ENG - MN40 - lista01 - sistemas lineares_v03

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1 | P á g i n a 
LISTA 01 - CÁLCULO NUMERICO - PUC MINAS 
Aluno 01________________________________ Aluno 02 ______________________________ 
PUC MINAS - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
LISTA 01 
 
Disciplina: Método Numérico 
 
Instruções: 
 
• A lista deve ser realizada à mão usando os espaços deixado pelo professor nas 
folhas de respostas. Se não tiver como imprimir as folhas, o aluno pode usar 
folhas A4 ou de caderno SEM precisar de escrever os enunciados; 
• Essa lista pode ser realizada em DUPLA, com o nome dos DOIS alunos 
“escritos” no topo das folhas. Se quiser, o aluno pode fazer individualmente. 
• MESMO que tenha feito em DUPLA, cada aluno deve enviar a lista no SEU 
nome lá em TAREFA/TESTE lá no CANVAS. Caso o aluno não tenha enviado, 
ficará sem nota, MESMO que tenha feito DUPLA. 
• A lista deverá ser digitalizada (escaneada ou fotografada) e gerada um único 
arquivo no formato PDF antes de enviar pelo CANVAS. Há aplicativos de celular 
que fazem isto, por exemplo, Tiny Scanner, CamScanner e Office Lens. 
• Se o tamanho da lista escaneada ficar muito grande, há vários programas 
online que ajudam a reduzir o tamanho de arquivo PDF 
(smallpdf.com/pt/compressor-de-pdf). 
• Atividades entregue FORA de TAREFA/TESTE no CANVAS, não serão aceitas. Ou 
seja, atividades enviadas pelo SGA, por e-mail; por links de armazenamento em 
Nuvem ou pelo Correio na Caixa de Entrada do Canvas NÃO serão avaliadas; 
• Atividades ilegíveis ou impossibilitados de abrir, serão zeradas; 
• Bom aprendizado. 
 
 
 
2 | P á g i n a 
LISTA 01 - CÁLCULO NUMERICO - PUC MINAS 
Aluno 01________________________________ Aluno 02 ______________________________ 
Veja o que pode e o que não pode ao enviar o arquivo 
Assim não: digitado Assim não: com recortes 
 
Assim não: com recortes É assim que deve ser 
 
 
 
 
ATENÇÃO 
 
Toda as questões devem ser realizadas á mão, EXCETO aquelas onde esta escrito que 
pode fazer com alguma ferramenta computacional (Excel; Matlab; Scilab; Octave; 
VCN; www.wolframalpha.com ou outro indicado pelo professor em sala). 
 
Nocaso de usar a ferramenta tecnológica, basta “escrever” os resultados e se caso 
quiser enviar o que fou usado pode tirar print da tela do computador e colocar como 
anexo no final na lista 
 
http://www.wolframalpha.com/
 
 
3 | P á g i n a 
LISTA 01 - CÁLCULO NUMERICO - PUC MINAS 
Aluno 01________________________________ Aluno 02 ______________________________ 
QUESTÃO 1) Considerando o sistema linear a seguir 
{
2𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 + 4𝑥4 = 46
4𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 5𝑥4 = −21
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = 36
2𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 − 3𝑥4 = −3
 
 
Dê o vetor solução �̃� = [𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4]
𝑡 usando o método de escalonamento de Gauss (ou Gauss-
Jordan). maior número possível de casas. 
 
 
 
 
 
 
 
4 | P á g i n a 
LISTA 01 - CÁLCULO NUMERICO - PUC MINAS 
Aluno 01________________________________ Aluno 02 ______________________________ 
QUESTÃO 2) Suponho que o vetor �̃� = [𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4]
𝑡 é a solução apresentada para sistema linear 
abaixo, encontre o vetor resíduo �̃� = 𝑏 − 𝐴𝑋. Não precisa detalhar todos os cálculos. 
�̃� = [−4 2 0.5 − 3]𝑡 
{
+0.531𝑥1 +0.742𝑥2 −1.251𝑥3 −2.104𝑥4 = −5.10
+7.428𝑥1 −1.161𝑥2 +0.399𝑥3 +1.516𝑥4 = 13.31
+2.126𝑥1 +3.071𝑥2 +0.455𝑥3 −2.706𝑥4 = 1.55
−1.007𝑥1 +6.418𝑥2 −1.442𝑥3 +0.774𝑥4 = 16.77
 
 
 
 
 
 
5 | P á g i n a 
LISTA 01 - CÁLCULO NUMERICO - PUC MINAS 
Aluno 01________________________________ Aluno 02 ______________________________ 
QUESTÃO 3) Resolva o sistema abaixo usando o método de Jacobi-Richardson com solução inicial 
igual a 𝑥 = [0, 0, 0]𝑡. 
{
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = −4.1
𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 14.2
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 16.7
 
 
a) Mostre á mão os cálculos para as três primeiras iterações. 
b) Usando o Excel, continue até a 10ª iteração. Você acredita que os resultados estão 
convergindo para uma solução do sistema? 
c) Em alguns sistemas lineares é possível rearranjar as linhas e/ou colunas de forma que o 
critério de convergência para o método iterativo seja satisfeito. Faças as modificações 
necessárias no sistema linear acima e o resolva (usando o Excel) usando uma tolerância de 
0,001. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os próximos exercícios devem ser feitos usando alguma ferramenta computacional. 
 
 
6 | P á g i n a 
LISTA 01 - CÁLCULO NUMERICO - PUC MINAS 
Aluno 01________________________________ Aluno 02 ______________________________ 
QUESTÃO 4) Dê a solução do sistema linear a seguir usando o método prático que vimos em sala. 
{
+0.531𝑥1 +0.742𝑥2 −1.251𝑥3 −2.104𝑥4 = −5.10
+7.428𝑥1 −1.161𝑥2 +0.399𝑥3 +1.516𝑥4 = 13.31
+2.126𝑥1 +3.071𝑥2 +0.455𝑥3 −2.706𝑥4 = 1.55
−1.007𝑥1 +6.418𝑥2 −1.442𝑥3 +0.774𝑥4 = 16.77
 
 
 
Linha Multiplicador 
(m) 
A b Operações 
elementares 
1 m1 = - 13.9887 0.531 -5.10 -- 
2 7.428 13.31 -- 
3 1.55 -- 
4 0.774 16.77 -- 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
 
 
 
 
7 | P á g i n a 
LISTA 01 - CÁLCULO NUMERICO - PUC MINAS 
Aluno 01________________________________ Aluno 02 ______________________________ 
QUESTÃO 5) A função triangsup(), com comandos do Octave1, resolve um sistema linear 
triangular superior 4 x 4. 
function sol = triangsup(x,b) 
 % Resolucao de sistema triangular superior 4x4 
 % x = matriz com os coeficientes 
 % b = vetor dos termos independentes 
 % sol = vetor solucao 
 s(4) = b(4) / x(4,4); 
 s(3) = (b(3) - ( x(3,4:4) * s(4:4)' )) / x(3,3); 
 s(2) = (b(2) - ( x(2,3:4) * s(3:4)' )) / x(2,2); 
 s(1) = (b(1) - ( x(1,2:4) * s(2:4)' )) / x(1,1); 
 sol = s; 
endfunction 
 
OBS: O apostrofo (') usado acima é para transpor o vetor/matriz. Se você “copia” os comando acima e “colar” no 
Matlab/Octave/Scilab, costuma esse apóstrofo ((') e o sinal de menos (“-“) saírem errados e, nesse caso, o programa 
dá problemas. Nesse caso, basta digitar eles novamente dentro do programa usado. 
 
a) Abra o programa Octave e use a função triangsup() para obter a solução do sistema 
linear a seguir 
 
 {
2𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 + 𝑥4 = −2
8𝑥2 + 4𝑥3 + 6𝑥4 = 4
−𝑥3 + 3𝑥4 = 6
2𝑥4 = −4
 
 
% Entrada dos dados 
clc % limpa a tela 
clear % reinicializa as variáveis 
A = [2 3 6 1 ; 0 8 4 6 ; 0 0 -1 3 ; 0 0 0 2] 
B = [-2 ; 4 ; 6 ; -4] 
triangsup(A, B) 
 
b) Agora, você deverá fazer uma adaptação na função triangsup()para resolver o sistema 
linear abaixo com seis variáveis. 
 
 
{
 
 
 
 
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 = 34
7𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 6𝑥5 + 2𝑥6 = 69
4𝑥3 − 3𝑥4 − 4𝑥5 + 9𝑥6 = −23
𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 = 35
2𝑥5 − 6𝑥6 = −4
3𝑥6 = 12
 
 
 
1 Baixar em https://www.gnu.org/software/octave . Este programa é similar ao Scilab e Matlab. 
https://www.gnu.org/software/octave
 
 
8 | P á g i n a 
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QUESTÃO 6) Considere o sistema linear a seguir 
 
{
 
 
 
 
−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 + 3𝑥5 − 2𝑥6 = 8.32
4𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 0.5𝑥6 = 5.95
−8𝑥1 + 7𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 + 2.5𝑥5 − 3𝑥6 = 2.66
6𝑥1 − 7𝑥2 + 10𝑥3 + 8𝑥4 = 48.53
−𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 + 0.5𝑥5 + 1.5𝑥6 = −15.65
3𝑥3 + 5𝑥4 − 2𝑥5 + 4𝑥6 = −7.29
 
Resolve o sistema usando os seguintes comandos do Octave 
 
. A\b ou inv(A)*b para solução do sistema Ax = b; 
. rref() eliminação de Gauss da matriz aumentada [A b]. 
 
% Usando o Octave 
A = [-2 1 0 1 3 -2 ; 4 3 3 1 2 0.5 ; -8 7 9 5 2.5 -3 ; 6 -7 10 8 0 0 ; -1 2 -3 
1 0.5 1.5 ; 0 0 3 5 -2 4] ; 
b = [8.32 ; 5.95 ; 2.66 ; 48.53 ; -15.65 ; -7.29]; 
xs1 = A\b % x solucao do sistema linear Ax = b 
r = b - A*xs1 % residuo 
 
% Outra forma de obter a solucao de Ax = b 
xs2 = inv(A)*b % = (A^-1)*b 
 
% Outra forma de obter a solução de Ax = b 
M = [A b] % matriz aumentada deA e b juntas 
rref(M) % solucão na ultima coluna 
 
 
 
 
 
9 | P á g i n a 
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QUESTÃO 7) TRELIÇAS 
 
Uma treliça é uma estrutura resultante da combinações de diversas barras entrelaçadas. Em uma 
treliça planar as barras se conectam por nós. Considerando que um sistema estático, é possível 
calcular as tensões que ocorrem nas barras com base nas forças externas e de apoio sobre o sistema. 
As barras podem estar em estados de compressão ou tração, e as estimativas de tensões obtidas 
podem ser usadas para avaliar a eficácia da estrutura frente a esforços aplicados ao sistema. 
 
Para o cálculo das tensões considera-se que cada nó estático tem resultante de forças nulo. Ao 
analisar o sistema completo obtém-se geralmente um sistema linear com 2 vezes o números de nós, 
sendo que para cada nó consideramos duas equações resultante vertical nula e resultante 
horizontal nula. 
 
A figura abaixo é um exemplo de treliça com 4 nós, 5 barras, 1 apoio fixo (símbolo triangular com 
retângulo cinza abaixo) e 1 apoio vertical com movimento livre na horizontal (símbolo triangular 
com círculos abaixo) e uma força de 10KN no nó 3. 
 
(www.ime.usp.br/~map3121/2017/map3121/programas/EP1-trelica.pdf) 
 
 
 
 
 
http://www.ime.usp.br/~map3121/2017/map3121/programas/EP1-trelica.pdf
 
 
10 | P á g i n a 
LISTA 01 - CÁLCULO NUMERICO - PUC MINAS 
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As forças atuantes em cada nó estão mostradas na figura a seguir. As forças obliquas (f1 e f4) são 
substituídas pelas suas correspondentes componentes horizontais e verticais. 
 
 
 
Usando as leis da estática, verifica-se que em cada nós temos 2 equações: uma para o equilíbrio 
horizontal e outro para o equilíbrio vertical. Com isso, para esse exemplo, temos 8 equações, 
descritas conforme a tabela abaixo: 
 
 
 
onde 𝑓𝑖 indica a magnitude da tensão na barra 𝑖 (observe que o vetor de tensão dependerá da 
posição de cada nó e terá sentidos opostos para nós que se conectam por uma barra), e 𝐹𝑗 define 
uma força aplicada em algum nó do sistema. Tanto 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 5, quanto 𝐹𝑗 , 𝑗 = 1, 2, 3, são 
incógnitas do sistema linear com 8 equações e 8 incógnitas, com solução única. Tendo em vista que 
cada nó conecta apenas uma quantidade pequena de barras, em treliças grandes o sistema obtido 
é geralmente esparso (tem muito elementos nulos na matriz). 
 
 
 
 
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Com um pouco de manipulações reordenações nas equações é obtido o seguinte sistema linear 
 
 
 
a) Após essa breve ( ?? ) explicação, o objetivo é encontrar a solução do sistema linear acima 
usando o método de Gauss-Seidel com tolerância de 10-2. 
 
b) Quantas iterações foram necessárias no método acima? 
 
 
 
 
 
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Aluno 01________________________________ Aluno 02 ______________________________ 
Anexo 
 
(1) Comando do Octave para resolver um sistema linear 
HELP: octave.di.uminho.pt/index.php/Matrizes 
 
 
 
http://octave.di.uminho.pt/index.php/Matrizes
 
 
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RESPOSTAS 
 
Questão 1 
 
x = [3, 4, 2, 7]t 
 
 
Questão 2 
 
r = [-10.1465, 49.6925, -4.4335, 2.9490]t 
 
 
Questão 3 
 
a). x = [25.55, 49.825, 32.2]t 
b). x = [-50823.8, -35988.2, -81097.9]t 
c). x = [-0.800372, 5.000573, 2.500218]t 
 
 
Questão 4 
 
solução 
xs = [1.45642, 2.50095, 0.34581, 3.46790]t 
 
 
Questão 5 
a) xs = [24, 8, -12, -2]t 
b) xs =[1.25, 9.50, -3.50, 3.00, 5.00, 4.00]t 
Questão 6 
[0.48458 ; -3.66932 ; 2.65861 ; -0.83110 ; 4.11721 ; -0.71897] 
 
Questão 7