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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Alexandre Antunes CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I CONTEÚDO DESTA AULA Técnicas de Integração Integral definida e Cálculo de Áreas Cálculo de Volumes Comprimento de Curva CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração por procedimentos algébricos e substituição: E quando nos utilizamos de manipulações algébricas para reescrever o Integrando, transformando-os numa integral que sabemos encontrar a solução. Integração por partes: Utilizada para integrar algumas funções em que o integrando está na forma de produto. Integração por frações parciais: Utilizada quando o integrando é uma função racional, ou seja, uma razão de polinômios. Esse método (frações parciais) baseia- se no fato de que qualquer função racional pode ser escrita como a soma de funções básicas. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração por procedimentos algébricos e Substituição Exercício 1: Resolva a integral 4𝑥 − 8 𝑥2 − 8𝑥 𝑑𝑥 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração por procedimentos algébricos e substituição Exercício 1: Resolva a integral 4𝑥 − 8 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 Note que 4𝑥 − 8 = 2 2𝑥 − 4 E, chamando 𝑢 = 𝑥2 − 4𝑥 Temos que 𝑑𝑢 = 2𝑥 − 4 𝑑𝑥 Além disso, observe que podemos reescrever a integral 4𝑥 − 8 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 2. (2𝑥 − 4) 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 2. 1 𝑥2 − 4𝑥 . (2𝑥 − 4)𝑑𝑥 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração por procedimentos algébricos e substituição Exercício 1: Resolva a integral 4𝑥 − 8 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 Note que 4𝑥 − 8 = 2 2𝑥 − 4 E, chamando 𝑢 = 𝑥2 − 4𝑥 Temos que 𝑑𝑢 = 2𝑥 − 4 𝑑𝑥 Além disso, observe que podemos reescrever a integral 4𝑥 − 8 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 2. (2𝑥 − 4) 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 2. 1 𝑥2 − 4𝑥 . (2𝑥 − 4)𝑑𝑥 Dessa forma, 4𝑥 − 8 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 2. 1 𝑥2 − 4𝑥 . (2𝑥 − 4) 𝑑𝑥 = 2. 1 𝑢 𝑑𝑢 = 2. ln 𝑢 = 2. ln 𝑥2 − 4𝑥 + 𝐶 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração Integração por partes Sendo 𝑢 = 𝑢 𝑥 e d𝑣 = 𝑣′ 𝑥 𝑑𝑥, temos que 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 e 𝑣 = 𝑣 𝑥 . Além disso, considerando que a constante genérica 𝐶 , já está implícita na última integral, podemos escrever, de forma mais simplificada 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 Que é a fórmula de integração por partes. Podemos dizer que, nesta técnica, a ideia é transformar a expressão 𝑢 𝑑𝑣 numa outra que contenha 𝑣 𝑑𝑢, sendo está última de mais fácil solução, ou seja, menos complicada que a integral original. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração Integração por partes Exercício 2: Resolva a integral 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 Chamando 𝑢 = 𝑥 E 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 Temos que 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑒 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Agora, observe que podemos reescrever a integral 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração Integração por partes Exercício 2: Resolva a integral 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 Chamando 𝑢 = 𝑥 E 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 Temos que 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑒 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Agora, observe que podemos reescrever a integral 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 Dessa forma, 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ⟹ 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 De forma direta, temos que: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −cos𝑥 + 𝐶 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Exercício 3: Resolva a integral 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 Precisaremos relembrar e usar: 1 + 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 ⇒ 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 − 1 sec 𝑡 > 0, 𝑠𝑒 − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 𝑓 𝑥 = sec 𝑡 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 = sec2 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 Agora, observe que podemos reescrever a integral 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 + 2𝑥 2 𝑑𝑥 Perceba que a mudança de variável 2𝑥 = 𝑡𝑔 𝑡, − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 Elimina a raiz do integrando, com 2𝑑𝑥 = sec2 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 1 2 . sec2 𝑡 𝑑𝑡 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Exercício 3: Resolva a integral 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 Agora, observe que podemos reescrever a integral 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 + 2𝑥 2 𝑑𝑥 Dessa forma, 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑡 . 1 2 . sec2 𝑡 𝑑𝑡 = 1 2 . sec2 𝑡 sec2 𝑡 𝑑𝑡 = 1 2 . | sec 𝑡|. sec2 𝑡 𝑑𝑡 Perceba que a mudança de variável 2𝑥 = 𝑡𝑔 𝑡, − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 Elimina a raiz do integrando, com 2𝑑𝑥 = sec2 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 1 2 . sec2 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2 . sec3 𝑡 𝑑𝑡 (𝐼) Precisaremos relembrar e usar: 1 + 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 ⇒ 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 − 1 sec 𝑡 > 0, 𝑠𝑒 − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 𝑓 𝑥 = sec 𝑡 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 = sec2 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Exercício 3: Resolva a integral 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 Até agora, sabemos que 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2 . sec3 𝑡 𝑑𝑡 (𝐼) 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 Dessa forma, sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 .sec2 𝑡 𝑑𝑡 𝑢 = sec 𝑡 𝑑𝑣 = sec2 𝑡 𝑑𝑡 Perceba que a mudança de variável 2𝑥 = 𝑡𝑔 𝑡, − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 Elimina a raiz do integrando, com 2𝑑𝑥 = sec2 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 1 2 . sec2 𝑡 𝑑𝑡 Precisaremos relembrar e usar: 1 + 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 ⇒ 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 − 1 sec 𝑡 > 0, 𝑠𝑒 − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 𝑓 𝑥 = sec 𝑡 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 = sec2 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 − 𝑡𝑔 𝑡 . sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 dt ⇒ sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 − sec 𝑡 . 𝑡𝑔2 𝑡 dt (𝐼𝐼) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Exercício 3: Resolva a integral 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 Até agora, sabemos que 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2 . sec3 𝑡 𝑑𝑡 𝐼 sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 − sec 𝑡 . 𝑡𝑔2 𝑡 dt (II) Note que, sec 𝑡 . 𝑡𝑔2 𝑡 = sec 𝑡 . sec2 𝑡 − 1 = sec3 𝑡 − sec 𝑡 (𝐼𝐼𝐼) Perceba que a mudança de variável 2𝑥 = 𝑡𝑔 𝑡, − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 Elimina a raiz do integrando, com 2𝑑𝑥 = sec2 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 1 2 . sec2 𝑡 𝑑𝑡 Precisaremos relembrar e usar: 1 + 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 ⇒ 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 − 1 sec 𝑡 > 0, 𝑠𝑒 − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 𝑓 𝑥 = sec 𝑡 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 = sec2 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 − sec3 𝑡 − sec 𝑡 dt = sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 − sec3 𝑡 dt + sec 𝑡 dt (IV) E substituindo (III) em (II), temos: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Exercício 3: Resolva a integral 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 Até agora, sabemos que 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2 . sec3 𝑡 𝑑𝑡 𝐼 Perceba que a mudança de variável 2𝑥 = 𝑡𝑔 𝑡, − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 Elimina a raiz do integrando, com 2𝑑𝑥 = sec2 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 1 2 . sec2 𝑡 𝑑𝑡 Precisaremos relembrar e usar: 1 + 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 ⇒ 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 − 1 sec 𝑡 > 0, 𝑠𝑒 − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 𝑓 𝑥 = sec 𝑡 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 = sec2 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 − sec3 𝑡 dt + sec 𝑡 dt (IV) 2. sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 + ln | sec 𝑡 +𝑡𝑔 𝑡| sec3 𝑡 𝑑𝑡 = 1 2 . sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 + ln | sec 𝑡 + 𝑡𝑔 𝑡| (𝑉) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Exercício 3: Resolva a integral 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 Até agora, sabemos que 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2 . sec3 𝑡 𝑑𝑡 𝐼 Perceba que a mudança de variável 2𝑥 = 𝑡𝑔 𝑡, − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 Elimina a raiz do integrando, com 2𝑑𝑥 = sec2 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 1 2 . sec2 𝑡 𝑑𝑡 Precisaremos relembrar e usar: 1 + 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 ⇒ 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 − 1 sec 𝑡 > 0, 𝑠𝑒 − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 𝑓 𝑥 = sec 𝑡 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 = sec2 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 − sec3 𝑡 dt + sec 𝑡 dt (IV) 2. sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 + ln | sec 𝑡 + 𝑡𝑔 𝑡| sec3 𝑡 𝑑𝑡 = 1 2 . sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 + ln | sec 𝑡 + 𝑡𝑔 𝑡| (𝑉) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Exercício 3: Resolva a integral 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2 . sec3 𝑡 𝑑𝑡 𝐼 𝑒 sec3 𝑡 𝑑𝑡 = 1 2 . sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 + ln | sec 𝑡 + 𝑡𝑔 𝑡| (𝑉) 2𝑥 = 𝑡𝑔 𝑡, − 𝜋 2 < 𝑡 < 𝜋 2 Para fechar: 1 + 𝑡𝑔2𝑡 = sec2 𝑡 ⇒ sec 𝑡 = 1 + 𝑡𝑔2𝑡 Substituindo (V) em (I), temos: 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2 . 1 2 . sec 𝑡 . 𝑡𝑔 𝑡 + ln | sec 𝑡 + 𝑡𝑔 𝑡| 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 4 . 1 + 𝑡𝑔2𝑡. 𝑡𝑔 𝑡 + ln | 1 + 𝑡𝑔2𝑡 + 𝑡𝑔 𝑡| 1 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 1 4 . 1 + 4𝑥2. 2𝑥 + ln | 1 + 4𝑥2 + 2𝑥| CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração por frações parciais Exercício 4: Resolva a integral 1 𝑥2 − 4 𝑑𝑥 1 𝑥2 − 4 = 1 𝑥 + 2 . (𝑥 − 2) = 𝐴 𝑥 + 2 + 𝐵 𝑥 − 2 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵(𝑥 + 2) 𝑥 + 2 . (𝑥 − 2) ⇒ 1 𝑥2 − 4 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵(𝑥 + 2) 𝑥 + 2 . (𝑥 − 2) 𝐴𝑥 − 2𝐴 + 𝐵𝑥 + 2𝐵 = 1 ⇒ 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 2𝐵 − 2𝐴 = 0𝑥 + 1 𝐴 + 𝐵 = 0 2𝐵 − 2𝐴 = 1 𝐴 + 𝐵 = 0 2𝐵 − 2𝐴 = 1 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐵 − 𝐴 = 1 2 + 2𝐵 = 1 2 ⇒ 𝐵 = 1 4 e, portanto, A = − 1 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração por frações parciais Exercício 4: Resolva a integral 1 𝑥2 − 4 𝑑𝑥 = − 1 4 𝑥 + 2 + 1 4 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = − 1 4 1 𝑥 + 2 𝑑𝑥 + 1 4 1 𝑥 − 2 𝑑𝑥 1 𝑥2 − 4 = 1 𝑥 + 2 . (𝑥 − 2) = 𝐴 𝑥 + 2 + 𝐵 𝑥 − 2 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵(𝑥 + 2) 𝑥 + 2 . (𝑥 − 2) ⇒ 1 𝑥2 − 4 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵(𝑥 + 2) 𝑥 + 2 . (𝑥 − 2) 𝐴𝑥 − 2𝐴 + 𝐵𝑥 + 2𝐵 = 1 ⇒ 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 2𝐵 − 2𝐴 = 0𝑥 + 1 𝐴 + 𝐵 = 0 2𝐵 − 2𝐴 = 1 𝐴 + 𝐵 = 0 2𝐵 − 2𝐴 = 1 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐵 − 𝐴 = 1 2 + 2𝐵 = 1 2 ⇒ 𝐵 = 1 4 e, portanto, A = − 1 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Técnicas de Integração Integração por frações parciais Exercício 4: Resolva a integral 1 𝑥2 − 4 𝑑𝑥 = − 1 4 𝑥 + 2 + 1 4 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = − 1 4 1 𝑥 + 2 𝑑𝑥 + 1 4 1 𝑥 − 2 𝑑𝑥 1 𝑥2 − 4 𝑑𝑥 = − 1 4 1 𝑥 + 2 𝑑𝑥 + 1 4 1 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 1 4 . ln x − 2 − ln x + 2 + ln C 1 𝑥2 − 4 𝑑𝑥 = 1 4 . ln x − 2 x + 2 + ln C 1 𝑥2 − 4 𝑑𝑥 = 1 4 . ln C. x − 2 x + 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integral definida e Cálculo de Áreas Definição: Se 𝑓(𝑥) é uma função definida no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 , então a integral definida de 𝑓(𝑥), de 𝑎 até 𝑏, denotada por 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥, é dada por 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = lim ∆ → 0 𝑓 ξ𝑖 ∆𝑖𝑥 𝑛 𝑖=1 Se o limite existir. 𝑏 é o limite superior de integração 𝑎 é o limite inferior de integração 𝑓(𝑥) é o integrando ∆ Partição ∆ Norma da partição ξ𝑖 um ponto qualquer do i-ésimo intervalo ∆𝑖𝑥 = ,𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integral definida e Cálculo de Áreas Definição: Se 𝑓(𝑥) é uma função definida no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 , então a integral definida de 𝑓(𝑥), de 𝑎 até 𝑏, denotada por 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥, é dada por 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = lim ∆ → 0 𝑓 ξ𝑖 ∆𝑖𝑥 𝑛 𝑖=1 = A Se o limite existir. Onde 𝑨 é a área da região 𝑹, abaixo do gráfico (ou curva) definida pela função 𝒇(𝒙). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integral definida e Cálculo de Áreas Exercício 5: Encontre o valor exato da área sob o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 em ,−3, 3-. Solução: a área da região 𝑹 sob o gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, entre 𝒂 = −𝟑 e 𝒃 = 𝟑 é dada pela integral de f(x) nesse intervalo. Para resolver essa questão usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑎 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝐴 = 𝑥2 3 −3 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 −3 3 = 33 3 − − 33 3 = 9 + 9 = 18 𝑢. 𝑎. Avaliando o valor da área considerando todo o intervalo ,−3, 3-: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integral definida e Cálculo de Áreas Exercício 5: Encontre o valor exato da área sob o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 em ,−3, 3-. Solução: a área da região 𝑹 sob o gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, entre 𝒂 = −𝟑 e 𝒃 = 𝟑 é dada pela integral de f(x) nesse intervalo. Para resolver essa questão usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑎 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝐴 = 2. 𝑥2 3 0 𝑑𝑥 = 2. 𝑥3 3 0 3 = 2. 33 3 − 0 = 2.9 = 18 𝑢. 𝑎. Avaliando o valor da área considerando apenas o intervalo ,0, 3-: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integral definida e Cálculo de Áreas Exercício 6: Encontre o valor exato da área sob o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e pelas retas 𝑥 = 0 e 𝑥 = 5. 𝐴 = 𝐴2 − 𝐴1 𝐴 = 𝑥 − 2 5 2 𝑑𝑥 − 𝑥 − 2 2 0 𝑑𝑥 𝐴 = 𝑥2 2 − 2𝑥 2 5 − 𝑥2 2 − 2𝑥 0 2 𝐴 = 52 2 − 2.5 − 22 2 − 2.2 − 22 2 − 2.2 − 0 𝐴 = 25 2 − 10 − 2 − 4 − 2 − 4 𝐴 = 5 2 + 2 + 2 = 9 2 + 2 = 13 2 𝑢. 𝑎. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integral definida e Cálculo de Áreas Exercício 7: Encontre o valor exato da área sob o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 em ,0, 2𝜋-. 𝑨 = 𝑨𝟏 − 𝑨𝟐, 𝟎, 𝟐𝝅 ou 𝐀 = 𝟐.𝐀𝟏, 𝟎, 𝝅 ou 𝐀 = −𝟐. 𝐀𝟐, ,𝝅, 𝟐𝝅- A = 2. A1, 0, 𝜋 A = 2. A1 = 2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 = 2. − cos 𝑥 0 𝜋 A = −2. cos 𝑥 0 𝜋 = −2. −1 − 1 = 4 A = 4 𝑢. 𝑎. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes Método do Disco Circular Definição: Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo fechado ,𝑎, 𝑏- e admitamos que 𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 em ,𝑎, 𝑏-. Se 𝑆 for o sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo 𝑥, da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , o eixo 𝒙 e as retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 e se 𝑉 for o número de unidades cúbicas no volume de 𝑆, então 𝑽 = 𝝅. 𝒇 𝒙 𝟐 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 Dica: Utilizado quando o eixo de rotação (revolução) é parte da fronteira da área. Analogamente, se o eixo de rotação (revolução) for o eixo 𝒚, temos: 𝑽 = 𝝅. 𝒇 𝒚 𝟐 𝒅 𝒄 𝒅𝒙 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes Método do Disco Circular Exercício 8: Considere a função definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 em 0, 6 , determine o volume do sólido de revolução nesse intervalo em 𝑥. 𝑽 = 𝝅. 𝒇 𝒙 𝟐 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 = 𝜋. 𝑥 + 1 2 6 0 𝑑𝑥 = 𝜋. 𝑥 + 1 3 3 0 6 𝑉 = 𝜋. 𝑥 + 1 3 3 0 6 = 𝜋. 7 3 3 − 1 3 3 = 𝜋. 343 − 1 3 =𝜋. 342 3 𝑉 = 114. 𝜋 𝑢. 𝑣. E se a rotação (revolução) fosse nesse intervalo, mas em relação ao eixo y? CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes Método do Disco Circular Exercício 9: Considere a função definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 em 0, 6 , determine o volume do sólido de revolução nesse intervalo em 𝑦. 𝑽 = 𝝅. 𝒈 𝒚 𝟐 𝒅 𝒄 𝒅𝒚 = 𝜋. 𝑦 − 1 2 7 1 𝑑𝑥 = 𝜋. 𝑦 − 1 3 3 1 7 𝑉 = 𝜋. 𝑦 − 1 3 3 1 7 = 𝜋. 6 3 3 − 0 3 3 = 𝜋. 216 3 ⇒ 𝑣 = 72. 𝜋 𝑢. 𝑣. E se a rotação (revolução) fosse nesse intervalo, mas em relação ao eixo y? De 𝑦 = 𝑥 + 1 podemos escrever 𝑥 = 𝑦 − 1, que é uma 𝑔 𝑦 = 𝑦 − 1, com 𝑦 ∈ ,1, 7-. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes Método do Anel Circular (Arruela) Definição: Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas no intervalo fechado ,𝑎, 𝑏- e admitamos que 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 em ,𝑎, 𝑏-. Então, se 𝑉 unidades cúbicas é o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo 𝑥, da região limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑓 𝑥 e 𝑦 = 𝑔 𝑥 e as retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, 𝑽 = 𝝅. * 𝒇 𝒙 𝟐 𝒃 𝒂 − 𝒈 𝒙 𝟐+ 𝒅𝒙 Dica: Utilizado quando o eixo de rotação (revolução) NÃO faz parte da fronteira da área. Analogamente, se o eixo de rotação (revolução) for o eixo 𝒚, temos: 𝑽 = 𝝅. * 𝒇 𝒚 𝟐 𝒅 𝒄 − 𝒈 𝒚 𝟐+ 𝒅𝒚 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes Método do Anel Circular (Arruela) Exercício 10: Considere a função definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3 em −1, 3 , determine o volume do sólido de revolução nesse intervalo em 𝑥. 𝑽 = 𝝅. * 𝒇 𝒙 𝟐 𝒃 𝒂 − 𝒈 𝒙 𝟐+ 𝒅𝒙 = 𝜋. * 𝑥 + 5 2 3 −1 − 𝑥 + 3 2+ 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋. 𝑥 + 5 2 3 −1 𝑑𝑥 − 𝑥 + 3 2 3 −1 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋. 𝑥 + 5 3 3 −1 3 − 𝑥 + 3 3 3 −1 3 = 𝜋. 83 3 − 43 3 − 63 3 − 23 3 𝑉 = 𝜋. 512 − 64 3 − 216 − 8 3 = 𝜋. 448 3 − 208 3 = 240 3 . 𝜋 𝑉 = 80. 𝜋 𝑢. 𝑣. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes Método do Anel Circular (Arruela) Exercício 10: Considere a função definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3 em −1, 3 , determine o volume do sólido de revolução nesse intervalo em 𝑥. 𝑽 = 𝝅. * 𝒇 𝒙 𝟐 𝒃 𝒂 − 𝒈 𝒙 𝟐+ 𝒅𝒙 = 𝜋. * 𝑥 + 5 2 3 −1 − 𝑥 + 3 2+ 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋. 𝑥 + 5 2 3 −1 𝑑𝑥 − 𝑥 + 3 2 3 −1 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋. 𝑥 + 5 3 3 −1 3 − 𝑥 + 3 3 3 −1 3 = 𝜋. 83 3 − 43 3 − 63 3 − 23 3 𝑉 = 𝜋. 512 − 64 3 − 216 − 8 3 = 𝜋. 448 3 − 208 3 = 240 3 . 𝜋 𝑉 = 80. 𝜋 𝑢. 𝑣. Tente resolver esse exercício com a revolução em torno da reta 𝑥 = −1, ou seja, rotação na horizontal. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes Método do invólucro cilíndrico (ou da casca) Definição: Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo fechado ,𝑎, 𝑏-, onde 𝑎 ≥ 0. Admitamos que 𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 em ,𝑎, 𝑏-. Se 𝑅 for a região limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑓 𝑥 , o eixo 𝑥 e as retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, se 𝑆 for o sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo 𝑦, e se 𝑉 for o número de unidades cúbicas no volume de 𝑆, então 𝑽 = 𝟐𝝅. 𝒙. 𝒇 𝒙 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 Dica: Neste método define-se uma casca de espessura dx (ou dy) para a revolução (rotação) em torno do eixo y (ou x), determina o volume da casca e integra-se. Analogamente, se o eixo de rotação (revolução) for o eixo 𝒚, temos: 𝑽 = 𝟐𝝅. 𝒚. 𝒇 𝒚 𝒅 𝒄 𝒅𝒚 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes Método do invólucro cilíndrico (ou da casca) Exercício 11: A região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2, o eixo 𝑥 e a reta 𝑥 = 3 sofre uma rotação em torno do eixo dos 𝑦. Encontre o volume do sólido gerado. Solução: Aplicando a expressão de volume 𝑽 = 𝟐𝝅. 𝒙. 𝒇 𝒙 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 = 2𝜋. 𝑥. 𝑥2 3 0 𝑑𝑥 = 2𝜋. 𝑥3 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 2𝜋. 𝑥4 4 0 3 𝑽 = 2𝜋. 34 4 − 0 = 2. 𝜋. 81 4 ⇒ 𝑽 = 𝟖𝟏 𝟐 .𝝅 𝒖. 𝒗. Observe que esse problema pode ser resolvido pelo método do disco circular CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes Método do invólucro cilíndrico (ou da casca) Exercício 11: A região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2, o eixo 𝑥 e a reta 𝑥 = 3 sofre uma rotação em torno do eixo dos 𝑦. Encontre o volume do sólido gerado. Solução: pelo método do disco circular 𝑽 = 𝝅. ,𝒇 𝒚 -𝟐 𝒅 𝒄 𝒅𝒙 = 𝜋. 𝑦 2 9 0 𝑑𝑦 = 𝜋. 𝑦 9 0 𝑑𝑦 = 𝜋. 𝑦2 2 0 9 𝑽 = 𝜋. 92 2 − 0 = 𝜋. 81 2 ⇒ 𝑽 = 𝟖𝟏 𝟐 . 𝝅 𝒖.𝒗. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Comprimento de curva (ou arco) Teorema: Se a função 𝑓(𝑥) e sua derivada 𝑓′(𝑥) são contínuas no intervalo fechado ,𝑎, 𝑏-, então, o comprimento da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) do ponto (𝑎 , 𝑓 𝑎 ) ao ponto (𝑏, 𝑓 𝑏 ) é dado por 𝐿 = 1 + 𝑓′ 𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Teorema: Se a função 𝑔(𝑦) e sua derivada 𝑔′(𝑦) são contínuas no intervalo fechado ,𝑐, 𝑑-, então, o comprimento da curva 𝑥 = 𝑔(𝑦) do ponto (𝑔(𝑐) , 𝑐) ao ponto (𝑔(𝑑), 𝑑) é dado por 𝐿 = 1 + 𝑔′ 𝑦 2 𝑑 𝑐 𝑑𝑦 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Comprimento de Curva Exercício 2: Determinar o comprimento de arco da curva 𝑦 = 𝑥 2 + 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3. 𝑦′ = 1 2 𝐿 = 1 + 𝑓′ 𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 1 + 1 2 23 0 𝑑𝑥 = 1 + 1 4 3 0 𝑑𝑥 = 5 4 3 0 𝑑𝑥 𝐿 = 5 2 1 3 0 𝑑𝑥 = 5 2 𝑥 0 3 = 5 2 3 − 0 ⇒ 𝐿 = 3 5 2 u. c. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Comprimento de Curva Exercício 2: Determinar o comprimento de arco da curva 𝑦 = 𝑥 2 + 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3. De outra forma, temos 𝑥 2 = 𝑦 − 1 ⇒ 𝑥 = 2. (𝑦 − 1) ⇒ 𝑥 = 2𝑦 − 2 𝑔 𝑦 = 2𝑦 − 2, 𝑐𝑜𝑚 1 ≤ 𝑦 ≤ 5 2 𝑔′ = 2 𝐿 = 1 + 𝑔′ 𝑦 2 5 2 1 𝑑𝑦 = 1 + (2)2 5 2 1 𝑑𝑦 𝐿 = 5 5 2 1 𝑑𝑦 = 5 1 5 2 1 𝑑𝑦 = 5 2 𝑦 1 5 2 L = 5 5 2 − 1 ⇒ 𝐿 = 3 5 2 u. c. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
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