Lista2-GA

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Lista de Exercícios 2 
 
1) Seja 
2 3( )ijC c 
 a soma das matrizes 0 1 2
3 4 5
A
 
  
 
 e 6 7 8
9 10 11
B
 
  
 
. Encontre a matriz 
X
 tal que 
3 2X A B C  
. 
 
2) Considere as matrizes 
4 7( )ijA a 
, tal que 
ija i j 
, e 
7 9( )ijB b 
, tal que 
ijb i
. Determine 
o elemento 
23c
 da matriz 
C AB
. 
 
3) Determine duas matrizes 
A
 e 
B
, não nulas, tais que 
0AB 
. 
 
4) Mostre que as matrizes a b
A
c d
 
  
 
 e d b
B
c a
 
  
 
 comutam. 
 
5) Sabendo que a matriz 
5
2 2 89
3 89 0
x y y
A z w
z w
  
 
  
   
 é antissimétrica, determine os valores de 
x
, 
y
, 
z
 e 
w
. 
 
6) Sejam 
A
 e 
B
 matrizes quadradas de ordem 
2
 tal que 
det( ) 7A 
 e 
3B A
. Calcule o 
determinante de 
B
. 
 
7) O valor do determinante de uma matriz é 
36
. Se multiplicarmos a primeira linha dessa matriz 
por 
5
 e dividirmos a segunda linha por 
6
, qual será o valor do novo determinante? 
 
8) Sabendo que o determinante da matriz 
2 3 1
3 2 1/ 2
a b c
A
 
 
  
 
 
 é 
8
, calcule o determinante da 
matriz 
6 4 1
6 9 3
B a b c
 
 
  
 
 
. 
 
 
 
9) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. 
a) 
det( ) det( )AB BA
 
b) 
det(2 ) 2det( )A A
 
c) Se 
A
 é uma matriz escalar da forma 
nkI
, então 
det( ) nA k
. 
d) Se a matriz 
A
 é não-singular, então sua inversa 1A também é. 
e) Se a matriz 
A
 é inversível, então sua transposta tA também é. 
f) Se as matrizes 
A
 e 
B
 são não-singulares e de mesma ordem, então o produto 
AB
 é uma 
matriz não-singular. 
 
10) Calcular o valor de 
k
 para que a matriz 2 3
6
A
k
 
  
 
 não tenha inversa. 
 
11) Em que condições a matriz diagonal 
11
22
00 ...
0...0
0
...0 0 nn
a
a
A
a
 
 
 
 
 
 
 possui inversa? Calcule 1A . 
 
Respostas 
1) 30 38 46
54 62 70
X
 
  
 
 
2) 
23 84c  
 
3) 0 0
0 1
A
 
  
 
 e 1 0
0 0
B
 
  
 
 
4) Mostre que 
AB BA
. 
5) 
2x 
, 
2y  
, 
5z 
 e 
10w  
 
6) 
det( ) 63B 
 
7) 
30
 
8) 
det( ) 48B 
 
9) V: a, c, d, e, f F: b 
10) 
9k 
 
11) Se 
0iia 
 para todo 
1,...,i n
, então a matriz A possui inversa. 1A é a matriz diagonal cujos 
elementos da diagonal principal são da forma 
1
iia
 para todo 
1,...,i n
.