Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e do Teorema de Castigliano (2010)

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Universidade Federal do Rio Grande 
Escola de Engenharia - Curso de Engenharia Civil 
Disciplina de Resistência dos Materiais 
Prof. Mauro de Vasconcelos Real 
 
 
 
 
 
Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e 
do Teorema de Castigliano 
 
 
 
 
Kadan Griebeler – 42643 
Ana Paula Ribeiro – 42667 
Ariadne Bassani Maciel – 42640 
Alice Tavares da Silva – 42653 
Alexandra Damas – 42626 
 
 
 
 
Rio Grande 
2010 
2 
 
Universidade Federal do Rio Grande 
Escola de Engenharia - Curso de Engenharia Civil 
Disciplina de Resistência dos Materiais 
Prof. Mauro de Vasconcelos Real 
 
 
 
 
Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e 
do Teorema de Castigliano 
Trabalho apresentado à disciplina de 
Resistência dos Materiais, ministrada 
pelo Prof. Dr. Mauro de Vasconcelos 
Real, para obtenção parcial de nota no 
curso de graduação em Engenharia 
Civil. 
 
 
Kadan Griebeler – 42643 
Ana Paula Ribeiro – 42667 
Ariadne Bassani Maciel – 42640 
Alice Tavares da Silva – 42653 
Alexandra Damas – 42626 
 
 
 
Rio Grande 
2010 
 
3 
 
 
Sumário 
 
Introdução .......................................................................................................... 4 
Princípio do Trabalho Virtual .............................................................................. 5 
Princípio dos trabalhos virtuais para treliças ...................................................... 6 
Exemplo de aplicação do princípio dos trabalhos virtuais para treliças .............. 7 
Teorema de Castigliano para vigas .................................................................. 26 
Exemplo de aplicação do Teorema de Castigliano .......................................... 27 
Conclusão ........................................................................................................ 30 
 
 
III 
4 
 
Introdução 
Neste trabalho explicaremos e aplicaremos dois métodos de energia 
para obtenção do deslocamento de um ponto específico em uma estrutura. 
Analisaremos a deflexão de um ponto numa treliça através do Princípio dos 
Trabalhos Virtuais e a deflexão de um ponto numa viga através do Teorema de 
Castigliano. 
 
5 
 
Princípio do Trabalho Virtual 
O princípio do trabalho virtual baseia-se na conservação de energia. 
Para o caso em que as forças internas e externas de um corpo estão 
relacionadas através das equações de equilíbrio, a conservação de energia diz 
que: 
ie UU 
 (1) 
uP 
 (2) 
Sendo P e Δ as forças e deslocamentos externos, e u e δ as forças e 
deslocamentos internos, respectivamente. 
Em um corpo no qual se quer achar o deslocamento realizado em um 
ponto por um conjunto de forças, é possível substituir as forças reais por 
apenas uma carga unitária virtual, que atua no ponto e na direção do 
deslocamento. Da mesma forma que as cargas reais externas criam forças 
internas, esta carga unitária virtual criará uma força virtual interna em um 
elemento do corpo aparecendo assim trabalho virtual externo e interno. Pode-
se então relacionar as cargas virtuais e os deslocamentos reais através da 
equação do trabalho virtual: 
dLu1
 (3) 
Percebe-se que o deslocamento real Δ é facilmente calculado devido à 
carga virtual aplicada ser unitária. 
De maneira semelhante, o deslocamento por rotação em certo ponto 
de um corpo pode ser determinado aplicando-se um momento conjugado 
unitário no ponto, utilizando-se a fórmula: 
dLu  1
 (4) 
Trabalho virtual interno 
Os termos 
dLu
e 
dLu  
 das equações acima representam o 
trabalho virtual interno desenvolvido no corpo. 
No método da força virtual, a carga virtual “total” é aplicada antes que 
as forças reais provoquem os deslocamentos e, portanto, o trabalho da carga 
virtual interna é simplesmente o produto da carga virtual interna por seu 
deslocamento real. A partir disso podemos escrever a equação do trabalho 
virtual para um corpo sujeito a carregamento geral como: 
   dxGJ
tT
dx
GA
VF
dx
EI
mM
dx
AE
nN c1 (5) 
6 
 
 
Princípio dos trabalhos virtuais para treliças 
Se aplicarmos uma carga qualquer a treliça e essa provocar somente 
força axial nos elementos, só é preciso considerar o trabalho virtual interno 
devido à carga axial. Para obtermos o valor de tal trabalho, será preciso 
considerar que cada elemento tenha área da seção transversal A constante e 
que a carga axial n e a carga real N sejam constantes ao longo de todo o seu 
comprimento. Assim, a equação do trabalho virtual para qualquer ponto na 
treliça é: 
EA
nNL
1
 (6) 
Onde: 
1 = carga unitária virtual externa que atua no nó da treliça na direção de 
Δ; 
Δ = deslocamento do nó, provocado pelas cargas reais sobre a treliça; 
n = força virtual interna no elemento da treliça, provocada pela carga 
virtual unitária externa; 
N = força interna no elemento da treliça, provocada pelas cargas reais; 
L = comprimento do elemento; 
A = área da seção transversal do elemento; 
E = módulo de elasticidade do elemento. 
7 
 
Exemplo de aplicação do princípio dos trabalhos virtuais para treliças 
Para a treliça isostática mostrada na figura abaixo, 𝑎 = 4m, 𝑏 = 3m, F1 
= 50KN, F2 = 50KN, F3 = 50KN. Determinar através do Princípio dos Trabalhos 
Virtuais o deslocamento vertical do nó D. Considerar E = 200GPa e que todas 
as barras possuem uma área de seção transversal igual a 5000 mm². 
 
 
 
Considerando que: 𝑎 = 4 e 𝑏 = 3. 
Primeiramente resolvemos a treliça para o carregamento dado. 
Utilizando as condições de equilíbrio 
0
A
ZM
, 
0
G
ZM
 e 
0 yF
, 
calculamos as reações descritas abaixo: 
𝐴𝑦 = 100𝐾𝑁 
𝐺𝑦 = 50𝐾𝑁 
Para acharmos os esforços nas barras é necessário obtermos o valor 
do ângulo 

, cujo cálculo é descrito abaixo: 
𝜃 = tan−1
4
3
≅ 53,13° 
 
50𝐾𝑁 
 
50𝐾𝑁 
 
50𝐾𝑁
 
 
 50𝐾𝑁 
𝜃 
𝑁 
𝐴 
𝑀 𝐿 
𝐵 
𝐾 𝐽 𝐼 𝐻 
𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 
𝐺 
6𝑏 
𝑎 
S2 S3 S4 S5 S1 
𝜃 
8 
 
Os esforços normais de cada barra foram obtidos através do método 
das seções de Ritter e do método dos nós. Os cálculos realizados são 
apresentados a seguir: 
Nó A: 
 
 
 
 
𝑁𝐴𝐵 = 0 
𝑁𝐴𝑁 = −100𝐾𝑁 
Nó N: 
 
 
 
 
𝑁𝑁𝐵 = 125𝐾𝑁 
𝑁𝑁𝑀 = −75𝐾𝑁 
 
Nó B: 
 
 
 
 
𝑁𝐵𝑀 = −100𝐾𝑁 
𝑁𝐵𝐶 = 75𝐾𝑁 
 
 
100𝐾𝑁 
 
𝑁𝐴𝐵 
 
𝑁𝐴𝑁 
 
𝐴 
 
𝑁𝑁𝑀 
100𝐾𝑁 
 
𝑁𝑁𝐵 
 
𝑁 
𝜃 
𝜃 
𝑁𝐵𝑀 
𝑁𝐵𝐶 
125𝐾𝑁 
𝑂 
𝐵 
9 
 
𝑆1: 
 
 
 
 
 
∑𝑀𝑐 = 0 
100 × 6 − 𝑁𝑀𝐿 × 4 − 50 × 3 = 0 
𝑁𝑀𝐿 = −112,5𝐾𝑁 
𝑆2: 
 
 
 
 
 
∑𝑀𝐷 = 0 
100 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐿𝐾 × 4 = 0 
𝑁𝐿𝐾 = −112,5𝐾𝑁 
𝑆3: 
 
∑𝑀𝐷 = 0 
100 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐾𝐽 × 4 = 0 
50𝐾𝑁 
 
S1 
𝑁 
𝐴 
𝑀 
𝐵 
𝜃 
𝜃 
100𝐾𝑁 
 
100𝐾𝑁 
 
𝑁 
𝜃 
𝜃 
𝐴 
𝑀 
𝐵 
𝐿 
50𝐾𝑁 
 
𝐶 
50𝐾𝑁 
 
S2 
C D 
L K 
50KN 
B 
A 
N M 
50KN 50KN 
100KN 
S3 
θ 
θ 
10 
 
𝑁𝐾𝐽 = −112,5𝐾𝑁 
𝑆4: 
 
∑𝑀𝐸 = 0 
100 × 12 − 50 × 3 − 50 × 6 − 50 × 9 − 𝑁𝐼𝐽 × 4 = 0 
𝑁𝐼𝐽 = −75𝐾𝑁 
𝑆5:∑𝑀𝐹 = 0 
100 × 15 − 50 × 12 − 50 × 9 − 50 × 6 − 𝑁𝐼𝐻 × 4 = 0 
𝑁𝐼𝐻 = −37,5𝐾𝑁 
𝑆2: 
 
C D 
L K 
50KN 
B 
A 
N M 
50KN 50KN 
100KN 
E 
J 
S4 
C D 
L K 
50KN 
B 
A 
N M 
50KN 50KN 
100KN 
E 
J 
F 
I 
S5 
C 
L 
B 
A 
N M 
50KN 50KN 
100KN 
S2 
θ 
θ 
θ 
θ 
θ 
θ 
11 
 
∑𝑀𝐿 = 0 
100 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐶𝐷 × 4 = 0 
𝑁𝐶𝐷 = 112,5𝐾𝑁 
𝑆3: 
 
∑𝑀𝐽 = 0 
100 × 12 − 50 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐷𝐸 × 4 = 0 
𝑁𝐷𝐸 = 75𝐾𝑁 
𝑆4: 
 
∑𝑀𝐼 = 0 
100 × 15 − 50 × 12 − 50 × 9 − 50 × 6 − 𝑁𝐸𝐹 × 4 = 0 
𝑁𝐸𝐹 = 37,5𝐾𝑁 
 
 
 
 
 
C D 
L K 
B 
A 
N M 
100KN 
50KN 50KN 50KN S3 
L K J 
C D 
50KN 
B 
A 
N M 
50KN 50KN 
100KN 
E 
S4 
θ 
θ 
θ 
θ 
12 
 
𝑆5: 
 
∑𝑀𝐻 = 0 
100 × 18 − 50 × 15 − 50 × 12 − 50 × 9 − 𝑁𝐹𝐺 × 4 = 0 
𝑁𝐹𝐺 = 0 
Nó G: 
 
𝑁𝐺𝐻 = −50𝐾𝑁 
Nó H: 
 
𝑁𝐻𝐹 = 62,5𝐾𝑁 
Nó F: 
 
 
C D 
L K 
50KN 
B 
A 
N M 
50KN 50KN 
100KN 
E 
J 
F 
I 
S5 
NGH 
NFG 
50KN 
50KN 
37,5KN 
NHF 
37,5KN 
NFI 62,5KN 
θ 
θ 
G 
H 
F 
13 
 
𝑁𝐹𝐼 = −50𝐾𝑁 
Nó I: 
 
𝑁𝐼𝐸 = 62,5𝐾𝑁 
𝑁𝐼𝐽 = −75𝐾𝑁 
Nó E: 
 
 
𝑁𝐽𝐸 = −50𝐾𝑁 
Nó J: 
 
 
𝑁𝐽𝐷 = 62,5𝐾𝑁 
Nó K: 
 
 
37,5KN 
50KN 
50KN 
NIE 
NIE 62,5KN 
37,5KN 75KN 
50KN NJD 
112,5KN 
50KN 
112,5KN NKL 
NKD 
I 
E 
J 
K 
14 
 
𝑁𝐾𝐿 = −112,5𝐾𝑁 
𝑁𝐾𝐷 = −50𝐾𝑁 
Nó M: 
 
𝑁𝑀𝐶 = 62,5𝐾𝑁 
Nó C: 
 
 
𝑁𝐿𝐶 = −50𝐾𝑁 
Nó L: 
 
𝑁𝐿𝐷 = 0 
 
Posteriormente, aplicamos a carga unitária, que deve ser expressa em 
KN, no ponto D da treliça e ignoramos o restante do carregamento. Para essas 
novas condições, calculamos os esforços na treliça da mesma maneira. 
𝐴𝑌 = 0,5𝐾𝑁 
75KN 
50KN 
112,5KN 
100KN NMC 
NLC 
62,5KN 
75KN 
112,5KN 
50KN 
112,5KN 112,5KN 
50KN 
NLD 
M 
C 
L 
15 
 
𝐵𝑌 = 0,5𝐾𝑁 
Nó A: 
 
𝑁𝐴𝐵 = 0 
𝑁𝐴𝑁 = −0,5𝐾𝑁 
Nó N: 
 
𝜃 = 53,13° 
𝑁𝐵𝑁 = 0,625𝐾𝑁 
𝑁𝑀𝑁 = −0,375𝐾𝑁 
Nó B: 
 
 
𝑁𝐵𝑀 = −0,5𝐾𝑁 
𝑁𝐵𝐶 = 0,375𝐾𝑁 
 
0,5KN 
NAB 
NAN 
NMN 
NBN 
θ 
0,5KN 
NBM 
NBC 0 
0,625KN 
A 
N 
θ 
B 
16 
 
𝑆1: 
 
∑𝑀𝐶 = 0 
0,5 × 6 − 𝑁𝐿𝑀 × 4 = 0 
𝑁𝐿𝑀 = −0,75𝐾𝑁 
𝑆2: 
 
∑𝑀𝐷 = 0 
0,5 × 9 − 𝑁𝐾𝐿 × 4 = 0 
𝑁𝐾𝐿 = −1,125𝐾𝑁 
𝑆3: 
 
θ 
θ 
B 
A 
N M 
S1 
0,5KN 
0,5KN 
S2 
θ 
θ 
B 
A 
N M L 
C 
0,5KN 
S3 
θ 
θ 
B 
A 
N M L 
C 
1KN 
D 
K 
17 
 
∑𝑀𝐷 = 0 
0,5 × 9 − 𝑁𝐽𝐾 × 4 = 0 
𝑁𝐽𝐾 = −1,125𝐾𝑁 
𝑆4: 
 
∑𝑀𝐸 = 0 
0,5 × 12 − 1 × 3 − 𝑁𝐼𝐽 × 4 = 0 
𝑁𝐼𝐽 = −0,75𝐾𝑁 
𝑆5: 
 
∑𝑀𝐹 = 0 
0,5 × 15 − 1 × 6 − 𝑁𝐻𝐼 × 4 = 0 
𝑁𝐻𝐼 = −0,375𝐾𝑁 
 
0,5KN 
S4 
θ 
θ 
B 
A 
N M L 
C 
1KN 
D 
K 
E 
J 
0,5KN 
S5 
θ 
θ 
B 
A 
N M L 
C 
1KN 
D 
K 
E 
J 
F 
J 
18 
 
𝑆2: 
 
∑𝑀𝐿 = 0 
0,5 × 6 − 𝑁𝐶𝐷 × 4 = 0 
𝑁𝐶𝐷 = 0,75𝐾𝑁 
𝑆3: 
 
∑𝑀𝐽 = 0 
0,5 × 12 − 1 × 3 − 𝑁𝐷𝐸 × 4 = 0 
𝑁𝐷𝐸 = 0,75𝐾𝑁 
𝑆4: 
 
0,5KN 
θ 
θ 
B 
A 
N M L 
C 
S2 
θ 
θ 
1KN 
D 
K 
0,5KN 
B 
A 
N M L 
C 
S3 
0,5KN 
θ 
θ 
B 
A 
N M L 
C 
1KN 
D 
K 
E 
J 
S4 
19 
 
∑𝑀𝐼 = 0 
0,5 × 15 − 1 × 6 − 𝑁𝐸𝐹 × 4 = 0 
𝑁𝐸𝐹 = 0,375𝐾𝑁 
𝑆5: 
 
∑𝑀𝐻 = 0 
0,5 × 8 − 1 × 9 − 𝑁𝐹𝐺 × 4 = 0 
𝑁𝐹𝐺 = 0 
Nó G: 
 
𝑁𝐺𝐻 = −0,5𝐾𝑁 
𝑁𝐹𝐺 = 0 
Nó H: 
 
𝑁𝐹𝐻 = 0,625𝐾𝑁 
 
0,5KN 
S5 
θ 
θ 
B 
A 
N M L 
C 
1KN 
D 
K 
E 
J 
F 
J 
NGH 
NFG 
0,5KN 
0,5KN 
NFH 
0,375KN 
G 
H 
20 
 
Nó F: 
 
 
𝑁𝐹𝐼 = −0,5𝐾𝑁 
Nó I: 
 
 
𝑁𝐸𝐼 = 0,625𝐾𝑁 
Nó E: 
 
 
𝑁𝐸𝐽 = −0,5𝐾𝑁 
Nó J: 
 
𝑁𝐷𝐽 = 0,625𝐾𝑁 
 
 
NFI 
0,375KN 
0,625KN 
0 
NEI 0,5KN 
0,375KN 0,75KN 
NEJ 
0,375KN 
0,625KN 
0,75KN 
0,75KN 
0,5KN NDJ 
1,125KN 
F 
I 
E 
J 
21 
 
 
Nó K: 
 
𝑁𝐷𝐾 = 0 
Nó M: 
 
𝑁𝐶𝑀 = 0,625𝐾𝑁 
Nó C: 
 
 
𝑁𝐶𝐿 = −0,5𝐾𝑁 
Nó L: 
 
𝑁𝐷𝐿 = 0,625𝐾𝑁 
A Tabela1 refere-se aos dados obtidos de esforço normais e 
deformações para cada barra. O somatório das deflexões resulta na 
deformação no ponto especificado, assim como foi explicado anteriormente. 
 
1,125KN 1,125KN 
NDK 
0,375KN 
0,75KN 
0,5KN NCM 
NCL 
0,375KN 
0,625KN 
NDL 
1,125KN 
0,5KN 
0,75KN 
K 
M 
C 
L 
22 
 
 
Tabela 1 – Barras e seus referentes dados 
Barra ÁREA i [m²] E [Pa] 
L i 
[m] 
ni [N] Ni [N] ni.Ni.Li/E.Ai [m] 
AB 0,005 2E+11 3 0 0 0 
BC 0,005 2E+11 3 0,375 75 8,4375E-08 
CD 0,005 2E+11 3 0,75 112,5 2,53125E-07 
DE 0,005 2E+11 3 0,75 75 1,6875E-07 
EF 0,005 2E+11 3 0,375 37,5 4,21875E-08 
FG 0,005 2E+11 3 0 0 0 
GH 0,005 2E+11 4 -0,5 -50 0,0000001 
HI 0,005 2E+11 3 -0,375 -37,5 4,21875E-08 
IJ 0,005 2E+11 3 -0,75 -75 1,6875E-07 
JK 0,005 2E+11 3 -1,125 -112,5 3,79688E-07 
KL 0,005 2E+11 3 -1,125 -112,5 3,79688E-07 
LM 0,005 2E+11 3 -0,75 -112,5 2,53125E-07 
MN 0,005 2E+11 3 -0,375 -75 8,4375E-08 
AN 0,005 2E+11 4 -0,5 -100 0,0000002 
BN 0,005 2E+11 5 0,625 125 3,90625E-07 
BM 0,005 2E+11 4 -0,5 -100 0,0000002 
CM 0,005 2E+11 5 0,625 62,5 1,95313E-07 
CL 0,005 2E+11 4 -0,5 -50 0,0000001 
DL 0,005 2E+11 5 0,625 0 0 
DK 0,005 2E+11 4 0 -50 0 
DJ 0,005 2E+11 5 0,625 62,5 1,95313E-07 
EJ 0,005 2E+11 4 -0,5 -37,5 0,000000075 
EI 0,005 2E+11 5 0,625 62,5 1,95313E-07 
FI 0,005 2E+11 4 -0,5 -50 0,0000001 
FH 0,005 2E+11 5 1,875 62,5 5,85938E-07 
 ∑ 4,19375E-06 
 
Pelo teorema de trabalhos virtuais para treliças (Equação 6) obtemos 
como deformação no ponto D o valor de 
.1019375,4 6 m 
O fato de termos encontrado um valor positivo indica que a deformação 
ocorre no mesmo sentido da carga unitária aplicada, ou seja, para baixo. 
 
1KN 
G A 
θ 
θ 
23 
 
Teorema de Castigliano 
Alberto Castigliano, em 1879 criou um método capaz de determinar a 
inclinação e o deslocamento de dado ponto em um corpo (tendo este 
temperatura constante e seu material possuindo comportamento linear-
elástico). O método afirma que o deslocamento de um dado ponto é igual à 
primeira derivada parcial da energia de deformação, em relação a um momento 
que atua sobre o ponto e na direção do ângulo da inclinação (Equação 1). 
j
i
i
P
U



 (1) 
Para que possamos deduzir o referente teorema, consideraremos um 
corpo qualquer que está sujeito a uma série de n forças P1, P2. . .Pn. e 
consideramos que há conservação de energia no corpo (Equação 2). 
ie UU 
 (2) 
No entanto, sabe-se que nesse caso o trabalho externo é função das 
cargas externas (Equação 3). Analogamente, o trabalho interno também será 
função das forças externas (Equação 4). 
 PdxU e
 (3) 
),...,,( 21 nei PPPfUU 
 (4) 
Se qualquer uma das forças, Pj por exemplo, aumentar uma 
quantidade infinitesimal dPj, consequentemente o trabalho também aumentará, 
transformando a equação da energia escrita aseguir (Equação 5): 
j
j
i
iii dP
P
U
UdUU



 (5) 
Esse valor independe da sequência na qual as n forças são aplicadas 
ao corpo. A partir de um equacionamento, assim como o que será mostrado a 
seguir, pode-se comprovar tal afirmação. 
 
24 
 
1. Primeiramente consideraremos a equação de energia de 
deformação: 
 
 Considerando a área triangular que é equivalente a energia de 
deformação, U será então: 
nnn PU 
2
1 (6) 
2. Calcular inicialmente a energia de deformação U de P1 e P2, 
lembrando que: 
12111 
 (7) 
2121111 PP  
 (8) 
 Sendo assim, analogamente: 
21222 
 
1212222 PP  
 
 Relacionando P1 e P2 na Eq. 6 temos: 
121222111
2
1
2
1
 PPPU
 (9) 
 Substituindo a Eq.8 na Eq. 9: 
212122221111
2
1
2
1
PPPPPPU   
122122
2
211
2
1
2
1
2
1  PPPPU 
 (10) 
 Lembrando da Eq. 5, podemos considerar que: 
0
1
2
3
0 1 2 3
P
∆
Energia de Deformação
25 
 
212111
1
PP
P
U  

 (11) 
 Observamos então a igualdade entre as Equações 7, 8 e 11, temos: 
11211
1



P
U (12) 
 Analogamente, se considerarmos a sequência P2 e P1 ao invés de P1 e 
P2, temos então: 
122111222
2
1
2
1
PPPPU 
 
212111
2
122
2
2
2
1
2
1  PPPPU 
 
22122121222
1



PP
P
U 
 
 Logo, conclui-se que: 
i
iP
U


 (13) 
 Obtendo a Eq. 13 comprovamos o teorema. 
 
26 
 
Teorema de Castigliano para vigas 
 A energia de deformação interna de uma viga é provocada pela flexão e 
pelo cisalhamento. No entanto, como a viga em questão é longa e esbelta, o 
cisalhamento acaba sendo desprezível. Sendo assim, a deformação interna da 
viga é dada pela Eq. 14. Substituindo a Eq. 14 na Eq.15, temos a Eq. 16. 
dx
EI
xM
U
L
 0
2 )(
2
1 (14) 
P
U



 (15) 
dx
P
xM
EI
xM
L



 
)()(
2
2
1
0
 (16) 
Onde: 
∆ = deslocamento do ponto provocado pelas cargas reais que atuam 
sobre a viga; 
P = força externa de intensidade variável aplicada à viga na direção de 
∆; 
M = momento interno da viga, expresso em função de x e provocado 
tanto pela força P quanto pelas cargas sobre a viga; 
E = módulo de elasticidade do material; 
I = momento de inércia da área da seção transversal calculado em 
torno do eixo neutro. 
 Para calcular a inclinação da tangente de certo ponto da linha elástica, 
usa-se a relação que diz que a mesma é igual à derivada parcial do momento 
interno M. Dessa maneira, obtivemos a Eq.17. 
dx
M
xM
EI
xM
L





  '
)()(
0

 (17) 
27 
 
Exemplo de aplicação do Teorema de Castigliano 
Para a viga mostrada na figura abaixo, determinar através do Teorema 
de Castigliano o deslocamento vertical do ponto C. Considerar 
49102 mmI 
e 
GPaE 200 . 
 
 
Utilizando as condições de equilíbrio 
0
A
ZM
, 
0
B
ZM
 e 
0 yF
, 
calculamos as reações descritas abaixo: 
NBy 1000
 
NAy 800 
Através do método das seções obtemos a equação do momento em x 
para a viga em análise. 
 
 
3262002200800)( 32  xxxxM
 
950100800)( 32 xxxxM  
 
 
Aplicamos a carga P no ponto C: 
B A C 
400N/m 
200N/m 
3m 3m 
B A C 
400N/m 
200N/m 
S1 
28 
 
 
Da mesma maneira, encontramos a equação do momento em x para o 
novo carregamento. 
 
950100800)( 32 xxxxM 
 
 
)3(950100800)( 32  xPxxxxM
 
 Derivando a equação acima parcialmente em relação a P: 
mx
P
M



)3( 
Para P=0: 
B A 
C 
P 
400N/m 
200N/m 
B A 
C 
P 
400N/m 
200N/m 
B A 
C 
P 
400N/m 
200N/m 
S1 
S2 
29 
 
950100800)( 32 xxxxM  
Considerando 
49102 mmI 
e 
GPaE 200
, temos: 
2943
2
9
10.4,010.2
10.200
Nmm
m
N
EI  
 
Com os dados obtidos, aplicamos a equação descrita a seguir para 
acharmos a deflexão no ponto especificado. 






L
dx
EI
mxM
P
U
0
)( 
  








6
0
3
2
9
.3
9
50
100800
10.4,0
1
dxx
x
xx
 
 








6
0
3
2
4
32
9 3
50
3002400
9
50
100800
10.4,0
1
dx
x
xx
x
xx
 
 








6
0
3
2
4
9 3
250
11002400
9
50
10.4,0
1
dx
x
xx
x 
6
0
2
345
9
1200
3
1100
6
125
9
10
10.4,0
1








 x
xxx
 
Encontramos então, um deslocamento no ponto C igual a 
m710.9  . 
 
30 
 
Conclusão 
Concluímos que o método dos trabalhos virtuais e o método do 
Teorema de Castigliano fornecem de maneira simples os valores de deflexões 
pontuais em treliças e vigas respectivamente. Após a aplicação dos mesmos 
percebemos que sua execução é fácil e intuitiva, porém trabalhosa se forem 
necessárias deflexões em vários pontos. Por este e outros motivos 
consideramos os métodos empregados mais simples e de resolução mais 
rápida que outros semelhantes utilizados para os mesmos fins.