1241352 trabalho 1 Fundamentos de Álgebra Linear 2017 2 Civil manhã

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Trabalho 1 de Fundamentos de A´lgebra Linear
(Engenharia Civil)
Professor: Luiz Ota´vio - 2017/2
Leia atentamente as instruc¸o˜es:
• O trabalho podera´ ser feito individualmente ou em grupos de ate´ 4 alunos.
• A entrega devera´ ser feita pelo SGA em um arquivo u´nico no formato PDF (digitado,
digitalizado ou por foto). Sugesta˜o: utilize aplicativos no smartphone como CamScanner
dispon´ıveis gratuitamente na Internet. Ha´ tambe´m compressores de PDF online e gratuitos
como no link http://smallpdf.com/pt/compressor-de-pdf
• Na˜o entregue o trabalho em arquivos compactados: .zip, .rar, etc
• O prazo de entrega e´ 29/09/2017. Seja responsa´vel e evite imprevistos enviando com
antecedeˆncia, pois na˜o sera˜o aceitos trabalhos apo´s esta data.
• Valor: 10 pontos. Se algum dos itens anteriores na˜o forem atendidos, o trabalho
valera´, no ma´ximo, 2 pontos.
1) Resolva os sistemas lineares:
a)

x+ y + z = 10
2x− y − z = −4
3x+ 2y − 2z = 2
b)
{
x+ y + z = 10
2x− y − z = −4
c)

3x+ 2y + z = 6
x− 5y − 2z = −6
4x+ 2y − 2z = 4
d)

x− y + 2z = 0
−x− 5y − 2z = 0
7x+ 3y − 2z = 0
2) Explique por que, em geral, na˜o podemos escrever a igualdade de matrizes AB = BA
exibindo um contra-exemplo.
3) Fac¸a o que se pede:
a) Encontre a transposta e a inversa da matriz M =
 1 1 12 2 0
1 2 −2
.
b) Encontre a transposta e a inversa da matriz N =
 1 1 10 2 0
0 2 −2
.

c) Calcule (M t)t.
d) Calcule (N−1)−1.
e) Calcule M t.N t .
f) Calcule M−1N−1.
g) Calcule (NM)t.
h) Calcule: (NM)−1.
1
i) Calcule det(M) e det(N).
j) Calcule det(MN) e det(M).det(N).
k) Calcule det(M +N) e det(M) + det(N).
4) Seja A uma matriz quadrada qualquer. Justifique a seguinte equivaleˆncia matema´tica:
“A e´ invers´ıvel se, e somente se, det(A) 6= 0”.
Dica: Use que det(AB) = det(A)det(B) e que det(Id) = 1 para qualquer matriz identidade
Id.
5) Calcule o determinante das matrizes:
a)
[
1 2
−1 7
]
b)
 −3 0 01 2 0
1 7 −7

c)
 2 7 60 3 5
0 0 4

d)
 2 −1 13 3 2
5 5 4

e)

1 4 −1 4
2 4 2 4
1 1 1 2
4 3 3 1

f)

1 0 −1 1
2 2 2 1
1 1 4 2
4 3 5 0

g)

1 91 −17 87
0 21 52 45
0 0 2 pi
0 0 0 −1

6) Verifique quais das func¸o˜es abaixo sa˜o transformac¸o˜es lineares.
a) T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ y, y)
b) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (0, x+ y)
c) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (2x, 5y, 3z)
d) T : R2 → R2, T (x, y) = (x− y, 2)
e) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (0, 0, 0)
f) T : R2 → R2, T (x, y) = (x2, 0)
7) Pesquise uma aplicac¸a˜o para o uso de sistemas lineares na Engenharia Civil, citando a(s)
fonte(s) utilizada(s).
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