Apostila - PROJETOS-DE-INVERSORES

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PROJETOS DE 
INVERSORES 
 
 
 
 
 
Prof. Ivo Barbi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este documento reúne relatórios escritos  pelos atuais professores, 
Telles B. Lazzarin 
Romeu Hausmann 
Hugo S. Larico 
Glayson Luiz Piazza 
 
quando  cursaram  a  disciplina  “Projetos  de  Inversores”  que ministrei  no 
Programa de Pós‐graduação em Engenharia Elétrica da UFSC, nos anos de 
2007 e 2008. 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Centro Tecnológico 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO DE INVERSOR MONOFÁSICO 
 
 
 
 
 
 
Acadêmicos: 
Hugo Estofanero 
Romeu Hausmann 
Telles B. Lazzarin 
 
 
 
 
 
Professor: Ivo Barbi 
 
 
 
Maio/2007
 
Instituto de Eletrônica de Potência 1 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
Índice 
1. Introdução ................................................................................................................................... 5 
2. Estudo do Inversor de Tensão Monofásico ................................................................................ 7 
2.1. Inversor de Tensão Monofásico .......................................................................................... 7 
2.2. Estratégias de Modulação .................................................................................................... 8 
2.3. Etapas de operação .............................................................................................................. 9 
2.4. Projeto do filtro LC ........................................................................................................... 12 
2.4.1. Cálculo do Indutor Lf ................................................................................................. 12 
2.4.2. Cálculo da Capacitância Cf ........................................................................................ 16 
2.5. Simulação de um Inversor Monofásico de 10kVA ........................................................... 17 
3. Modelo Matemático do Inversor para a Malha de Tensão ....................................................... 21 
3.1. Projeto do compensador .................................................................................................... 26 
3.2. Simulação com o Compensador de Tensão ....................................................................... 31 
4. Restrição da Derivada do Sinal de Controle............................................................................. 40 
4.1. Simulação para a Restrição da Derivada do Sinal de Controle ......................................... 46 
5. Inversor Monofásico Alimentando uma Carga Não Linear ..................................................... 48 
5.1. Resultados de Simulação com Carga Não-Linear ............................................................. 53 
5.1.1. Carga não-linear – retificador com fonte de tensão.................................................... 53 
5.1.2. Carga não-linear – retificador com filtro capacitivo .................................................. 56 
5.1.3. Carga não-linear com alteração de Lo (35µH) ........................................................... 58 
5.1.4. Carga não-linear com alteração de Lo (15µH) ........................................................... 60 
6. Estudo de Perdas....................................................................................................................... 65 
6.1. Estudo das Perdas nos Semicondutores ............................................................................. 65 
6.1.1. Perdas por Condução. ................................................................................................. 65 
6.1.2. Perdas por Comutação ................................................................................................ 67 
6.1.3. Perdas Totais nos Semicondutores do Estágio de Potência de um Inversor 
Monofásico .................................................................................................................................... 72 
6.2. Dimensionamento Térmico – Exemplo de Projeto ........................................................... 73 
7. Introdução ao Estudo do Paralelismo de Inversores ................................................................. 76 
7.1. Problema da operação em paralelo de inversores .............................................................. 76 
Instituto de Eletrônica de Potência 2 
Projetos de Inversores Monofásicos 
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7.2. Estudo Matemático do Paralelismo de Inversores............................................................. 78 
7.3. Principais Técnicas para o Paralelismo de Inversores Citadas na Literatura .................... 79 
7.4. Controle com Conexão ...................................................................................................... 80 
7.4.1. Central Limit Control ................................................................................................. 80 
7.4.2. Master-Slave Control.................................................................................................. 81 
7.4.3. Circular Chain Control ............................................................................................... 82 
7.4.4. Distributed Logic Control .......................................................................................... 83 
7.5. Controle sem Conexão ...................................................................................................... 84 
7.6. Técnicas Proposta para o Paralelismo de Inversores ......................................................... 86 
7.6.1. Primeira Proposta ....................................................................................................... 87 
7.6.2. Segunda Proposta ....................................................................................................... 89 
7.6.3. Terceira Proposta ........................................................................................................ 90 
7.7. Simulação das Técnicas Propostas .................................................................................... 92 
7.7.1. Estudo da Primeira Técnica ........................................................................................ 94 
7.7.2. Estudo da Segunda Técnica ........................................................................................ 96 
7.7.3. Estudo da Terceira Técnica ........................................................................................ 97 
7.8. Implementação do Cálculo das Potências Reativa e da Potência Ativa dos Inversores .... 99 
8. Conclusão ............................................................................................................................... 103 
9. Anexos .................................................................................................................................... 105 
9.1. Anexo A........................................................................................................................... 105 
9.1.1. Cálculo do fluxo de potência entre um inversor e uma carga .................................. 105 
9.1.2. Cálculo do fluxo de potência entre dois inversores .................................................. 106 
9.1.3. Cálculo do fluxo de potência de dois inversores alimentando uma carga ................ 108 
10. Referência Bibliográfica ....................................................................................................... 110 
 
Instituto de Eletrônica de Potência 3 
Projetos de Inversores Monofásicos 
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SimbologiaSímbolos Adotados nos Equacionamentos 
Símbolo Significado Unidade 
vo(α) Valor instantâneo da tensão na saída do inversor V α Ângulo da tensão de saída rad/s 
Vop Valor de pico da tensão de saída di inversor V 
io(α) Valor instantâneo da corrente na saída do inversor A 
ICM Valor de pico da corrente de saída do inversor A 
d Razão cíclica do sinal de comando dos interruptores - 
Vi Tensão contínua na entrada do inversor V 
vce Queda de tensão entre coletor emissor do IGBT V 
VCEN Queda de tensão entre coletor emissor nominal na corrente nominal do IGBT V 
ICN Corrente nominal de coletor do IGBT A 
VCO Tensão threshold do IGBT V 
iC Valor instantâneo de coletor do iGBT A ∆ variação - 
Ei 
Energia média instantânea perdida na etapa de condução do IGBT por 
período de comutação J 
tScon Tempo de condução do IGBT por período de comutação s 
TS Período de comutação s 
t Tempo s 
Pi 
Potência média instantânea perdida na etapa de condução do IGBT por 
período de comutação W 
d/dt Operador diferencial - 
PScon Potência média perdida por condução do IGBT W 
M Índice de modulação - 
tDcon Tempo de condução do diodo por período de comutação s 
PDcon Potência média perdida por condução do diodo W 
VFO Tensão threshold do diodo V 
VFN Queda de tensão nominal no diodo na corrente nominal V 
IFN Corrente nominal do diodo V 
ESon Energia produzida na entrada em condução do IGBT J 
tr Tempo de subida da corrente no IGBT s 
trN Tempo nominal de subida da corrente no IGBT (valor de catálogo) s 
IRR Corrente de recuperação reversa do diodo A 
IRR Corrente nominal de recuperação reversa do diodo (valor de catálogo) A 
trr Tempo de recuperação reversa do diodo s 
trrN Tempo nominal de recuperação reversa do diodo (valor de catálogo) s 
QrrN Carga nominal de recuperação reversa do diodo (valor de catálogo) C 
fs Freqüência de comutação dos interruptores Hz 
fr Freqüência fundamental da tensão de saída do inversor Hz 
pSon Potência produzida na entrada em condução do IGBT W 
PTSon Potência média produzida na entrada em condução do IGBT W 
ESoff Energia produzida no bloqueio do IGBT J 
tf Tempo de descida da corrente no IGBT s 
tfN Tempo nominal de descida da corrente nominal no IGBT s 
pSoff Potência produzida no bloqueio do IGBT W 
PSoff Potência média produzida no bloqueio do IGBT W 
Instituto de Eletrônica de Potência 4 
Projetos de Inversores Monofásicos 
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PDoff Potência média produzida no bloqueio do diodo W 
PS Potência total produzida no IGBT W 
PD Potência total produzida no diodo W 
Ptotal 
Potência total produzida nos semicondutores do estágio de potência do 
inversor W 
Tcigbt Temperatura de cápsula do IGBT oC 
Tjigbt Temperatura de junção do IGBT oC 
Tcdiodo Temperatura de cápsula do diodo oC 
Tjdiodo Temperatura de junção do diodo oC 
Tc Temperatura de cápsula do módulo oC 
Td Temperatura do dissipador oC 
Ta Temperatura ambiente oC 
Rjcigbt Resistência térmica junção-cápsula do IGBT oC/W 
Rjcdiodo Resistência térmica junção-cápsula do diodo oC/W 
Rcd Resistência térmica cápsula-dissipador oC/W 
Rda Resistência térmica dissipador-ambiente oC/W 
Rca Resistência térmica cápsula-ambiente oC/W 
PTigbt Potência produzida pelo IGBT W 
PTdiodo Potência produzida pelo diodo W 
 
 
Instituto de Eletrônica de Potência 5 
Projetos de Inversores Monofásicos 
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1. Introdução 
Inversores de tensão monofásicos tem sido objeto de pesquisa ao longo dos anos e dispõem 
de vasta bibliografia, entretanto as abordagens adotadas não permitem desenvolver projetos completos. 
A motivação para este trabalho reside na elaboração de material bibliográfico que permita o estudo e 
entendimento dos fenômenos mais importantes para o desenvolvimento de projetos otimizados de 
inversores de tensão monofásicos. O resultado será de grande valia para futuros projetos e permitirá 
evoluções ainda mais consistentes no desenvolvimento destas estruturas. 
O estudo está focado em inversores com a estrutura em ponte completa por ser a mais 
utilizada e adequada para potências elevadas e possuir características interessantes em relação a 
esforços de corrente e tensão, dentre outros fatores. A modulação adotada é SPWM de três níveis por 
ser a mais adequada e difundida comercialmente em inversores monofásicos. O capítulo 2 aborda o 
estudo das etapas de operação e da modulação, apresentando as formas de onda mais significativas 
para o entendimento da estrutura. 
Os Inversores de tensão senoidais devem fornecer – como sugere o nome - uma tensão 
senoidal em sua saída. Entretanto, a operação dos interruptores em alta freqüência produz harmônicos 
indesejáveis na saída do inversor. Para tanto, usualmente é empregado um filtro do tipo L-C na saída 
do estágio inversor para que o conteúdo harmônico seja filtrado e somente a parcela referente à 
freqüência fundamental esteja disponível na saída. O filtro de saída é abordado no capítulo 2 deste 
documento, onde é apresentado o dimensionamento dos elementos do filtro e simulação. 
No capítulo 3 será abordado a metodologia para obter um modelo matemático que represente 
o inversor para a malha de tensão. Com este modelo é possível estudar formas de controlar essa malha 
com o objetivo de obter uma tensão senoidal e com baixa distorção harmônica na saída do inversor. 
Na continuidade do estudo é apresentada uma estrutura de controlador com uma metodologia de 
projeto, que será a proposta do trabalho para o projeto do compensador de tensão para a malha de 
tensão do inversor. 
No capítulo 4 é apresentada a análise teórica da restrição da derivada do sinal de controle. 
Esta análise é fundamental para prevenir o aparecimento de pulsos múltiplos no sinal de comando dos 
interruptores. O aparecimento de pulsos múltiplos é indesejável, pois além de gerar distorção 
Instituto de Eletrônica de Potência 6 
Projetos de Inversores Monofásicos 
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harmônica da tensão de saída pode ocasionar a queima do inversor. Seu aparecimento está relacionado 
à combinação paramétrica dos elementos que compõem o filtro de saída e o compensador de tensão. 
Do ponto de vista da carga, inversores de tensão devem atender todas as possibilidades de carga, 
desta forma na sua análise deve-se considerar o emprego de cargas lineares e não lineares. O capítulo 
5 trata do estudo do comportamento do inversor monofásico alimentado carga não-linear. Do ponto de 
vista da distorção harmônica da tensão na saída, a carga não-linear é a mais crítica. Isto pode induzir a 
iniciar a análise a partir de cargas não-lineares, mas devido a sua complexidade optou-se pela análise 
do inversor alimentando carga linear. A análise do inversor alimentando carga não-linear será 
abordada como uma restrição ao modelo obtido com carga linear. Considerando o inversor de tensão 
alimentando carga não-linear as principais restrições a serem consideradas são a máxima derivada do 
sinal de controle, a derivada da corrente de carga e a capacidade de máxima derivada da corrente da 
planta. Cabe ressaltar que a máxima derivada do sinal de controle é crítica também quando o inversor 
alimenta cargas lineares e não apenas cargas não-lineares. Com a utilização de carga não-linear deve-
se conhecer o comportamento da corrente e sua derivada máxima para que se possa verificar se o 
inversor possui a dinâmica necessária para alimentar essa carga com uma tensão de saída com 
distorção harmônica dentro de limites aceitáveis. 
No capítulo 6 é apresentado um estudo de perdas para o dimensionamento térmico do inversor 
de tensão monofásico, onde é apresentado o equacionamento paraa obtenção das perdas nos 
semicondutores, considerando a modulação senoidal. 
Por fim, no capítulo 7 é apresentado um estudo do uso de inversores de tensão operando em 
paralelo. O paralelismo de inversores é uma opção que está se tornando interessante para a indústria 
devido a algumas vantagens apresentadas por essa arquitetura, como redundância, aumento da 
potência instalada e confiabilidade. Nesse capítulo são apresentados os resultados de um estudo sobre 
a ligação de inversores em paralelo, das principais técnicas usadas na literatura são mostrados alguns 
resultados de simulação de uma técnica proposta para esta aplicação. 
 
 
Instituto de Eletrônica de Potência 7 
Projetos de Inversores Monofásicos 
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2. Estudo do Inversor de Tensão Monofásico 
2.1. Inversor de Tensão Monofásico 
Quando se trata de inversores de tensão monofásicos, várias estruturas são apresentadas na 
literatura especializada. A escolha da estrutura mais adequada depende de diversos fatores como custo, 
potência, esforços nos semicondutores, etc. 
Para aplicações em potências superiores à 1KVA o inversor de tensão monofásico em ponte 
completa aparece como a topologia natural pela versatilidade e características como baixos esforços 
de tensão e corrente nos interruptores. Em contrapartida, algumas características como o emprego de 
quatro interruptores controlados e a necessidade de isolação galvânica no comando destes 
interruptores aparecem como desvantagens desta topologia. 
A figura a seguir apresenta o circuito de potência deste inversor, composta pelos quatro 
interruptores controlados, filtro de saída e o transformador que deve ser empregado para prover 
isolamento galvânico da carga e/ou adequar o nível de tensão. 
 
Lf
Cf1:n
S1 S2
S4S3
Vi a b Z
 
Figura 2.1– Inversor em ponte completa 
Os interruptores S1, S2, S3 e S4 são acionados de acordo com uma estratégia de modulação, de 
modo que a única restrição consiste na condução simultânea dos interruptores S1 e S3 ou S2 e S4. 
O indutor e o capacitor do filtro de saída são representados por Lf e Cf respectivamente. O 
transformador se situa entre o bloco inversor e o filtro, sendo “n” sua relação de transformação, Vi 
representa a tensão CC de entrada e a carga é representada pelo elemento genérico Z. 
 
 
Instituto de Eletrônica de Potência 8 
Projetos de Inversores Monofásicos 
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2.2. Estratégias de Modulação 
O princípio de funcionamento do inversor de tensão está intimamente ligado a 
uma estratégia de modulação. Diversas são as estratégias de modulação propostas, entre as quais 
se podem citar a modulação por pulso único, por largura de pulsos múltiplos e iguais entre si, por 
largura de pulsos otimizada (PWM otimizada) e por largura de pulso senoidal (SPWM). 
A modulação PWM varia a razão cíclica aplicada aos interruptores em uma alta freqüência de 
comutação com o intuito de suprir uma determinada tensão ou corrente na saída em baixa freqüência. 
Deseja-se criar uma seqüência de pulsos que devem ter o mesmo valor fundamental de uma referência 
definida. Todavia, nesta seqüência de pulsos existem componentes harmônicos indesejados que devem 
ser minimizados. 
Como pontos positivos desta modulação destacam-se a operação em freqüência fixa e o 
conteúdo harmônico deslocado para altas freqüências utilizando-se uma portadora. O emprego de 
freqüência fixa aperfeiçoa o projeto dos componentes magnéticos, tendo em vista que em aplicações 
onde a freqüência é variável os componentes magnéticos devem ser projetados para toda a faixa de 
freqüência utilizada. Quando o conteúdo harmônico se concentra nas altas freqüências tem-se uma 
diminuição de dimensão, peso e custo dos componentes do filtro. 
A modulação por largura de pulso senoidal de três níveis, ou SPWM unipolar, visa deslocar o 
conteúdo harmônico para as altas freqüências. 
O sinal de referência Vref é comparado com um sinal triangular Vtri na freqüência de comutação 
de modo a se obter os pulsos de comando para os interruptores de um braço do inversor, S1 e S3, por 
exemplo. Já os pulsos de comando para o outro braço são obtidos através da comparação do sinal de 
referência com uma outra portadora triangular Vtri2, complementar a Vtri. Embora se utilize a portadora 
triangular, pode-se aplicar uma portadora do tipo dente-de-serra, entretanto os resultados apresentados 
com relação ao espectro harmônico da tensão Vab são inferiores. 
 
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Projetos de Inversores Monofásicos 
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Figura 2.2 – Detalhe da modulação SPWM 3 níveis. 
2.3. Etapas de operação 
Empregando a modulação unipolar o inversor apresenta oito etapas de operação, sendo quatro 
referentes ao semiciclo positivo da tensão de saída e quatro ao semiciclo negativo. 
 Na seqüência são apresentadas as quatro etapas de operação referentes ao semiciclo positivo da 
tensão de saída. Nestas etapas não há inversão da corrente na carga. As quatro etapas referentes ao 
semiciclo negativo da tensão de saída são análogas às do semiciclo positivo da tensão de saída, 
havendo inversão no sentido da corrente de carga. 
Para a representação das etapas de operação serão adotadas algumas simplificações como o não 
emprego do transformador e a substituição da carga por uma fonte de corrente. 
A primeira etapa de operação ocorre de 0 até To e se caracteriza pela condução simultânea dos 
interruptores S1 e S4, nesta etapa há transferência de energia da fonte Vi para a carga. Os interruptores 
S2 e S3 devem estar bloqueados nesta etapa de operação. A figura a seguir representa esta etapa de 
operação. 
 
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Vi
S1 S2
S4S3
a b
D1 D2
D3 D4
 
Figura 2.3 - Primeira etapa de operação. 
Na segunda etapa de operação não há transferência de energia da fonte Vi para a carga, sendo 
que a corrente circula em roda livre através do interruptor S1 e o diodo D2. O diodo D2 é habilitado a 
conduzir devido ao bloqueio de S4 que ocorre em T1 – figura 6. Pode-se notar que devido ao sentido 
da corrente da carga, o interruptor S2 não chega a conduzir, mesmo comandado em T2. A Figura 2.4 
apresenta a segunda etapa de operação. 
 
Vi
S1 S2
S4S3
a b
D1 D2
D3 D4
 
Figura 2.4 – Segunda etapa de operação. 
 
A terceira etapa de operação é idêntica a primeira e inicia em T4 com a entrada em condução 
do interruptor S4. Pode ser observado na figura 7 que S2 é bloqueado em T3 para que não ocorra 
condução simultânea de interruptores do mesmo braço, o que certamente ocasionaria a queima destes. 
A Figura 2.5 mostra a terceira etapa de operação. 
 
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Projetos de Inversores Monofásicos 
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Vi
S1 S2
S4S3
a b
D1 D2
D3 D4
 
Figura 2.5 - Terceira etapa de operação. 
 
Na quarta etapa de operação o interruptor S1 é bloqueado em T5 e o diodo D3 entra em 
condução assumindo a corrente de carga. O interruptor S3, apesar de comandado em T6, não chega a 
conduzir devido ao sentido da corrente. Esta etapa é apresentada na Figura 2.6. 
 
Vi
S1 S2
S4S3
a b
D1 D2
D3 D4
 
Figura 2.6 – Quarta etapa de operação. 
 
 
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Projetos de Inversores Monofásicos 
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Vi
S1
0
S2
S3
S4
Vab
tt
t
t
t
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 
Figura 2.7 – Forma de onda da tensão Vab e comando dos interruptores. 
 
2.4. Projeto do filtro LC 
Equation Section 2Equation Chapter (Next) Section 2 
2.4.1. Cálculo do Indutor Lf 
No inversor com modulação SPWM unipolar a freqüência de operação do filtro de saída é o 
dobro da freqüência de comutação dos interruptores (ver Figura 2.8), portanto, o projeto do filtro de 
saída deve levar em consideração este fato. 
 
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Ts*
t1 t2
q
Vc
Ts*/2
IL
t
iL(t)
vC(t)
VL(t)
nVi-Vopsen( rt)
TsVopsen( rt)
 
 Figura 2.8 – Principais formas de onda no filtro de saída. 
 
Na Figura 2.8 é mostrada a tensão no indutor VL na saída do inversor, na mesma figura também é 
apresentada, a ondulação de corrente devido à comutação dos interruptores. Da figura percebe-se que a 
operação do filtro é o dobro da freqüência de comutação, isto é, o período de operação do filtro Ts* de 
saída será a metade do período de comutação Ts. 
 
 *
2
s
s
TT  (2.1) 
Considerando a freqüência de comutação muito maior que a freqüência da tensão de saída, pode-
se considerar a Eq.(2.2) verdadeira. 
 1 2t t (2.2) 
 
Logo, pode-se definir a razão cíclica d(t)* para um período Ts* de operação do filtro, como 
mostra a Eq.(2.3). 
 
 1( )*
*s
td t
T
 (2.3) 
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A tensão no indutor para os interruptores fechados é dada pela Eq.(2.4). 
 
( )
( )Lff i op r
di t
L n V V sen t
dt
   (2.4) 
A ondulação de corrente para o semiciclo positivo da tensão de saída ser obtida através da 
Eq.(2.5), onde t1 é o tempo em que os interruptores permanecem fechados durante um período de 
operação da freqüência na entrada do filtro. 
 1
( )
( ) i op rLf
f
n V V sen t
i t t
L
   (2.5) 
A partir da Eq.(2.3) obtém-se o valor do tempo em função da razão cíclica d(t)*, logo, 
substituindo esta relação na Eq.(2.5), tem-se: 
 
( )
( ) * ( )*i op rLf s
f
n V V sen t
i t T d t
L
    (2.6) 
Seja a freqüência de comutação maior a freqüência da tensão de saída, a razão cíclica d(t)* para 
a freqüência de operação do filtro é dada pela Eq. (2.7). 
 
( )
( )* op r
i
V sen t
d t
n V
  (2.7) 
Substituindo a Eq(2.7). na Eq(2.6)., obtém-se a Eq.(2.8), que relaciona a ondulação da corrente 
com a tensão de saída. 
 
2 ( )
( ) ( )
2
s op op r
Lf r r
f i
T V V sen t
i t sen t
L n V
       
 (2.8) 
Logo, a ondulação de corrente parametrizada é expressa através da Eq. (2.9). 
 
22 ( )
( , , ) ( ) ( )f op op rLf i op r Lf r r
s i i i
L V V sen t
P i n V V t i t sen t
T n V n V n V
             
 (2.9) 
Na Figura 2.9 foram traçadas curvas da ondulação de corrente parametrizada em função do 
ângulo da tensão de saída, para diferentes tensões de saída, considerando a tensão de entrada 
constante. 
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Figura 2.9 Ondulação da corrente no indutor em função do ângulo da tensão de saída. 
 
Da Figura 2.9 percebe-se que a máxima ondulação de corrente se encontra em função do ângulo 
da tensão de saída. Logo, o ângulo para o máximo valor pode ser calculado a partir da derivada da 
Eq.(2.9). Assim: 
 
( ) 2 ( ) cos( )
cos( ) 0Lf op r rr
r i
dP i t V sen t t
t
d t n V
 
     (2.10) 
As soluções da Eq. (2.10), são: 
 
 1 2r
t   (2.11) 
 12 2
i
r
op
n Vt sen
V
       
 (2.12) 
 13 2
i
r
op
n Vt sen
V
         
 (2.13) 
Logo, a máxima ondulação de corrente parametrizada é dada pela seguinte expressão: 
 
1 ;
4 2
1 ;
2
i
op
L
op op i
op
i i
n VV
P I V V n VV
n V n V
            
 (2.14) 
A ondulação de corrente em função da indutância é mostrada na Eq.(2.15). 
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;
8 2
1 ;
2 2
i i
op
s f
L
op op i
op
s f i
n V n VV
f L
I
V V n VV
f L n V
            
 (2.15) 
 
Finalmente, a Eq.(2.16) mostra a indutância necessária no filtro LC para uma determinada 
ondulação de corrente. 
 
;
8 2
1 ;
2 2
             
i i
op
s L
f
op op i
op
s L i
n V n VV
f I
L
V V n VV
f I n V
 (2.16) 
2.4.2. Cálculo da Capacitância Cf 
A capacitância Cf do filtro LC é calculada em função da máxima ondulação de tensão associada 
à ondulação de corrente na freqüência de operação do filtro. A ondulação de tensão correspondente ao 
formato da corrente é mostrada na Fig. 3.1. Assumindo que toda a componente alternada da corrente 
na alta freqüência circula pelo capacitor, pode-se calcular a variação da tensão a partir da variação da 
carga, como mostrado na Eq. (2.17). 
 f
Cf
q C
V
  (2.17) 
A variação de carga “∆q” no capacitor Cf pode ser calculada através da Eq.(2.18) . 
 *1
2 2 2
sL TIq   (2.18) 
Substituindo a Eq.(2.18) em Eq.(2.17), obtém-se a expressão da ondulação de tensão em função 
da capacitância. 
 *
8
L s
Cf
f
I TV
C
  (2.19) 
 A máxima ondulação de tensão no filtro capacitivo de saída pode ser calculada a partir da 
máxima ondulação de corrente no capacitor. Logo, Substituindo a Eq.(2.16) em Eq.(2.19), obtém-se a 
Eq.(2.20) que relaciona a ondulação de tensão em função de parâmetros conhecidos. 
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_______________________________________________________________ 
 
 
2
2
;
128 2
1 ;
16 2
            
i i
op
s f f
Cf
op op i
op
s f f i
n V n VV
f L C
V
V V n VV
f L C n V
 (2.20) 
A partir da Eq.(2.20) pode-se obter a expressão que permita o cálculo da capacitância em função 
da máxima ondulação de tensão na alta freqüência. Assim: 
 
2
2
;
128 2
1 ;
16 2
             
i i
op
s f Cf
f
op op i
op
s f Cf i
n V n VV
f L V
C
V V n VV
f L V n V
 (2.21) 
 
 
2.5. Simulação de um Inversor Monofásico de 10kVA 
Todo desenvolvimento do projeto para a realização das simulações foi feito numa planilha no 
software MathCad . A Tabela 2.1 apresenta a especificação do inversor monofásico utilizado em todas 
as simulações deste documento. 
Tabela 2.1 – Especificação do inversor monofásico. 
Tensão CC de alimentação 400V 
Tensão de saída do inversor 220Vef 
Potencia de saída 10kW 
Freqüência de comutação dos interruptores 20 kHz 
Freqüência de saída 60Hz 
Variação de corrente no indutor 30% Inominal 
Variação da tensão de saída 1% Vnominal 
 
Este capítulo apresenta os resultados de simulação do inversor monofásico de 10kW, usando o 
filtro LC. Para esta tarefa foi usado o software PSIM 6.0. 
O circuito para gerar a modulação SPWM 3 níveis (Unipolar) é apresentado na Figura 2.10 e o 
circuito de potência do inversor é apresentado na Figura 2.11. A carga de 10kW é representada pelo 
resistor Ro. 
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_______________________________________________________________ 
 
 
Figura 2.10.Circuito da modulação SPWM 3 níveis.Figura 2.11 Circuito da potência do inversor. 
A Figura 2.12 mostra com detalhes a modulação SPWM 3 níveis, onde percebe-se as duas 
portadoras triangulares defasadas de 180 graus, a comparação com a referencia senoidal e a geração 
dos pulsos dos interruptores S1, e S4. Nesse tipo de modulação os interruptores S2 e S3 são 
comandados com sinais complementares aos comandos S4 e S1 respectivamente. Na Figura 2.13 é 
apresentado o sinal da tensão de referência e a tensão de saída do inversor (Vo). É possível concluir 
que a tensão de saída está seguindo a tensão de referencia, em fase e amplitude, comprovando a 
implementação da modulação SPWM. 
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_______________________________________________________________ 
 
 
Figura 2.12 Sinais da modulação SPWM 3 níveis e os pulsos de comando dos interruptores. 
 
 
Figura 2.13 Sinal de referencia e tensão de saída do inversor. 
 
A tensão na saída do inversor, ou entrada do filtro LC, denominada de VAB, é mostrada na 
Figura 2.16. Essa figura também mostra a tensão de saída do filtro LC. Nota-se que a tensão VAB de 
saída do inversor apresenta pulsos positivos no semiciclo positivo da tensão de referência e pulsos 
negativos no semiciclo negativo da tensão de referência. Além disso, a tensão VAB possui um 
componente na freqüência fundamental e uma componente no dobro da freqüência de comutação 
(40kHz). Essas características são devido à modulação SPWM 3 níveis. O filtro LC atenua toda 
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_______________________________________________________________ 
 
componente em alta freqüência da tensão VAB e a tensão de saída Vo é composta apenas pela 
componente fundamental, em 60Hz. 
Para carga nominal de 10 kW, são apresentados na Figura 3.1 o comportamento das correntes no 
indutor Lf, do capacitor Cf e na carga. A corrente no indutor está de acordo com o projeto, toda 
componente de alta freqüência circula pelo ramo do capacitor Cf e a corrente de carga possui apenas a 
componente fundamental da corrente total fornecida pelo inversor. A Figura 3.2 mostra com detalhe a 
ondulação de corrente no indutor, que é menor que os 9,6A especificado. Essa figura também mostra a 
ondulação da tensão de saída que é menor que os 3,1V especificados. 
Os resultados apresentados nesse capítulo consolidaram os estudos do inversor, da modulação 
SPWM 3 níveis e principalmente validaram a metodologia e o projeto do filtro LC. 
 
 
Figura 2.14 Tensão VAB e tensão de saída do inversor. 
 
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_______________________________________________________________ 
 
 
Figura 2.15 Correntes ILF, Io e ICF. 
 
 
Figura 2.16 - Ondulação de corrente em ILF e ondulação da tensão Vo. 
 
3. Modelo Matemático do Inversor para a Malha de Tensão 
No projeto de um inversor a tensão de saída geralmente é uma das variáveis especificada, em 
que sua amplitude, freqüência e taxa de distorção harmônica devem seguir adequadamente a exigência 
do projeto. Diante desta necessidade o sistema precisa possuir uma malha de controle responsável por 
garantir essa exigência. Para projetar adequadamente o compensador de tensão deve-se obter um 
modelo matemático que represente o comportamento do inversor em relação à tensão de saída. A 
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_______________________________________________________________ 
 
variável de controle do inversor é a razão cíclica dos interruptores e a variável que se deseja controlar 
é a tensão de saída. Por isso, busca-se definir uma função envolvendo a tensão de saída em relação à 
tensão de controle, considerando o modulador e a função de modulação. O equacionamento do modelo 
matemático do inversor em ponte completa depende da modulação imposta aos seus interruptores. 
O esquema simplificado do circuito do inversor de tensão está mostrado na Figura 3.1, em que 
Vc é a tensão de controle aplicada ao modulador SPWM e este aplica os pulsos de comando (C1, C2, 
C3 e C4) nos interruptores do inversor. Vo é a tensão de saída do inversor, Tv é o transdutor de tensão e 
Vref é a tensão de referência. 
 
Figura 3.1– Circuito do inversor de tensão com o diagrama do circuito de controle da malha de tensão. 
A razão cíclica dos interruptores é definida como a razão entre o tempo em que um determinado 
interruptor conduz e o seu respectivo período de comutação [4]. Portanto tem-se como valor mínimo 
zero e valor máximo 1. 
Na modulação SPWM 3 níveis, a forma de onda da tensão nos terminais de entrada do filtro 
(VAB), no semiciclo positivo da tensão de saída do filtro, apresenta o formato mostrado na Figura 3.2. 
Através da forma de onda da tensão VAB é possível determinar a tensão média quase instantânea 
VABmed expressa na equação (3.1). 
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_______________________________________________________________ 
 
VAB
Vi
VABmed
tTs-∆T
Ts
 
Figura 3.2 Tensão VAB na entrada do filtro durante o semiclico positivo da tensão Vo. 
 Equation Chapter 3 Section 3 TABmed i
s
V V
T
  (3.1) 
Conforme a Figura 3.2, ∆T refere-se à condução simultânea de S1 e S4 enquanto TS − ∆T refere-se 
à condução simultânea dos interruptores S1 e S2 ou S3 e S4. Portanto, estas relações não podem ser 
confundidas com a razão cíclica dos interruptores, apesar de estarem diretamente relacionadas. A 
equação (3.2) apresenta uma relação, considerando as etapas de funcionamento no semiciclo positivo, 
para d2(t), que é a razão cíclica dos interruptores S2 e S3. Deve-se ressaltar que a razão cíclica é 
calculada utilizando-se dois períodos de comutação em decorrência da modulação unipolar 
empregada. A razão cíclica dos interruptores S1 e S4, definida como d1 e é dada pela equação (3.3). 
 s T 2
s
T d (t)
2 T
  (3.2) 
 s T 1
s
T d (t)
2 T
   (3.3) 
Manipulando a equação (3.2), tem-se a equação (3.4): 
  T s 2T 1 2 d (t)     (3.4) 
Substituindo a equação (3.4) na equação (3.1) se obtém a equação (3.5), que é a tensão VAB 
média quase instantânea na entrada do filtro definida em função do tempo de condução dos 
interruptores. 
  ABmed 2 iV (t) 1 2 d (t) V    (3.5) 
A razão cíclica aplicada aos interruptores do inversor (d1(t) e d2(t)) varia de acordo com uma 
função de modulação. No caso da SPWM de três níveis, a função de modulação de cada conjunto de 
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_______________________________________________________________ 
 
interruptores e suas respectivas razões cíclicas estão relacionadas segundo as equações (3.6) e (3.7). 
Para que esta relação seja válida, a freqüência de comutação dos interruptores deve ser alta a ponto 
que a função de modulação e a razão cíclica dos interruptores poderem ser consideradas constantes no 
equacionamento [5]. A função de modulação neste caso varia de -1 a 1. Quando fm=1 tem-se d1 =1 e 
d2 =0 , ou seja, razão cíclica máxima nos interruptores S1 e S4 e mínima em S2 e S3. Quando fm=-1 
corre o contrário. A partir de uma função de modulação específica como, por exemplo, uma senóide 
ou o sinal de saída de um compensador, pode-se variar a razão cíclica dos interruptores de modo a se 
obter uma tensão desejada na sua saída. 
  1 m1d (t) 1 f (t)2   (3.6) 
  2 m1d (t) 1 f (t)2   (3.7) 
Substituindo a equação (3.7) em (3.5) tem-se a equação (3.8), que representa a relação entre a 
tensão média quase instantânea na entrada do filtro do inversor em relação à função de modulação. Nosemiciclo negativo tem-se o mesmo resultado. 
 ABmed m iV (t) f (t) V  (3.8) 
A equação (3.8) mostra que a tensão média instantânea Vab segue a função de modulação 
imposta com um ganho de Vi. Este resultado é muito importante, pois pode-se representar o a tensão 
de entrada do filtro do inversor pela função de modulação do circuito multiplicado pelo ganho da 
tensão de entrada do inversor (Vi). Esta representação é muito útil para este e outros estudos sobre 
inversores de freqüência. 
A modulação SPWM dois nível apresenta o mesmo resultados obtido na equação (3.8). 
 Aplicando a transformada de Laplace na equação (3.8) e considerando a tensão de entrada Vi 
constante determina-se a função de transferência entre a tensão de entrada do filtro e a função de 
modulação, definida na equação (3.9). 
 ABmed i
m
V (s) V
f (s)
 (3.9) 
Baseado na equação (3.8) é possível definir um circuito equivalente do inversor mostrado na 
Figura 3.3. A função de transferência da saída do inversor em função da função de modulação é obtida 
pelo equacionamento do circuito equivalente. No circuito rLf representa a resistência do indutor de 
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_______________________________________________________________ 
 
filtragem, Lf o indutor, Cf o capacitor do filtro do inversor, RSE a resistência interna do capacitor Cf e 
Ro a resistência de carga. A tensão VABmed é modelada como uma fonte de tensão controlada pela 
variável fm(t). 
 
Figura 3.3 – Circuito equivalente do inversor. 
Escrevendo as equações de malha e de nós do circuito da Figura 3.3 obtém-se: 
 f
f f
L
m i f L L o
di (t)
f (t) V L r i (t) V (t)
dt
      (3.10) 
 
f fL C oi (t) i (t) i (t)  (3.11) 
 
f
o
C f
dV (t)i (t) C
dt
  (3.12) 
A resistência série equivalente do capacitor foi desprezada no modelo tendo em vista que são 
utilizados capacitores de polipropileno que se caracterizam por possuir uma resistência série 
equivalente muito baixa. 
Aplicando-se a transformada de Laplace nas equações (3.10), (3.11) e (3.12) e manipulando-as, 
determina-se a função de transferência entre a tensão de saída Vo e a função de modulação, 
representada pela equação (3.13). 
 o i
m 2 f f
f f f
o o
V (t) V
f (t) L rs L C s r 1
R R
               
 (3.13) 
No sistema de controle proposto a tensão proveniente do controlador é inserida no modulador, 
que é responsável por transformar a função de modulação nos pulsos adequados de comando para os 
interruptores.. A portadora utilizada no modulador é do tipo triangular com amplitude fixa e opera na 
freqüência de comutação dos interruptores. Conforme [6], o comportamento da tensão de saída do 
modulador é definido pela equação (3.14), onde Vp representa a tensão de pico da onda triangular 
(portadora) e Vc(t) é a tensão proveniente do compensador. 
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_______________________________________________________________ 
 
 cm
p
V (s)f (s)
V
 (3.14) 
Substituindo a equação (3.14) na equação (3.13) obtém-se a função de transferência da tensão de 
saída em função do sinal de controle, definida na equação (3.15): 
 o i
c p 2 f f
f f f
o o
V (t) V1
V (t) V L rs L C s r 1
R R
                
 (3.15) 
A pior situação para o sistema de controle é quando o inversor está operando a vazio, ou seja, 
considerando Ro infinito, por isso o compensador deve ser ajustado nessa condição. Fazendo Ro 
infinito (inversor operando a vazio) e considerando rf muito pequeno, pode-se reescrever as equação 
(3.15) como: 
 o i2
c p f f
V (t) V1
V (t) V s L C 1
     (3.16) 
A função de transferência da equação (3.16) representa o modelo matemático do inversor usado 
para projetar o compensador de tensão. 
 
3.1. Projeto do compensador 
Nesse capítulo será apresentada uma metodologia para o projeto do compensador da malha de 
tensão. A Figura 3.4 mostra um diagrama de blocos da malha de controle em estudo. O controlador de 
tensão Cv(s) responsável pelo sinal de modulação observa a tensão Vo (obtida por meio de sensor de 
ganho Tv) sobre o capacitor de saída, comparando-a com a desejada (Vref), a fim de gerar a ação de 
controle. Este sinal de controle é comparado com uma forma de onda triangular para gerar os pulsos 
de gatilho para os interruptores. Os pulsos de comando passam por um circuito de comando para 
geração das tensões apropriadas para o comando dos interruptores e geração do tempo morto. O 
controlador deve estar projetado para manter uma tensão senoidal com baixa distorção harmônica na 
saída do filtro L-C. 
2
f f
1
s L C 1  
 
Figura 3.4 – Diagrama de blocos da malha de controle. 
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_______________________________________________________________ 
 
A planta a ser controlado é um circuito de segunda ordem com pouco amortecimento. A equação 
(3.17) apresenta a função de transferência da planta considerando o conversor a vazio, e desprezando a 
resistência do indutor e a RSE do capacitor. A equação (3.18) define a freqüência de ressonância, onde 
estão alocados os dois pólos da planta. A Figura 3.5 mostra um exemplo da resposta em freqüência 
(diagrama de bode) deste tipo de sistema. A abordagem clássica para controlar este tipo de planta é 
projetar o controlador de tal forma que a dinâmica do sistema compensado seja de um integrador com 
um determinado ganho. A característica integradora garante erro nulo na saída, ou seja, garante o valor 
especificado na tensão de saída do inversor e o ganho ajusta a velocidade de resposta, estabilidade e 
atenuação na freqüência de comutação. 
 o i2
c p f f
V (t) V1
V (t) V s L C 1
     (3.17) 
 o
f f
1f
2 L C    (3.18) 
 
10 100 1 103 1 104 1 105 1 106
100
50
0
50
100
[ Hz ]
[ d
B 
]
GdBi
fo fc
fi
 
Figura 3.5 – Módulo do diagrama de Bode da planta da malha de tensão. 
 
O controlador clássico utilizado é do tipo PID (proporcional-integral-derivativo) e tem sua 
função de transferência mostrada na equação (3.19). Este controlador possui um integrador (pólo na 
origem), um pólo (pv) e dois zeros (zv), além do ganho kv. O integrador deve ser usado nesta função de 
transferência para que a dinâmica resultante do sistema possa tender a um integrador com ganho. Os 
dois zeros do compensador são dispostos sobre a freqüência de ressonância do filtro de modo a 
eliminar o efeito do duplo pólo da planta (equação (3.20)). O outro pólo encontrado no controlador é 
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_______________________________________________________________ 
 
usado porque não é possível a implementação física de sistemas com um número de zeros maior do 
que o de pólos. Além disso, este pólo evita uma amplificação de sinais de alta freqüência que passam 
pelo controlador. É normalmente alocado em quarenta vezes [3] a freqüência de ressonância do filtro 
L-C (equação (3.21).) por ser uma freqüência maior do que a de comutação, fazendo com que o 
mesmo não influencie na dinâmica e nem na margem de fase do sistema. 
O ganho do compensador Kv é ajustado de maneira a atender a especificação da freqüência de 
corte. Esta freqüência é ajustada no máximo em um quarto da freqüência de comutação e tem ligação 
direta com a velocidade de resposta do controlador. Quanto maior a freqüência de cruzamento melhor 
a dinâmica do compensador. Quando se utiliza a modulação SPWM unipolar, em que a freqüência de 
ondulação da tensão de saída se encontra em tornode duas vezes a freqüência de comutação, pode-se 
ajustar fc como sendo a metade da freqüência de comutação, desde que as restrições de derivada no 
modulador sejam respeitadas. Na freqüência de cruzamento deseja-se que o ganho do sistema em 
malha aberta seja 0 dB. Sendo assim, o ganho do compensador é determinado para atender essa 
especificação, fazendo seu valor igual, mas em sinal oposto ao ganho da planta na freqüência de 
cruzamento. A Figura 3.6 mostra um exemplo da resposta em freqüência de um compensador ajustado 
seguindo essas instruções e a Figura 3.7 apresenta um exemplo da resposta em freqüência de laço 
aberto de uma planta compensada, que tem a característica integradora desejada. 
 v vv v
v
(s z ) (s z )C (s) k
s (s p )
      (3.19) 
 v
f f
1Z
L C
  (3.20) 
 v
f f
40p
L C
  (3.21) 
 
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10 100 1 103 1 104 1 105
0
50
[ Hz ]
[ d
B 
]
HdBi
fi
 
Figura 3.6 - Módulo do diagrama de Bode do compensador PID da malha de tensão. 
10 100 1 103 1 104 1 105
50
0
50
[ Hz ]
[ d
B 
]
GHdBi
fc fVAB
fi
 
Figura 3.7 – Módulo do diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto da malha de tensão. 
A implementação do controlador proposto é feita utilizando um circuito bastante difundido na 
literatura, que pode ser observado na Figura 3.8 [7]. Este circuito, além de implementar a função de 
transferência do controlador PID, também executa a subtração do sinal de referência pelo sinal 
proveniente do sensor de tensão. 
A função de transferência deste circuito está representada na equação (3.22). A partir desta 
função são determinados os valores apropriados para os componentes. Inicialmente, arbitra-se um 
valor inicial para o resistor Riz, e usando as equações (3.23) a (3.29) determina-se os outros 
componentes. 
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_______________________________________________________________ 
 
Vc
Rref
Rfz
Vref
Cf
+
-
Vo
Ci
Rip Riz
 
Figura 3.8 – Circuito elétrico do compensador PID. 
 
   
 
iz i fz fc
v
omedido ip iz
f ip iz i
iz ip
1 R C s 1 R C sV (s)
C (s)
V (s) R R
C s R R 1 C s
R R
                     
 (3.22) 
 i
iz zv
1C
2 R f
   (3.23) 
 1ip iz
2 1
AR R
A A
   (3.24) 
Sendo A2 o ganho em alta freqüência do compensador definido como: 
 
2H
20A2 10 (3.25) 
e H2: 
 pv2
c
f
H A 20 log
f
      
 (3.26) 
O ganho A é o valor de ganho que o compensador irá adicionar ao sistema na freqüência de 
corte, ou seja, é o ganho da planta na freqüência de corte multiplicado por (-1). 
A1 é o ganho definido pela relação: 
 
1H
20
1A 10 (3.27) 
e H1: 
 pv1 2
o
f
H H 20 log
f
      
 (3.28) 
Por fim, Cfz é definido pela relação da equação (3.29): 
 izfz i
fz
RC C
R
  (3.29) 
Seguindo esses procedimentos é possível projetar o compensador de tensão para a malha de 
controle de Vo de um inversor de freqüência. Essa é uma metodologia clássica, que apresenta bons 
resultados para cargas resistivas, capacitivas e indutivas. 
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_______________________________________________________________ 
 
 
3.2. Simulação com o Compensador de Tensão 
Para validar a metodologia do projeto do compensador foram realizadas simulações para 
diversas situações. Nestas simulações pretende-se apresentar o comportamento do inversor operando 
em malha fechada sob diversas situações de carga. 
A especificação e o circuito utilizados para realizar as simulações é apresentado na Tabela 
3.1 e na Figura 3.9. 
Tabela 3.1 – Especificação do inversor monofásico com o compensador. 
Tensão CC de alimentação 400V 
Tensão de saída do inversor 220Vef 
Potencia de saída 10kW 
Freqüência de comutação dos interruptores 20 kHz 
Freqüência de saída 60Hz 
Variação de corrente no indutor 30% Inominal 
Variação da tensão de saída 1% Vnominal 
Freqüência do primeiro zero do controlador 3,175 kHz 
Freqüência do segundo zero do controlador 3,175 kHz 
Freqüência do primeiro pólo do controlador 0 Hz 
Freqüência do segundo pólo do controlador 79,4 kHz 
Posição do segundo pólo em relação a 
freqüência de cruzamento 
25*fc 
Ganho do compensador 3,24 
 
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_______________________________________________________________ 
 
 
Figura 3.9 – Circuito simulado. 
 
Inicialmente é apresentada na Figura 3.10 a forma de onda da tensão na saída do inversor 
operando sem carga. Pode-se observar que não há distorção na forma de onda e o valor da tensão de 
saída está de acordo com a especificação de projeto, que neste caso é de 220 V. 
 
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_______________________________________________________________ 
 
0 0.0063 0.0125 0.0188 0.025 0.0313 0.0375 0.0438 0.05
400
300
200
100
0
100
200
300
400
Tensão de saída - Vo
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.10 – Tensão de saída Vo – sem carga. 
 
Na Figura 3.11 é apresentada a forma de onda na saída do compensador da malha de tensão 
também com o inversor operando a vazio. 
0 0.0063 0.0125 0.0188 0.025 0.0313 0.0375 0.0438 0.05
6
4.5
3
1.5
0
1.5
3
4.5
6
Tensão na saída do controlador - Vc
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.11 – Tensão na saída do compensador Vc – sem carga. 
 
Instituto de Eletrônica de Potência 34 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
Na seqüência são mostradas as Figura 3.12 e Figura 3.13 que apresentam as formas de onda 
da tensão de saída do inversor e saída do compensador de tensão respectivamente, para a situação onde 
é aplicado 100% de carga na saída do inversor de tensão. Pode-se observar que a tensão mantém seu 
valor nominal de projeto. É importante salientar que a carga é puramente resistiva. 
0 0.0063 0.0125 0.0188 0.025 0.0313 0.0375 0.0438 0.05
400
300
200
100
0
100
200
300
400
Tensão de saída - Vo
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.12 – Tensão de saída Vo – 100% de carga. 
0 0.0063 0.0125 0.0188 0.025 0.0313 0.0375 0.0438 0.05
6
4.5
3
1.5
0
1.5
3
4.5
6
Tensão na saída do controlador - Vc
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.13 – Tensão na saída do compensador Vc – 100% de carga. 
Instituto de Eletrônica de Potência 35 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
A Figura 3.14 apresenta os sinais empregados para obter o comando dos interruptores. Pode 
se observar na figura a forma de onda triangular – portadora -, e o sinal de saída do controlador que 
quando comparados geram o sinal de comando do interruptor S1. 
0.006 0.006025 0.00605 0.006075 0.0061 0.006125 0.00615 0.006175 0.0062
8
6
4
2
0
2
4
6
8
Vtri 1
Com S1
Vc
Vtri 1
Com S1
Vc
Sinais do modulador
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.14 – Tensão na saída do compensador Vc – 100% de carga. 
O comportamento da tensão de saída do inversor mediante um degrau de 100% de carga é 
apresentado na Figura 3.15. Pode-se observar uma distorção na forma de onda que aparece na forma 
de sobre tensão. Novamente ressalta-se que a carga empregada é puramente resistiva.Instituto de Eletrônica de Potência 36 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
0 0.0063 0.0125 0.0188 0.025 0.0313 0.0375 0.0438 0.05
400
300
200
100
0
100
200
300
400
Tensão de saída - Vo
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.15 – Tensão de saída Vo com degrau de carga: 50% →100%. 
 
Na Figura 3.16 pode ser observada a forma de onda na saída do compensador da malha de 
tensão, verifica-se uma perturbação do sinal quando da ocorrência do degrau na carga. 
 
0 0.0063 0.0125 0.0188 0.025 0.0313 0.0375 0.0438 0.05
5
2.88
0.75
1.38
3.5
5.63
7.75
9.88
12
Tensão na saída do controlador - Vc
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.16 – Tensão na saída do compensador Vc com degrau de carga: 50% →100%. 
 
Instituto de Eletrônica de Potência 37 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
A Figura 3.17 apresenta em detalhe a perturbação causada pelo degrau de carga, tanto na 
saída do inversor como na saída do compensador da malha de tensão. 
0.019 0.0195 0.02 0.0205 0.021 0.0215 0.022 0.0225 0.023
400
300
200
100
0
100
200
300
400
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
Vo
Vc
Vo
Vc
Detalhe das tensões Vo e Vc 
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.17 – Detalhe das tensões Vo e Vc mediante o degrau de carga: 50% →100%. 
Na seqüência são apresentadas as figuras das formas de onda da tensão de saída, saída do 
controlador e detalhe da perturbação mediante degrau de carga variando desde 100% até 50% da 
carga. 
0 0.0063 0.0125 0.0188 0.025 0.0313 0.0375 0.0438 0.05
400
300
200
100
0
100
200
300
400
Tensão de saída - Vo
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.18 – Tensão de saída Vo com degrau de carga: 100% →50%. 
Instituto de Eletrônica de Potência 38 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
0 0.0063 0.0125 0.0188 0.025 0.0313 0.0375 0.0438 0.05
6
4.5
3
1.5
0
1.5
3
4.5
6
Tensão na saída do controlador - Vc
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.19 – Tensão na saída do compensador Vc com degrau de carga: 100% →50%. 
 
0.019 0.0195 0.02 0.0205 0.021 0.0215 0.022 0.0225 0.023
0
50
100
150
200
250
300
350
400
5
3.13
1.25
0.63
2.5
4.38
6.25
8.13
10
Vo
Vc
Vo
Vc
Detalhe das tensões Vo e Vc 
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.20 – Detalhe das tensões Vo e Vc mediante o degrau de carga – 100%→50%. 
 
Nas Figura 3.21 e Figura 3.22 pode-se observar o comportamento da tensão na saída do 
inversor e do compensador quando se conecta ao inversor uma carga não-linear, aqui representada por 
Instituto de Eletrônica de Potência 39 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
um retificador em ponte completa com filtro capacitivo. Os valores da resistência de carga do 
retificador e do capacitor são de R=10Ω e C=3mF. 
0.0166 0.0208 0.025 0.0291 0.0333 0.0375 0.0417 0.0458 0.05
400
300
200
100
0
100
200
300
400
Tensão de saída - Vo
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.21 – Tensão de saída Vo – carga não-linear. 
 
0.0166 0.0208 0.025 0.0291 0.0333 0.0375 0.0417 0.0458 0.05
12
9
6
3
0
3
6
9
12
Tensão na saída do controlador - Vc
Tempo [s]
Te
ns
ão
 [V
]
 
Figura 3.22 – Tensão na saída do compensador Vc – carga não-linear. 
 
Instituto de Eletrônica de Potência 40 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
4. Restrição da Derivada do Sinal de Controle 
O filtro LC é responsável pelo bloqueio dos harmônicos da tensão de saída do inversor. O seu 
projeto parte de uma especificação que aceita determinados níveis de ondulação de tensão e corrente 
na saída, ou seja, o papel do filtro é atenuar os harmônicos, mas ainda haverá uma pequena parcela dos 
harmônicos mais significativos em alta freqüência na tensão de saída do inversor. Isso se reflete 
principalmente na ondulação da tensão de saída. A freqüência de ressonância do filtro delimita a sua 
banda passante. Sabe-se que para freqüências maiores que esta o sistema apresenta atenuação de 40 dB 
por década. A freqüência de corte do filtro é usualmente escolhida em função da freqüência de 
comutação, onde geralmente é utilizada a freqüência de corte do filtro no mínimo em uma década 
abaixo da freqüência do primeiro harmônico. Esta escolha garante uma boa atenuação dos harmônicos 
de tensão sobre a carga e minimiza o volume e peso do filtro. 
Mesmo assim, esta aproximação pode em alguns casos não atenuar suficientemente os 
harmônicos da tensão de saída. Em termos de sinais de controle, essa ondulação estará presente na 
saída do sensor de tensão, que a atenuará, passará pelo subtrator da referência, pelo compensador, 
onde pode ser amplificado e por fim é aplicado no modulador. Se a componente em alta freqüência 
chegar a este ponto do circuito de controle com uma parcela muito significativa, que se refletirá numa 
variação muito acentuada do sinal de controle, que também pode ser designada de uma derivada muito 
alta, ele pode provocar múltiplos pulsos indesejáveis nos comandos do inversor. 
Como pode ser observado na Figura 4.1, quando a ondulação de tensão na entrada do 
modulador, proveniente da ondulação da tensão de saída, apresenta uma derivada relevante, o valor 
encontrado na saída do mesmo é muito diferente do valor esperado e adotado na modelagem do 
inversor. Em certos casos poderão acontecer pulsos múltiplos que serão enviados para os interruptores 
aumentando as perdas por comutação, podendo afetar a forma de onda previamente desejada. 
 
Instituto de Eletrônica de Potência 41 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
 
Figura 4.1 – Sinais do modulador por largura de pulso e sinais de comando com derivada adequada e não adequada [3]. 
Como pode ser observado na Figura 4.1 para evitar os problemas no modulador a máxima 
derivada da tensão de controle deve ser menor que a derivada da onda triangular. Como a derivada do 
sinal de controle é uma conseqüência da derivada da variação da tensão de saída, pretende-se 
determinar a máxima derivada aceitável nesse sinal, com o objetivo de evitar múltiplos pulsos. 
Para se estimar o valor da derivada máxima da tensão de entrada do modulador serão feitas 
algumas simplificações. Inicialmente, pode-se supor que a forma de onda da ondulação de tensão em 
alta freqüência na saída do inversor é uma senóide conforme a equação (4.1). Está considerando-se 
Instituto de Eletrônica de Potência 42 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
como referência a tensão de saída V0(t). A variação de tensão está defasada de 180 graus de V0(t). 
Equation Chapter (Next) Section 4 
 Cf 1Cf s
V ( t)V (t) sen(2 t )
2
         (4.1) 
O comportamento da amplitude da componente de tensão em alta freqüência foi desenvolvido no 
Capítulo 2.4 e reproduzido na equação (4.2). 
 i op 1 op 1Cf s 2
s f f i
(V V ) sen( t) (V ) sen( t)
V ( t)
32 f L C V
              (4.2) 
Substituindo a equação (4.2) em (4.1), tem-se: 
 i op 1 op 1Cf s2
s f f i
(V V ) sen( t) (V ) sen( t)
V (t) sen(2 t )
64 f L C V
                 (4.3) 
O instante em que houver a máxima variação na tensão de Cf coincide com o instante da máximaderivada do sinal de controle. Isso pode ser comprovado analisando os gráficos das Figura 4.2 e Figura 
4.3, que representam o comportamento da variação da tensão Cf e a derivada da variação da tensão Cf 
em um semiciclo da tensão de saída do inversor. É visível que ambos os sinais possuem os pontos de 
maiores variações nos mesmos instantes (ângulos). Estes gráficos foram traçados com os parâmetros 
do projeto exemplo da planilha em anexo. 
0.005 0.01 0.015
2
1
0
1
2
VCf t( )
t
 
Figura 4.2 – Comportamento da variação da tensão de Cf em um semiciclo da tensão de saída do inversor. 
Instituto de Eletrônica de Potência 43 
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_______________________________________________________________ 
 
0.005 0.01 0.015
4 105
2 105
0
2 105
4 105
t
VCf t( )dd
t 
Figura 4.3 – Comportamento da derivada da variação da tensão de Cf em um semiciclo da tensão de saída do inversor. 
 
A máxima variação da ondulação em Cf é definida no capítulo 2.4 como: 
 iCf max 2
s f f
VV
128 f L C
     (4.4) 
Substituindo (4.4) em (4.1), obtém-se a expressão para CfV (t) no instante de maior variação da 
tensão do capacitor Cf: 
 iCf max s2
s f f
VV (t) sen(2 t )
128 f L C
         (4.5) 
A máxima derivada do sinal de controle é calculada para o instante de maior variação da tensão 
do capacitor Cf, isso permite usar a equação (4.5). A variação do sinal de controle é definida pela 
equação (4.6). O transdutor de tensão comporta-se apenas como ganho (ATv) para toda a faixa de 
freqüência. O compensador CV(s) contribui com o ganho kCv e uma fase Cv na freqüência de 
ondulação do sinal de controle. O ganho e a fase do compensador são definidos nas equações (4.7) e 
(4.8). 
 iCmax Tv Cv s Cv2
s f f
VV (t) A k sen(2 t )
128 f L C
             (4.6) 
 
s
Cv V s 2 j
k C (s)   (4.7) 
Instituto de Eletrônica de Potência 44 
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_______________________________________________________________ 
 
 
s
Cv V s 2 j
C (s)    (4.8) 
 
A partir da equação (4.6) é possível calcular a derivada da máxima variação do sinal de controle, 
definido na equação (4.9). 
 iCmax Tv Cv s Cv
s f f
Vd V (t) A k cos(2 t )
dt 32 f L C
              (4.9) 
A máxima derivada da máxima variação do sinal de controle, definida na equação (4.10), 
ocorrerá no instante que o s Cvcos(2 t )      for igual a um. 
 iCmax Tv Cv
s f f
Vd V (t) A k
dt 32 f L C
       (4.10) 
Para não haver possibilidade de haver pulsos múltiplos a derivada do sinal de controle deve ser 
menor que a derivada do sinal modulador, que nesse caso é uma onda triangular. A derivada da onda 
triangular é definida na equação (4.11). 
 ptri p s
s
4 Vd V 4 V f
dt T
    (4.11) 
A condição da equação (4.12) deve ser atendida para não haver possibilidade de pulsos múltiplos 
no inversor: 
 i Tv Cv p s
s f f
V A k 4 V f
32 f L C
         (4.12) 
Como pode ser observada na equação (4.10), a derivada máxima na entrada do modulador 
depende dos parâmetros do filtro e do compensador. Quando houver a necessidade de diminuir a 
derivada na entrada do modulador pode-se alterar uma série de variáveis. Normalmente o ajuste é feito 
no capacitor do filtro de saída, e quanto maior o valor da capacitância menor a ondulação de tensão, ou 
aumentando a atenuação do compensador na freqüência de ondulação. A mudança no valor do 
capacitor altera a função de transferência da planta e, conseqüentemente, também a função de 
transferência do controlador. A mudança no ganho do compensador diminui a freqüência de corte, 
consequentemente a banda passante do sistema compensador e isso podem provocar outros 
inconvenientes. A solução deste problema pode ser feita por meio de iterações, alterando parâmetros 
da planta e/ou do controlador em busca de bons resultados. 
Na planilha em anexo são desenvolvidos dois gráficos em função dos parâmetros da planta e do 
compensador que mostram o quão distante a derivada máxima do sinal de controle está do limiar de 
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_______________________________________________________________ 
 
tornar a equação (4.12) falsa. Estes gráficos são apresentados nas Figura 4.4 e Figura 4.5 para o 
exemplo de projeto da planilha. A Figura 4.4 apresenta o valor das derivadas do sinal de controle e da 
triangular em função da alteração do valor da capacitância de Cf. Esta figura mostra a possibilidade de 
alteração no valor de Cf para a restrição da derivada do sinal de controle. A Figura 4.5 mostra o 
comportamento das derivadas em função da freqüência de cruzamento, que altera o ganho do 
compensador na freqüência dos sinais analisados. Estes gráficos auxiliam o projetista a verificar a 
sensibilidade do projeto e a margem de ajuste que ele pode ter. 
É importante salientar que o não cumprimento da equação (4.12) acarreta na possibilidade de 
haver múltiplos pulsos, mas não necessariamente irá acontecer. A defasagem na variação do sinal de 
controle introduzido pelo compensador Cv , definida na equação (4.8), pode evitar o aparecimento dos 
pulsos múltiplos mesmo quando a equação (4.12) torna-se falsa. Como o objetivo é garantir o não 
aparecimento do problema dos pulsos múltiplos e deixar o sistema o mais robusto possível, optou-se 
em fazer a restrição do sinal de controle analisando apenas o módulo dos sinais, e a fase, que neste 
caso somente ajuda na solução do problema, fica como margem de segurança. 
1 10 7 1 10 6 1 10 5 1 10 4
1 104
2.58 105
5.05 105
7.53 105
1 106
DVc Cf2 fc fs( )
DVtri
Cf2
 
Figura 4.4 – Derivada do sinal de controle e derivada do sinal modulador em função da variação de Cf. 
 
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_______________________________________________________________ 
 
1 103 1 104 1 105
1 104
2.58 105
5.05 105
7.53 105
1 106
DVc Cf fc2 fs( )
DVtri
fc
fc2
 
Figura 4.5 – Derivada do sinal de controle e derivada do sinal modulador em função da freqüência de cruzamento do 
compensador. 
 
4.1. Simulação para a Restrição da Derivada do Sinal de Controle 
Segundo o capítulo 4 o projeto-exemplo atende a restrição da máxima derivada. Esse resultado 
foi conferido por simulação e apresentado na Figura 4.6, que mostra o sinal de controle, a onda 
triangular da portadora e os sinais de pulsos do interruptor S1, para o período de maior variação da 
tensão de saída do inversor. É possível verificar que a derivada do sinal de controle é menor que a da 
onda triangular e que não está havendo múltiplos pulsos. 
A Figura 4.7 apresenta um exemplo de um projeto em que a restrição da máxima derivada do 
sinal de controle não é atendida. É possível verificar o sinal de controle cruzando várias vezes a onda 
triangular no mesmo período, ocasionando múltiplos pulsos, que são aplicados nos interruptores e 
causando o mau funcionamento do inversor. Essa situação indesejada pode acontecer se o projeto não 
for bem executado. 
Instituto de Eletrônica de Potência 47 
Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
 
Figura 4.6 – Sinal de controle Vc, sinal triangular Vtr1 e sinal de comando do interruptor S1. 
 
 
Figura 4.7 – Sinal de controle Vc, sinal triangular Vtr1 e sinal de comando do interruptor S1 para um caso com múltiplos 
pulsos do sinal de controle. 
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Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________5. Inversor Monofásico Alimentando uma Carga Não Linear 
Para a análise do inversor alimentando carga não-linear foi empregado como carga um circuito 
retificador em ponte com filtro capacitivo conforme Figura 5.1. 
 
Figura 5.1 – Carga não linear. 
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Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
O formato da corrente iLo para diversos valores de indutância do indutor Lo é apresentado na 
Figura 5.2. 
 
Figura 5.2 – Tensão na saída do inversor e corrente de carga. 
 
O projeto de inversores para alimentar cargas não-lineares deve prever a menor distorção 
harmônica possível na tensão de saída deste, ou limitá-la a valores aceitáveis comercialmente. 
A variável mais significativa na introdução de distorção harmônica na tensão é a derivada da 
corrente de carga, pois exigirá respostas rápidas tanto do compensador de tensão como da planta. É 
imperativo portanto conhecer estas derivadas: da corrente de carga, da planta e do compensador. 
Para limitar os valores de derivada da corrente de carga e com isso possibilitar menor distorção 
harmônica da tensão de saída, é introduzido um indutor entre a saída do inversor e a carga não-linear. 
Para determinar o valor desta indutância parte-se de grandezas que podem ser determinadas a 
partir de especificações do projeto, como o fator de crista da corrente e a corrente eficaz na saída do 
inversor. 
 
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Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
Conforme é apresentado no Capítulo 2.4, a corrente no indutor do retificador de onda completa 
pode ser expressa pela equação (5.1). Equation Chapter (Next) Section 5 
 
         1 1cos cosop ccLo
o
V t V t
i t
L
   

   (5.1) 
Onde; 
 
 11 sin cc
op
V
V
       
 (5.2) 
 
A máxima corrente de carga ocorre em 2, conforme a expressão (5.3). 
 
 2 1    (5.3) 
 
Substituindo a equação (5.3) em (5.1), obtém-se (5.4). 
 
      1 12 2cos 2op ccLo
o
V V
Ip
L
   
   (5.4) 
 
A partir da potência aparente que é fornecida pelo inversor – especificação de projeto – pode-se 
determinar a corrente eficaz de carga, para isso é necessário conhecer a tensão eficaz na saída do 
inversor. A equação (5.5) mostra como determinar o valor da corrente eficaz na saída do inversor. 
 
 retLo
op
SIef
Vef
 (5.5) 
Seja o fator de crista definido pela expressão: 
 
 Lo
LO
Ipfc
Ief
 (5.6) 
 
A indutância de entrada necessária para um dado fator de crista é: 
 
 
   1 12cos 2op cc
Lo
o
V V
fc Ief
L
  

    (5.7) 
 
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Projetos de Inversores Monofásicos 
_______________________________________________________________ 
 
 
   1 12cos 2op cc
o
Lo
V V
L
fc Ief
  

    (5.8) 
Avaliando-se o comportamento da corrente no indutor do filtro de saída -Lf – pode-se determinar 
a máxima derivada de corrente que pode ser fornecida pelo inversor na subida da corrente de carga. A 
equação (5.9) mostra a capacidade que o inversor possui em fornecer derivada de corrente de carga, 
trata-se, portanto de um limite. 
 
 
 sinLf i op r
f
di nV V t
dt L
 (5.9) 
Avaliando a máxima derivada de corrente solicitada pela carga não-linear na subida da corrente 
de carga, obtém-se expressão (5.10). 
 
 
 sinop r ccLo
o
V t Vdi
dt L
  (5.10) 
 
De maneira análoga o comportamento da corrente no indutor do filtro de saída -Lf – deve ser 
avaliado também na descida da corrente de carga. A equação (5.11) apresenta a capacidade que o 
inversor possui em fornecer derivada de corrente de carga. 
 
 sinLf i op r
f
di nV V t
dt L
  (5.11) 
Avaliando também a máxima derivada de corrente solicitada pela carga não-linear na descida da 
corrente de carga, obtém-se expressão (5.12). 
 
 
 sincc op rLo
o
V V tdi
dt L
 (5.12) 
É importante salientar que a capacidade de fornecer derivada na derivada na subida da corrente 
de carga é diferente da capacidade de fornecer derivada na descida da corrente de carga, como 
demonstram as expressões (5.9) e (5.11). O mesmo raciocínio pode ser estendido às derivadas da 
corrente da carga não-linear, conforme as equações (5.10) e (5.12). 
O comportamento da tensão na saída do inversor, da corrente de carga, da derivada máxima de 
corrente que o inversor pode fornecer e da derivada da corrente de carga é mostrado na Figura 5.3. As 
curvas foram traçadas com as equações deduzidas acima. 
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Figura 5.3 – Tensão na saída do inversor e corrente de carga. 
A partir da análise da Figura 5.3 é possível verificar que a máxima derivada na subida da 
corrente de carga ocorre em 2
 , conforme é apresentado na equação (5.13). 
 
 
2r mx
t   (5.13) 
Substituindo a expressão (5.13) nas equações (5.9) e (5.10), obtêm-se as expressões (5.14) e 
(5.15), que indicam o ângulo em que a capacidade de fornecer a derivada de corrente na saída do 
inversor deve ser comparada com a derivada da corrente de carga. 
 
 Lf i op
f
di nV V
mx
dt L
 (5.14) 
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 op ccLo
o
V Vdi mx
dt L
 (5.15) 
Para que haja distorção harmônica na tensão de saída do inversor em virtude da saturação do 
compensador de tensão deve-se obedecer a condição estabelecida na equação (5.16). Esta restrição se 
aplica para a subida da corrente de carga. 
 LfLo
didi mx mx
dt dt
 (5.16) 
 
Manipulando a equação (5.16) pode-se definir a relação da equação (5.17). 
 
 op cco
f i op
V VL
L nV V
  (5.17) 
 
5.1. Resultados de Simulação com Carga Não-Linear 
Para validar a metodologia empregada na análise teórica foram realizadas simulações do 
inversor operando em malha fechada e alimentando carga não-linear. A carga não-linear adotada para 
todas as simulações é um retificador monofásico em ponte com filtro capacitivo. Esta estrutura foi 
adotada pois representa certamente a maioria das situações de carga não-linear a que o inversor estará 
sujeito em aplicações comerciais. 
 
5.1.1. Carga não-linear – retificador com fonte de tensão 
Para a primeira situação simulada o filtro capacitivo do retificador foi substituído por uma fonte 
de tensão conforme é apresentado na Figura 5.4, obedecendo desta forma a simplificação também 
adotada na análise teórica. O valor da fonte de tensão [V] empregada na simulação é de 300 Vdc e Lo 
= 75 µH. 
As especificações para o inversor de tensão são idênticas para todas as condições de carga: 
 Tensão de entrada do inversor → Vi = 400V; 
 Indutor do filtro do inversor → Lf = 260µH; 
 Capacitor do filtro do inversor → Cf = 9,7µF; 
 Freqüência de comutação dos interruptores do inversor → fs = 20KHz; 
 Potência aparente na saída do inversor → Po = 10KVA; 
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 Tensão eficaz na saída do inversor → Vo = 220V. 
 
Figura 5.4 – Estrutura simplificada empregada na simulação. 
Na Figura 5.5 são apresentadas as formas de onda da tensão na saída do inversor e a corrente na 
entrada do retificador. A característica não-linear da corrente de carga pode ser observada, como 
também é perceptível