD
D 
m 4x m 3y
m 5D
 
m/s 5
m/s 
5
916
m/s 33445






 


dt
dD
dt
dD
dt
dD
Taxas Relacionadas 
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Os pontos de máximo e de mínimo de uma função são pontos de tangente horizontal (coeficiente angular 
nulo), ou seja, a derivada naqueles pontos se anula. 
Máximos e mínimos de funções 
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Analisando o gráfico, também podemos concluir que a função é crescente nos intervalos e 
 e é decrescente nos intervalos e . 
 1 , xa 32 , xx  21 , xx bx ,3
a b x1 x2 x3 
Máximos e mínimos de funções 
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Nos intervalos e a derivada de f(x) é positiva. 
Nos intervalos e a derivada de f(x) é negativa. 
a b x1 x2 x3 
 1 , xa 32 , xx 21 , xx bx ,3Máximos e mínimos de funções 
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DEFINIÇÃO 
Considere uma função f definida em um intervalo I (aberto ou fechado). 
 Podemos, então, concluir que: 
 
f é crescente em I se para todo 
 
f é decrescente em I se para todo 
 
Em outro caso, dizemos, então, que f é constante. 
;0)(' ,  xfIx .0)(' ,  xfIx
Máximos e mínimos de funções 
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Estudo do comportamento da função nas abcissas -1, 0 e 4 
34)( 2  xxxf
   
34
2
)('
342
42
)('
4234
2
1
)('
2
2
2
1
2








xx
x
xf
xx
x
xf
xxxxf
Máximos e mínimos de funções 
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Estudo do comportamento da função nas abcissas -1, 0 e 4 
34)( 2  xxxf
e;decrescent )(0
8
3
3)1(4)1(
21
)1('
2
xff 





edecrescent )(0
3
2
3040
20
)0('
2
xff 




 crescente; )(0
3
2
3444
24
)4('
2
xff 



Máximos e mínimos de funções 
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0)(' 0 xf
Ponto crítico da função 
Máximo local 
Máximo absoluto 
Mínimo local 
Mínimo absoluto 
Ponto de inflexão 
Máximos e mínimos de funções 
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Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções 
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Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções 
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Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções 
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1. Derive a função obtendo . 
2. Iguale a derivada primeira a zero para determinar o(s) ponto(s) crítico(s): 
3. Sendo c um ponto crítico da função, obtenha a derivada segunda e calcule seu 
valor para . 
)(xf )(' xf 0)(' cf
cx 
Diretrizes para determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
 
Considerando uma função contínua em um intervalo I: 
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Diretrizes para determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
 
Considerando uma função contínua em um intervalo I: 
 
4. Para avaliar se c é ponto de máximo, mínimo ou inflexão considere o seguinte: 
• se , então a função tem uma inflexão em ; 
• se , então a função tem um mínimo local em ; 
• se , então a função tem um máximo local em . 
5. Para verificar se há mais algum ponto de inflexão (nos casos em que , determine o 
valor de c tal que . 
0)('' cf 0)('' cf 0)('' cf cx cx  cx  0)(' cf 0)('' cf
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62)( 24  xxxfDeterminar e classificar os pontos críticos de uma função 
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Determinar e classificar os pontos críticos de uma função 62)( 24  xxxf
Assuntos da próxima aula: 
1. Modelagem e Otimização