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CÁLCULO III AULA 7 – DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE Conteúdo Programático Derivadas Parciais 2. Diferenciabilidade DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6 INTRODUÇÃO Vamos considerar o enunciado abaixo: Suponhamos que temos curvas de nível da temperatura T = T(t,h), medida em graus. Seja t o tempo em horas, e h a altitude, medida em metros, de uma região. Agora podemos perguntar: Como vai variar a temperatura em relação ao tempo no instante to , num ponto de altitude h = ho ? DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III Veja que temos funções de duas variáveis nesse enunciado. Agora vamos fazer uma análise onde apenas uma variável se modifica, enquanto as outras são mantidas fixas. Esse procedimento nos leva a definição de uma derivada para cada umas das variáveis independentes. Essas derivadas parciais, nos possibilita obter respostas para o enunciado dado anteriormente. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III DEFINIÇÃO DE DERIVADAS PARCIAIS Se y = f(x) (função de uma variável real) sua derivada é definida por: Taxa de variação de y em relação a x Agora estender essa definição para funções de duas variáveis real, z = f(x,y). DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III DEFINIÇÃO DE DERIVADAS PARCIAIS Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis reais e (x0,y0) um ponto do domínio de f. A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0,y0) é definida por: Se o limite existir. Notações: DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III Para calcular a derivada, fixa-se y = y0(mantendo-se y constante) em z = f(x,y) e calcula-se a derivada de g(x) onde definimos g(x) = f(x,y0) em x = x0 , ou seja, Essa função denomina-se função derivada parcial de primeira ordem de f, em relação à x, ou simplesmente, derivada parcial de f em relação à x. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) é definida por: Se o limite existir. Notações: DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III Para calcular a derivada fixa-se x = x0 em z = f(x,y) (mantendo-se x constante) e calcula-se a derivada de h(y) onde definimos h(y) = f(x0, y) em y = y0, ou seja, Essa função denomina-se função derivada parcial de primeira ordem de f, em relação a y, ou simplesmente, derivada parcial de f em relação a y. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III Analogamente podemos estender esta definição para as derivadas parciais de ordem superiores. Por exemplo, a derivarmos fxx(x,y) que significa derivar a derivada parcial em relação a x, novamente em relação a variável x. Pela definição de derivada parcial de primeira ordem podemos definir formalmente que, DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III EXEMPLOS 1. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 2. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 3. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III 4. Seja g(x,y) = 2x2y +3xy2 – 4x. Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III 5. Seja função Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III 6. Seja z = sen(2x +y). Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA A interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis é análoga à feita para funções de uma variável real. Suponhamos que z = f(x,y), definida de R2 em R admite derivadas parciais em (x0,y0). Para y = y0 temos que f(x,y0) é uma função de uma variável cujo gráfico é uma curva C1, resultante da interseção da superfície z = f(x,y) com o plano y = y0. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III A inclinação da reta tangente à curva C1 no ponto (x0,y0) é dada por De maneira análoga, temos que a inclinação da reta tangente à curva C2, resultante da interseção de z = f(x,y) com o plano x = x0, é DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Seja a função z = f(x,y). Podemos construir as derivadas parciais de segunda, terceira, ate a n-ésima ordem. Notação: Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y e x. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x e y. Derivada parcial de terceira Ordem em relação a x, ou seja, a derivada segunda em relação a x é novamente derivada em relação a x. Portanto podemos derivar até a ordem n usando todas as combinações possíveis entre as variáveis. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III EXEMPLO Seja f(x,y) = 4 x5 y4 – 6 x2y + 2. Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III APLICAÇÕES Na economia onde o termo análise marginal se refere à prática de usar uma derivada para estimar a variação no valor de uma função resultante de um aumento de uma unidade em uma de suas variáveis. As derivadas parciais são conhecidas como a produtividade marginal (ou produtos marginais) do capital e do trabalho, respectivamente. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III DIFERENCIABILIDADE Função de uma variável O gráfico constitui uma curva que não possui pontos angulosos, em outras palavras a curva é suave. Em cada ponto do gráfico temos uma reta tangente única. Função diferenciável de duas variáveis Em cada ponto do gráfico da função f deverá existir um único plano tangente que represente uma boa aproximação da função perto do ponto indicado. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III “Boa aproximação” y = f(x0) + f’(x0)(x – x0) Quando x se aproxima de x0, a diferença entre f(x) e y se aproxima de zero muito rápido. As derivadas parciais estão relacionadas com o plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III DEFINIÇÃO Plano tangente Seja f(x,y) uma função diferenciável no ponto (x0,y0). O plano tangente ao gráfico de f(x,y) no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) tem com equação: DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III Agora podemos definir uma função diferenciável. Informalmente, dizemos que f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) se o plano dado pela equação anterior fornece uma boa aproximação para f(x,y) perto de (x0,y0). Veja que quando (x,y) se aproxima de (x0,y0) , a diferença entre f(x,y) e z = T(x,y) se aproxima mais rápido de zero. Se f não é diferenciável no ponto (x0,y0), então o plano existe mas não é necessariamente tangente ao gráfico. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III DEFINIÇÃO Sejam z = f(x,y) uma função definida num conjunto aberto U 2 e (x0,y0) U. Dizemos que f é diferenciável em (x0,y0) se, e só se, f for diferenciável em todos os pontos de U. Teorema 1 Se z = f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) , então z = f(x,y) é contínua em (x0,y0). Se f(x,y) não é contínua em (x0,y0) então não é diferenciável em (x0,y0). Teorema 2 Se z = f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) , então z = f(x,y) possui derivadas parciais em (x0,y0). DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III OBSERVAÇÕES Se alguma derivada parcial não existe em (x0,y0) então a função não é diferenciável em (x0,y0). O material de estudo apresenta outros teoremas. Vale destacar o teorema que garante que a continuidade das derivadas parciais em um ponto implica na diferenciabilidadeno ponto. A recíproca não é verdadeira, isto é, diferenciabilidade em um ponto não implica em que a derivada parcial seja contínua naquele ponto. DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III O plano tangente ao gráfico de f(x,y) em (x0,y0,f(x0,y0)) é perpendicular a direção do vetor normal. Portanto: A reta que passa por (x0,y0,f(x0,y0)) e é paralela ao vetor normal em (x0,y0) é chamada reta normal ao gráfico da função f(x,y) no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) e esta é dada por: (x,y,z) = (x0,y0,f(x0,y0))+ t N(x0,y0), t DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III EXEMPLO Determine a equação do plano tangente da reta normal ao gráfico de z2 = x2 +y2 no ponto 1º ) Calcular as derivadas parciais DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III 2º ) Determinar T(x,y) DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III Reta Normal (x,y,z) = (1,2,))+ t N(x0,y0) DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III RESUMINDO Derivadas Parciais 2. Diferenciabilidade y = f(x0) + f’(x0)(x – x0) DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE – AULA 7 CÁLCULO III x x f x x f x f x D - D + = ® D ) ( ) ( lim ) ( ' 0 x y x f y x x f y x x f x D - D + = ¶ ¶ ® D ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 x f ou x z ou x f ¶ ¶ ¶ ¶ ) ( ' ) , ( 0 0 0 x g y x x f = ¶ ¶ y y x f x y x f y x y f y D - D + = ¶ ¶ ® D ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 y f ou y z ou y f ¶ ¶ ¶ ¶ ) ( ' ) , ( 0 0 0 y h y x y f = ¶ ¶ x y x f y x x x f y x x f x y x x f y x f x xx D - D + ¶ ¶ = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ = ® D ) , ( ) , ( lim ) , ( ) , ( ) , ( 0 2 2 y y xy x f y x x f 2 ) 4 2 ( ) , ( = - ¶ ¶ = ¶ ¶ 4 2 ) 4 2 ( ) , ( - = - ¶ ¶ = ¶ ¶ x y xy x f y x y f 2 ) 1 ( 2 2 ) 4 2 ( ) 1 , 1 ( = = = - ¶ ¶ = ¶ ¶ y y xy x f x f 2 ) , ( 2 2 - + = y x y x f ) , ( 0 0 y x x f tg ¶ ¶ = a ) , ( 0 0 y x y f tg ¶ ¶ = b ) )( , ( ) )( , ( ) , ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y x y f x x y x x f y x f y x T - ¶ ¶ + - ¶ ¶ + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - ¶ ¶ ¶ ¶ = 1 ), , ( ), , ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 y x y f y x x f y x N ( ) 5 , 2 , 1 2 2 ) , ( y x y x f z + = = ( ) 5 5 5 1 2 1 1 2 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + = + = + = y x x y x x f x ( ) 5 5 2 5 2 2 1 2 2 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + = + = + = y x y y x y f y ) )( , ( ) )( , ( ) , ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y x y f x x y x x f y x f y x T - ¶ ¶ + - ¶ ¶ + = ) 2 ( 5 5 2 ) 1 ( 5 5 5 ) , ( - + - + = y x y x T ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - 1 , 5 5 2 , 5 5
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